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1、几种特殊的抽象函数在某点处的导数探究案例：几种特殊的抽象函数在某点处的导数的求法由于新课程标准对导数这一章内容概念的理解加大了力度，在一些课外参考书中也很少提到抽象函数在某点处的导数的求法；本文主要通过导数的定义研究抽象函数在某点处的导数的求法；进一步帮助同学们加深理解导数定义。下面以4种常见类型的抽象函数为例：一、形如f(x+y)=f(x)+f(y)类型例1、已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数，满足f(x+y)=f(x)+f(y),且f(0)=2,求当x=a时，f(a)的导数.解：令x=0代入f(x+y)=f(x)+f(y)中，得f(0)=0由导数的定义，f(a)=f(0)=2所以，
2、f(a)=f(0)=2练习：已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数，满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,且f(0)=0,求当x=e时，f(e)的导数.(答：2e)二、形如f(x+y)=f(x)f(y)类型例2、已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数，满足f(x+y)=f(x)f(y),且f(0)=1,f(1)=e,求当x=2时，f(2)的导数.解：令x=0,代入f(x+y)=f(x)f(y)中，得f(0)=1；再令x=y=1代入f(x+y)=f(x)f(y)中，得f(2)=e2由导数的定义，f(2)=f(2)=f(2)= f(2)f(0)=e2所以，f(2)= e2练习：已知
3、函数y=f(x)在定义域D内是可导函数，满足f(x+y)=f(x)f(y)-xy,且f(x)0, f(1)=2f(0)=1,求当x=2时，f(2)的导数.(答：4)三、形如f(xy)=f(x)+f(y)类型例3、已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数，满足f(xy)=f(x)+f(y),且f(1)=1,求当x=2时，f(2)的导数.解：令x=y=1代入f(xy)=f(x)+f(y)中，得f(1)=0由导数的定义，f(2)= =f(1)=所以，f(2)=练习：已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数，满足f()=f(x)-f(y),且f(1)=,求当x=e时，f(e)的导数.(答：)四、形
4、如f(xy)=f(x)f(y)类型例4、已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数，满足f(xy)=f(x)f(y),且f(2)=4，f(1)=2,求当x=2时，f(2)的导数.解：令x=1代入f(xy)=f(x)f(y)中，得f(1)=1，由导数的定义，f(2)=f(2)=f(2)=f(2)=f(2)f(1)=4所以，f(2)=4练习：已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数，满足f(xy)=2f(x)f(y),且f(2)=2,f(1)=1,求当x=2时，f(2)的导数.(答：2)五、归纳小结通过常见的几种特殊的抽象函数类型，分别利用导数的定义研究了抽象函数在某点处的导数求法；在这里主要强调了导数的定义的求解方法；以上的求解方法都不是唯一的，比如说，每种类型的特殊函数是可以根据题意选定特殊的函数来替代，写出y=f(x)的解析式，再去求某点处的导数，方法也简单，同仁们不妨试试看，研究一下，绽放你的思维火花；抽象函数的形式有很多，值得大家去研究，是一件非常好的事，我也感到非常欣慰；新教材的研究需要大家共同探究、共同切磋，让成功的喜悦和大家一起分享。