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1、6.2 1 平面向量的线性运算（精练）【题组一 向量的加法运算】1（2020全国高一课时练习）化简（1）（2）【答案】（1）；（2）.【解析】（1）；（2）.2（2020江西高一期末）下列四式不能化简为的是（ ）ABCD【答案】A【解析】对B，故B正确；对C，故C正确；对D，故D正确；故选：A.3（2020全国高一课时练习）（1）如图（1），在中，计算；（2）如图（2），在四边形ABCD中，计算；（3）如图（3），在n边形中，证明你的结论. 【答案】（1）（2）（3），见解析【解析】（1）（2）.（3）.证明如下：4（2020全国高一课时练习）（1）已知向量,求作向量，使.（2）（1）中表示,
2、的有向线段能构成三角形吗？【答案】（1）见解析.【解析】（1）方法一：如图所示，当向量,两个不共线时，作平行四边形，使得，则，又，所以，即，方法二：利用向量的三角形法则，如下图：作，使得，则，即，当向量,两个共线时，如下图：使得，则，所以，即.（2）向量,两个不共线时，表示,的有向线段能构成三角形，向量,两个共线时，,的有向线段不能构成三角形.5（2020全国高一课时练习）一艘船垂直于对岸航行，航行速度的大小为，同时河水流速的大小为求船实际航行的速度的大小与方向（精确到l）.【答案】，方向与水流方向成76角【解析】设船的航行速度为，水流速度为，船的实际航行速度为v，v与的夹角为，则由，得.船实
3、际航行的速度的大小为，方向与水流方向成76角.6（2020全国高一课时练习）一架飞机向北飞行，然后改变方向向西飞行，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.【答案】飞机飞行的路程为；两次位移的合成是向北偏西约53方向飞行.【解析】由向量的加减运算可知：飞机飞行的路程是；两次位移的合成是向北偏西约53，方向飞行.【题组二 向量的减法运算】1（2021全国练习）已知向量，求作和.【答案】详见解析【解析】由向量加法的三角形法则作图：由向量三角形加减法则作图：2（2020安徽滁州市）化简：（ ）ABCD【答案】A【解析】故选：3（2020全国高一课时练习）化简：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）；
4、（6）；（7）.【答案】（1）.（2）（3）.（4）（5）（6）.（7）【解析】（1）原式.（2）原式（3）原式.（4）原式（5）原式（6）原式.（7）原式4（多选）（2020全国高三专题练习）下列各式中，结果为零向量的是（ ）ABCD【答案】BD【解析】对于选项：，选项不正确；对于选项： ，选项正确；对于选项：，选项不正确；对于选项：选项正确.故选：BD5（多选）（2020全国高一课时练习）已知为非零向量,则下列命题中正确的是( )A若,则与方向相同B若,则与方向相反C若,则与有相等的模D若,则与方向相同【答案】ABD【解析】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形
5、两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有.当同向时有,.当反向时有,故选：ABD【题组三 向量的数乘运算】1（2020全国高一课时练习）化简：（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式2（2020全国高一课时练习）化简下列各式：（1）；（2）【答案】(1)； (2) .【解析】（1）原式（2）原式3（2020全国高一课时练习）作图验证：（1） （2）【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】如图，在平行四边形ABCD中，设，则.（1）因为，所以（2）因为，所以4（2020全国高一课时练习）已知点是平行四边形内一点，且 ， ， ，试用表示向量、
6、及【答案】；=； ；【解析】四边形为平行四边形； ； ； 4（2020六安市城南中学）如图，四边形是以向量，为边的平行四边形，又，试用、表示、.【答案】；【解析】，5（2020全国高一课时练习）向量如图所示，据图解答下列问题：（1）用表示；（2）用表示；（3）用表示；（4）用表示.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】由图知,（1）；（2）；（3）；（4）【题组四 向量的共线定理】1（2021全国）设是两个不共线的向量,若向量与共线,则()A=0B=-1C=-2D=-【答案】D【解析】由已知得存在实数k使,即,于是1=2k且=-k,解得=-.2（2020全国高一课时练习）设是不共线的
7、两个非零向量，已知，若三点共线，则的值为( )A1B2C-2D-1【答案】D【解析】因为，故存在实数，使得，又，所以，故，故选D.3（2020全国高一课时练习）判断下列各小题中的向量与是否共线：（1），；（2），【答案】（1）与共线；（2）与共线【解析】（1），所以与共线；（2），所以与共线4（2021四川乐山市高一期末）已知向量，不是共线向量，（1）判断，是否共线；（2）若，求的值【答案】（1）与不共线.（2）【解析】（1）若与共线，由题知为非零向量，则有，即，得到且，不存在，即与不平行.（2），则，即，即，解得.5（2020全国高一课时练习）已知非零向量不共线，且，能否判定A，B，D三点共
8、线？请说明理由【答案】无法判定A，B，D三点共线，见解析【解析】无法判定A，B，D三点共线，证明如下：，所以，所以向量与共线由于向量共线包括对应的有向线段平行与共线两种情况，所以无法判定A，B，D三点共线6（2020全国高一课时练习）设是两个不共线向量，已知，若，且B，D，F三点共线，求k的值【答案】【解析】，B，D，F三点共线，即由题意知不共线，得，解得7（2020全国高一课时练习）已知是两个不共线的向量，若，求证：A，B，D三点共线【答案】见解析【解析】，又，与有公共点B，A，B，D三点共线8（2020全国高一课时练习）如图所示,在平行四边形中, ，,M为的中点,点N在上,且.证明:M,N
9、,C三点共线.【答案】证明见解析【解析】,.连接,则,与共线.又 与有公共点N,M,N,C三点共线.9（2020全国高一课时练习）如图,点C是点B关于点A的对称点,点D是线段的一个靠近点B的三等分点,设.(1)用向量与表示向量;(2)若,求证:C,D,E三点共线.【答案】(1),;(2)证明见解析.【解析】(1),.(2)证明: ,与平行,又与有共同点C,，三点共线.10（2020全国高一课时练习）如图所示，已知D，E分别为的边，的中点，延长至点M使，延长至点N使，求证：M，A，N三点共线【答案】见解析【解析】连接，（图略）D为的中点，且D为的中点，四边形为平行四边形，同理可证，共线且有公共点A，M，A，N三点共线 18 / 18