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1、 二轮大题专练41导数(证明数列不等式2)1已知函数(1)求证:;(2)求证:对于任意正整数,证明:(1),当时,单调增,当时,单调减,所以(1)的最小值为(1);(2)由(1)知,令得,所以,所以2设函数,其中(1)当时,判断函数在定义域上的单调性;(2)求函数的极值点;(3)证明对任意的正整数,不等式都成立解:(1)的定义域为,令,则在上递减,上递增;从而在上恒成立,;即当时,在上单调递增;(2)当时,由(1)知函数没有极值点;当时,解得两个不同的解,;若,由于,;在上有唯一的极小值点;若时,;在取得极大值,在取得极小值;综上所述,当时,在上有唯一的极小值点;当时,有极大值点,极小值点;当
2、时,函数没有极值点;(3)证明:取,则,令,则在,上恒成立,故在,上单调递增,故当时,恒有;即恒有;故对任意的正整数,不等式都成立3已知函数(1)若对都成立,求的取值范围;(2)已知为自然对数的底数,证明:,(1)解:对都成立当时,函数单调递增,成立,因此满足条件当时,函数单调递减,不满足条件,舍去当时,当时,函数单调递减,不满足条件,舍去综上可得:只有当时满足条件因此的取值范围是,(2)证明:由(1)可知:当时,取,由(1)可知:当时,取,则,综上可得:,4已知函数(1)若是函数的一个极值点,求的值;(2)若在,上恒成立,求的取值范围;(3)证明:为自然对数的底数)解:(1)因为,所以 ,因
3、为 是函数的一个极值点,故(1),即,当 时,当经验得是函数的一个极值点,所以(2)因为在, 上恒成立,所以当时, 在,上恒成立,即在,上为增函数所以 成立,即 为所求当时,令,则,令,则,即在上为减函数,在 上为增函数当时,这与 矛盾综上所述,的取值范围是,(3)要证,只需证两边取自然对数得,上式等价于,只需要证明,只需要证明,由时,在 单调递增又,从而原命题成立5已知函数,()当时,求的最大值;()若对,恒成立,求的取值范围;()证明解:()当时,当时,单调递增;当时,单调递减;函数的最大值(),当时,恒成立,在,上是减函数,适合题意当时,在,上是增函数,不能使在,恒成立当时,令,得,当时,在上为增函数,不能使在,恒成立,的取值范围是,()证明:由()得,取,则,6已知函数(1)求函数的单调区间及最值;(2)若对,恒成立,求的取值范围;(3)求证:解:(1)的定义域为,所以函数的增区间为,减区间为,无最小值(2),令则当时,显然,所以在上是减函数所以当时,所以,的取值范围为,(3)由(2)知,当,时,即在式中,令,得,即,依次令,2,3,得将这个式子左右两边分别相加,得