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1、课 题1.4 船有触礁的危险吗课型新授课教学目标1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.教学重点1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.教学难点根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.教学方法自主探索法教学后记教 学 内 容 及 过 程备注一、创设问题情境，引入新课问题直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后
2、，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.下面我们就来看一个问题(多媒体演示).海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题.二、讲授新课我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的?答：应该是“上北下南，左西右东”.请同
3、学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的.答：首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25处.示意图如下.货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定?答：根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过A作ADBC，D为垂足，即AD的长度.我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10海里比较.这位同学分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看AD如何求.根据题意，有哪些已知条
4、件呢?答：已知BC20海里，BAD55，CAD25.在示意图中，有两个直角三角形RtABD和RtACD.你能在哪一个三角形中求出AD呢?答：在RtACD中，只知道CAD=25，不能求AD.在RtABD中，知道BAD=55，虽然知道BC20海里，但它不是RtABD的边，也不能求出AD.那该如何是好?是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑?答：我发现这两个三角形有联系，AD是它们的公共直角边.而且BC是这两个直角三角形BD与CD的差，即BCBD-CD.BD、CD的对角是已知的，BD、CD和边AD都有联系.有何联系呢?在RtABD中，tan55，BD=ADtan55；在RtACD中，tan
5、25，CDADtan25.利用BCBD-CD就可以列出关于AD的一元一次方程，即ADtan55-ADtan2520.总结：太棒了!没想到方程在这个地方帮了我们的忙.其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之 下面我们一起完整地将这个题做完.多媒体展示解：过A作BC的垂线，交BC于点D.得到RtABD和RtACD，从而BD=AD，tan55，CDADtan25，由BD-CDBC，又BC20海里.得ADtan55-ADtan2520.AD(tan55-tan25)20，AD=20.79(海里).这样AD20.79海里10海里，所以货轮没有触礁的危
6、险.接下来，我们再来研究一个问题.还记得本章开头小明要测塔的高度吗?现在我们来看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度.多媒体演示想一想你会更聪明：如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)我想请一位同学告诉我什么是仰角?在这个图中，30的仰角、60的仰角分别指哪两个角?答：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角.30的仰角指DAC，60的仰角指DBC.很好!请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答.(教师留给学生充分的思考时间，感觉有困难
7、的学生可给以指导)答：首先，我们可以注意到CD是两个直角三角形RtADC和RtBDC的公共边，在RtADC中，tan30=，即AC在RtBDC中，tan60=,即BC，又AB=AC-BC50 m，得-=50.解得CD43(m)，即塔CD的高度约为43 m.我有一个问题，小明在测角时，小明本身有一个高度，因此在测量CD的高度时应考虑小明的身高.这位同学能根据实际大胆地提出质疑，很值得赞赏.在实际测量时.的确应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离.如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6 m，其他数据不变，此时塔的高度为多少?你能画出示意图吗?示意图如图所示，由前面的
8、解答过程可知CC43 m，则CD43+1.644.6 m.即考虑小明的高度，塔的高度为44.6 m.同学们的表现太棒了.现在我手里有一个楼梯改造工程问题，想请同学们帮忙解决一下.多媒体演示：某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40减至35，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l m)请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，(先独立完成，然后相互交流，讨论各自的想法)在这个问题中，要注意调整前后的梯楼的高度是一个不变量.根据题意可画示意图(如右图).其中AB表示楼梯的高度.AC是原楼梯的长，BC是原楼梯的占地长度；AD是
9、调整后的楼梯的长度，DB是调整后的楼梯的占地长度.ACB是原楼梯的倾角，ADB是调整后的楼梯的倾角.转化为数学问题即为：如图，ABDB，ACB40，ADB35，AC4m.求AD-AC及DC的长度.这位同学把这个实际楼梯调整问题转化成了数学问题.大家从示意图中不难看出这个问题是前面问题的变式.我相信同学们一定能用计算器辅助很快地解决它，开始吧!解：由条件可知，在RtABC中,sin40，即AB4sin40m，原楼梯占地长BC4cos40m.调整后,在RtADB中，sin35，则ADm.楼梯占地长DB=m.调整后楼梯加长AD-AC-40.48(m)，楼梯比原来多占DCDB-BC= -4cos400.61(m).三、随堂练习多媒体演示四、课堂总结本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和解决实际问题的能力.其实，我们这一章所学的内容属于“三角学”的范畴.请同学们阅读“读一读”，了解“三角学”的发展，相信你会对“三角学”更感兴趣.五、布置作业课本习题1.6 1、2、3题