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1、 永久免费组卷搜题网第八章 圆锥曲线知识结构网络81 椭圆方程及性质 一、明确复习目标1掌握椭圆的定义、标准方程，了解椭圆的参数方程2掌握椭圆的简单几何性质;掌握a,b,c,e等参数的几何意义及关系二建构知识网络1 椭圆的两种定义：(1)平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长的点的轨迹，即点集M=P| |PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|；（时为线段，无轨迹）。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。(2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M=P| ，0e1的常数。（为抛物线；为双曲线）2 标准方程：（1）焦点在x轴上，中心在原点
2、：（ab0）；焦点F1（c，0）， F2（c，0）。其中（一个）（2）焦点在y轴上，中心在原点：（ab0）；焦点F1（0，c），F2（0，c）。其中（3）两种标准方程可用统一形式表示：Ax2+By2=1 （A0，B0，AB当AB时，椭圆的焦点在x轴上，AB时焦点在y轴上），这种形式用起来更方便。3性质：对于椭圆：（ab0）如下性质必须熟练掌握：范围; 对称轴,对称中心; 顶点;焦点; 准线方程; 离心率; (参见课本)此外还有如下常用性质：焦半径公式： |PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0；(由第二定义推得) 焦准距；准线间距;通径长;最大角证:设|PF1|=r1,|PF2|=r2,
3、则对于椭圆：（ab0）的性质可类似的给出（请课后完成）。4椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关,是椭圆本身所固有的,决定椭圆形状的参数,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐标系有关5对椭圆方程作三角换元即得椭圆的参数方程：；注意不是xOP(x,y)6有关圆锥曲线弦的中点和斜率问题可利用“点差法”及结论：设椭圆：上弦AB的中点为M(x0,y0),则斜率kAB=,对椭圆：, 则kAB=三、双基题目练练手1（2006全国）已知ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是 ( ) A B6 C D12 2(2005广东) 若焦点在轴上的椭圆的离
4、心率为，则m=（ ）ABCD3 (2006山东)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心离为 ( )ABCD4设F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为 ( )A 1 B2 C D5椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，则这个椭圆方程为_6(2006四川15)如图把椭圆的长轴AB分成8份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于,七个点，F是椭圆的一个焦点，则_简答提示：1-4CBBA； 4易知
5、圆F2的半径为c，（2ac）2+c2=4c2，（）2+2（）2=0，=15 +=1或+=1；6根据椭圆的对称性知，同理其余两对的和也是，又， =35四、经典例题做一做【例1】若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OAOB，求椭圆的方程分析：欲求椭圆方程，需求a、b，为此需要得到关于a、b的两个方程，由OM的斜率为OAOB，易得a、b的两个方程解法1：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）（a+b）x22bx+b1=0.由 x+y=1，ax2+by2=1，x0=，y0=1=M（，）kOM=，b=a OAOB，=1x
6、1x2+y1y2=0x1x2=，y1y2=（1x1）（1x2），y1y2=1（x1+x2）+x1x2=1+=+=0a+b=2 由得a=2（1），b=2（1）所求方程为2（1）x2+2（1）y2=1法2：(点差法)由ax1+by1=1, ax2+by2=1相减得,即下同法1提炼方法：1设而不求，即设出A（x1，y1），B（x2，y2），借助韦达定理推出b=a再由OAOB得x1x2+y1y2=0,转换出a,b的又一关系式,2点差法得b=a【例2】(2005湖南) 已知椭圆C：1（ab0）的左右焦点为F1、F2，离心率为e 直线,l：yexa与x轴y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点
7、，P是点F1关于直线l的对称点，设（）证明：1e2；（）若，MF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程；（理科无此问）（）确定的值，使得PF1F2是等腰三角形（）证法一：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是所以点M的坐标是（） 由即证法二：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是所以 因为点M在椭圆上，所以 即 解得 （）当时，所以 由MF1F2的周长为6，得 所以 椭圆方程为（）解法一：因为PF1l，所以PF1F2=90+BAF1为钝角，要使PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 设点F1到l的距离为d，由 得
8、 所以 即当PF1F2为等腰三角形解法二：因为PF1l，所以PF1F2=90+BAF1为钝角，要使PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，设点P的坐标是，则由|PF1|=|F1F2|得两边同时除以4a2，化简得 从而于是 即当时，PF1F2为等腰三角形【例3】(2005春上海)（1）求右焦点坐标是，且经过点的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的方程是 设斜率为的直线，交椭圆于两点，的中点为 证明：当直线平行移动时，动点在一条过原点的定直线上；（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心 解：（1）设椭圆的标准方程为，
9、 ，即椭圆的方程为， 点（）在椭圆上， ， 解得 或（舍）， 由此得，即椭圆的标准方程为 （2）设直线的方程为， 与椭圆的交点()、()，则有， 解得 ， ， ，即 则 ， 中点的坐标为 线段的中点在过原点的直线 上 （3）如图，作两条平行直线分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线，那么直线和的交点即为椭圆中心 MAOA1M1N1D1C1NBDB1C【例4】 （2006江西）如图,椭圆的右焦点为,过点的一动直线绕点 转动,并且交椭圆于、两点, 为线段的中点(1) 求点的轨迹的方程;(2) 若在的方程中,令
10、确定的值,使原点距椭圆的右准线最远此时设与轴交点为,当直线绕点转动到什么位置时,三角形的面积最大?解：如图 (1)设椭圆上的点、,又设点坐标为，则 当不垂直轴时， 由得 当 垂直于轴时，点即为点，满足方程（*） 故所求点的轨迹的方程为： (2)因为,椭圆右准线方程是,原点距椭圆的右准线的距离为, 时,上式达到最大值,所以当时,原点距椭圆的右准线最远 此时 设椭圆 上的点、, 的面积 设直线的方程为,代入中,得由韦达定理得令,得,当取等号因此,当直线绕点转动到垂直轴位置时, 三角形的面积最大特别提醒:注意这种直线方程的设法,适用于 “含斜率不存在,而无斜率为零的情况”.【研讨欣赏】（1）已知点P
11、的坐标是(-1,-3)，F是椭圆的右焦点,点Q在椭圆上移动，当取最小值时，求点Q的坐标，并求出其最小值。（2）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，已知点P到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离是的点的坐标。解(1)由椭圆方程可知a=4,b=,则c=2,椭圆的右准线方程为x=8 过点Q作QQ于点Q,过点P作PP于点P,则据椭圆的第二定义知,易知当P、Q、Q在同一条线上时，即当Q与P点重合时，才能取得最小值，最小值为8-(-1)=9，此时点Q的纵坐标为-3，代入椭圆方程得。 因此,当Q点运动到(2,-3)处时, 取最小值9(2)设所求的椭圆的直角坐标方程
12、是由,解得,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d则其中,如果, 则当y=-b时,d2取得最大值解得b=与矛盾, 故必有 当时d2取得最大值， 解得b=1,a=2 所求椭圆方程为由可得椭圆上到点P的距离等于的点为,五提炼总结以为师1椭圆定义是解决问题的出发点,一般地，涉及a、b、c的问题先考虑第一定义，涉及e、d及焦半径的问题行急需处理 虑第二定义；2求椭圆方程，常用待定系数法,定义法,首先确定曲线类型和方程的形式，再由题设条件确定参数值，应“特别”掌握；（1）当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；（2）两种标准方程中，总有ab0，c2=a2-b2并且椭圆的焦点总在长轴上；3要正
13、确理解和灵活运用参数a,b,c,e的几何意义与相互关系；4会用方程分析解决交点、弦长和求值问题，能正确使用“点差法”及其结论。同步练习 81 椭圆方程及性质 【选择题】1(2004全国I)椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点 为P，则=（ ）ABCD42(2005全国卷)设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）A B C D【填空题】3点P在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是_4已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭
14、圆上的点，当PF1F1A，POAB（O为椭圆中心）时，则椭圆的离心率为_5已知P是椭圆1（ab0）上任意一点，P与两焦点连线互相垂直，且P到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为_6 (2005重庆)已知是圆为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 简答提示：1C；2D；3 ； 4 |PF1|=, ABPO，OPF1ABO = b=c e=5 1； 6 【解答题】7 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆相交于点P和点Q，且OPOQ，|PQ|=，求椭圆方程解：设椭圆方程为mx2+ny2=1（m0，n0），设P（x1，y1），Q（x2，y2
15、），解方程组y=x+1，mx2+ny2=1消去y，整理得（m+n）x2+2nx+n1=0=4n24（m+n）（n1）0，即m+nmn0，OPOQx1x2+y1y2=0，即x1x2+（x1+1）（x2+1）=0，2x1x2+（x1+x2）+1=0，+1=0m+n=2 由弦长公式得2=（）2，将m+n=2代入，得mn= 或解得 m=， m=，n= n= 椭圆方程为+y2=1或x2+=18 如下图，设E：+=1（ab0）的焦点为F1与F2，且PE，F1PF2=2求证：PF1F2的面积S=b2tan剖析：有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便如本题，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则S=r1r2s
16、in2若能消去r1r2，问题即获解决证明：设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则S=r1r2sin2，又|F1F2|=2c，由余弦定理有（2c）2=r12+r222r1r2cos2=（r1+r2）22r1r22r1r2cos2=（2a）22r1r2（1+cos2），于是2r1r2（1+cos2）=4a24c2=4b2所以r1r2=这样即有S=sin2=b2=b2tan评述：解与PF1F2（P为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合|PF1|+|PF2|=2a来解决9 如下图，已知OFQ的面积为S，且=1（1）若S2，求向量与的夹角的取值范围；（2）设|=c（c2），S=c，若
17、以O为中心，F为一个焦点的椭圆经过点Q，当|取最小值时，求椭圆的方程解：（1）由已知，得|sin（）=S，|cos=1tan=2SS2，1tan4则arctan4（2）以O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系设椭圆方程为+=1（ab0），Q（x，y）=（c，0），则=（xc，y）|y=c，y=又=c（xc）=1，x=c+则|=（c2）可以证明：当c2时，函数t=c+为增函数，当c=2时，|min=，此时Q（，）将Q的坐标代入椭圆方程，解得得 +=1， a2=10，a2b2=4 b2=6椭圆方程为+=110(2005上海) 如图，点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在
18、椭圆上，且位于轴上方，（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值 解：（1）由已知可得点A（6，0），F（4，0）设点P的坐标是，由已知得则2x2+9x-18=0, P点的坐标是（2）直线AP的方程是设点M的坐标是（m，0），则M到直线AP的距离是，于是椭圆上的点到点M的距离d有由于【探索题】(2006湖北)设A、B分别为椭圆（）的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。（）求椭圆的方程；（）设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆
19、内。解()依题意得 解得 从而故椭圆方程为（）解法1：由（）得设M点在椭圆上， 又M点异于顶点A、B，由P、A、M三点共线可得 从而 将式代入式化简得于是为锐角，从而为钝角，故点B在以MN为直径的圆内。解法二：由（）得设,则直线AP的方程为,直线BP的方程为点M、N分别在直线AP、BP上，从而联立消去得=0 是方程的两根,即又于是由、式代入式化简可得N点在椭圆上，且异于顶点A、B，又，从而故为钝角，即点B在以MN为直径的圆内。解法3：由（）得，设则又MN的中点Q的坐标为，化简得 直线AP的方程为，直线BP的方程为点P在准线上，即又M点在椭圆上,即 于是将、式代入式化简可得从而B在以MN为直径的圆内。 永久免费组卷搜题网