专题25正方形（解析版）.docx

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1、专题25 正方形问题1正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2正方形的性质：（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴；（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。3正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：一是先证它是矩形，再证有一组邻边相等。即有一组邻

2、边相等的矩形是正方形。二是先证它是菱形，再证有一个角是直角。即有一个角是直角的菱形是正方形。4正方形的面积：设正方形边长为a，对角线长为b ，S=【例题1】（2020台州）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD则正方形ABCD的面积为 （用含a，b的代数式表示）【答案】a+b【解析】如图，连接DK，DN，证明S四边形DMNTSDKN=14a即可解决问题如图，连接DK，DN，KDNMDT90，KDMNDT，DKDN，DKMDNT45，DKMDNT（ASA），SDKMSDNT，S四

3、边形DMNTSDKN=14a，正方形ABCD的面积414a+ba+b【对点练习】（2019广西贺州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分BAE交BC于点F，将ADE绕点A顺时针旋转90得ABG，则CF的长为 【答案】62【解析】作FMAD于M，FNAG于N，如图，易得四边形CFMD为矩形，则FM4，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，DE2，AE2，ADE绕点A顺时针旋转90得ABG，AGAE2，BGDE2，34，GAE90，ABGD90，而ABC90，点G在CB的延长线上，AF平分BAE交BC于点F，12，2+41+3，即FA平分GAD，FNFM4，ABGFFN

4、AG，GF2，CFCGGF4+2262故答案为62【例题2】（2020青岛）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G若DE2，OF3，则点A到DF的距离为 【答案】455【解析】根据正方形的性质得到AODO，ADC90，求得ADE90，根据直角三角形的性质得到DFAFEF=12AE，根据三角形中位线定理得到FG=12DE1，求得ADCD4，过A作AHDF于H，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AODO，ADC90，ADE90，点F是AE的中点，DFAFEF=1

5、2AE，OF垂直平分AD，AGDG，FG=12DE1，OF2，OG2，AOCO，CD2OG4，ADCD4，过A作AHDF于H，HADE90，AFDF，ADFDAE，ADHAED，AHDE=ADAE，AE=AD2+DE2=42+22=25，AH2=425，AH=455，即点A到DF的距离为455【对点练习】（2019内蒙古包头）如图，在正方形ABCD中，AB1，点E，F分别在边BC和CD上，AEAF，EAF60，则CF的长是（）ABC1D【答案】C 【解析】四边形ABCD是正方形，BDBAD90，ABBCCDAD1，在RtABE和RtADF中，RtABERtADF（HL），BAEDAF，EAF6

6、0，BAE+DAF30，DAF15，在AD上取一点G，使GFADAF15，如图所示：AGFG，DGF30，DFFGAG，DGDF，设DFx，则DGx，AGFG2x，AG+DGAD，2x+x1，解得：x2，DF2，CFCDDF1（2）1；故选：C【例题3】（2020湘西州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE（1）求证：BAECDE；（2）求AEB的度数【答案】见解析。【解析】利用等边三角形的性质得到ADAEDE，EADEDA60，利用正方形的性质得到ABADCD，BADCDA90，所以EABEDC150，然后根据“SAS”判定BAECDE；先证明ABAE，然后根据等

7、腰三角形的性质和三角形内角和计算ABE的度数（1）证明：ADE为等边三角形，ADAEDE，EADEDA60，四边形ABCD为正方形，ABADCD，BADCDA90，EABEDC150，在BAE和CDE中AB=DCEAB=EDCAE=DE，BAECDE（SAS）；（2）ABAD，ADAE，ABAE，ABEAEB，EAB150，ABE=12（180150）15【对点练习】（2019湖南株洲）如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG（1）求证：DOGCOE；（2）若DGBD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM，求正方形OEF

8、G的边长【答案】（1）见解析；（2）2【解析】解：（1）正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC、BDDOOCDBAC，DOADOC90GOE90，GOD+DOEDOE+COE90GODCOEGOOE在DOG和COE中DOGCOE（SAS）（2）如图，过点M作MHDO交DO于点HAM，DA2，DMMDB45MHDHsin45DM，DOcos45DAHODODH在RtMHO中，由勾股定理得MODGBD，MHDO，MHDG易证OHMODG，得GO2则正方形OEFG的边长为2一、选择题1（2020河南）如图，在ABC中，ACB90，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（2，6）和（7，0）将正方

9、形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（）A（32，2）B（2，2）C（114，2）D（4，2）【答案】B【解析】根据已知条件得到AC6，OC2，OB7，求得BC9，根据正方形的性质得到DEOCOE2，求得OEOC2，根据相似三角形的性质得到BO3，于是得到结论如图，设正方形DCOE是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，顶点A，B的坐标分别为（2，6）和（7，0），AC6，OC2，OB7，BC9，四边形OCDE是正方形，DEOCOE2，OEOC2，EOBC，BOEBCA90，EOAC，BOEBCA，EOAC=BOBC，26=BO9，BO3，OC7232，当点E落在AB

10、边上时，点D的坐标为（2，2）.2（2020湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（）A1和1B1和2C2和1D2和2【答案】D【解析】根据要求拼平行四边形矩形即可中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2，如图所示：故选：D3（2020温州）如图，在RtABC中，ACB90，以其三边为边向外作正方形，过点C作CRFG于点R，再过点C作PQCR分别交边DE，BH于点P，Q若QH2PE，PQ15，则CR的长为（）

11、A14B15C83D65【答案】A【分析】如图，连接EC，CH设AB交CR于J证明ECPHCQ，推出PCCQ=CECH=EPHQ=12，由PQ15，可得PC5，CQ10，由EC：CH1：2，推出AC：BC1：2，设ACa，BC2a，证明四边形ABQC是平行四边形，推出ABCQ10，根据AC2+BC2AB2，构建方程求出a即可解决问题【解析】如图，连接EC，CH设AB交CR于J四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，ACEBCH45，ACB90，BCI90，ACE+ACB+BCH180，ACB+BCI90B，C，D共线，A，C，I共线，E、C、H共线，DEAIBH，CEPCHQ，ECPQCH，

12、ECPHCQ，PCCQ=CECH=EPHQ=12，PQ15，PC5，CQ10，EC：CH1：2，AC：BC1：2，设ACa，BC2a，PQCR，CRAB，CQAB，ACBQ，CQAB，四边形ABQC是平行四边形，ABCQ10，AC2+BC2AB2，5a2100，a25（负根已经舍弃），AC25，BC45，12ACBC=12ABCJ，CJ=254510=4，JRAFAB10，CRCJ+JR144（2020南京）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D若P的半径为5，点A的坐标是（0，8）则点D的坐标是（）A（9，2）B（9，3）

13、C（10，2）D（10，3）【答案】A【分析】设O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，证明四边形PEOF为正方形，求得CG，再根据垂径定理求得CD，进而得PG、DB，便可得D点坐标【解析】设O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，则PEy轴，PFx轴，EOF90，四边形PEOF是矩形，PEPF，PEOF，四边形PEOF为正方形，OEPFPEOF5，A（0，8），OA8，AE853，四边形OACB为矩形，BCOA8，BCOA，ACOB，EGAC，四边形AEGC为平行四边形，四边形OEGB为平行四边形，CGA

14、E3，EGOB，PEAO，AOCB，PGCD，CD2CG6，DBBCCD862，PD5，DGCG3，PG4，OBEG5+49，D（9，2）5.（2020天津）如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），点C在第一象限，则点C的坐标是（）A（6，3）B（3，6）C（0，6）D（6，6）【答案】D【解析】利用正方形的性质求出OB，BC，CD即可四边形OBCD是正方形，OBBCCDOD，CDOCBO90，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），OD6，OBBCCD6，C（6，6）二、填空题6（2020连云港）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶

15、点M、N的坐标分别为（3，9）、（12，9），则顶点A的坐标为 【答案】（15，3）【解析】由图形可得MNx轴，MN9，BNy轴，可求正方形的边长，即可求解如图，顶点M、N的坐标分别为（3，9）、（12，9），MNx轴，MN9，BNy轴，正方形的边长为3，BN6，点B（12，3），ABMN，ABx轴，点A（15，3）7（2020绍兴）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为 【答案】45【解析】根据题意和图形，可以得到直角三角形的一条直角边的长和斜边的长，从而可以得到直角三

16、角形的另一条直角边长，再根据图形，可知阴影部分的面积是四个直角三角形的面积，然后代入数据计算即可由题意可得，直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，故直角三角形的另一条直角边长为：32-22=5，故阴影部分的面积是：2524=458（2020天水）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为 【答案】（1，5）【解析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O四边形OEFG是正方形，OGEO，GOMOEH，OG

17、MEOH，在OGM与EOH中，OGM=EOHOG=EOGOM=OEH OGMEOH（ASA）GMOH2，OMEH3，G（3，2）O（-12，52）点F与点O关于点O对称，点F的坐标为 （1，5）9（2020德州）如图，在矩形ABCD中，AB=3+2，AD=3把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D处，再将AED绕点E顺时针旋转，得到AED，使得EA恰好经过BD的中点FAD交AB于点G，连接AA有如下结论：AF的长度是6-2；弧DD的长度是5312；AAFAEG；AAFEGF上述结论中，所有正确的序号是 【答案】【解析】把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D处，DADE90DAD，AD

18、AD，四边形ADED是矩形，又ADAD=3，四边形ADED是正方形，ADADDEDE=3，AE=2AD=6，EADAED45，DBABAD2，点F是BD中点，DF1，EF=DE2+DF2=3+1=2，将AED绕点E顺时针旋转，AEAE=6，DED，EADEAD45，AF=6-2，故正确；tanFED=DFDE=13=33，FED3030+4575，弧DD的长度=753180=5312，故正确；AEAE，AEA75，EAAEAA52.5，AAF7.5，AAFEAG，AAEEAG，AFA120EAG，AAF与AGE不全等，故错误；DEDE，EGEG，RtEDGRtEDG（HL），DGEDGE，AG

19、DAAG+AAG105，DGE52.5AAF，又AFAEFG，AFAEFG，故正确，故答案为：10（2020攀枝花）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，AF的中点为H，连接BG、DH给出下列结论：AFDE；DG=85；HDBG；ABGDHF其中正确的结论有 （请填上所有正确结论的序号）【解析】故答案为：【分析】证明ADFDCE，再利用全等三角形的性质结合余角的性质得到DGF90，可判断，再利用三角形等积法ADDFAF可算出DG，可判断；再证明HDFHFDBAG，求出AG，DH，HF，可判定ABGDHF，可判断；通过ABAG，得到ABG和AGB

20、不相等，则AGBDHF，可判断【解析】四边形ABCD为正方形，ADCBCD90，ADCD，E和F分别为BC和CD中点，DFEC2，ADFDCE（SAS），AFDDEC，FADEDC，EDC+DEC90，EDC+AFD90，DGF90，即DEAF，故正确；AD4，DF=12CD2，AF=42+22=25，DGADDFAF=455，故错误；H为AF中点，HDHF=12AF=5，HDFHFD，ABDC，HDFHFDBAG，AG=AD2-DG2=855，AB4，ABDH=ABHF=455=AGDF，ABGDHF，故正确；ABGDHF，而ABAG，则ABG和AGB不相等，故AGBDHF，故HD与BG不平

21、行，故错误。11（2020咸宁）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是边BC上一动点（不与点B，C重合），AEF90，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF，有下列结论：ABEECG；AEEF；DAFCFE；CEF的面积的最大值为1其中正确结论的序号是 （把正确结论的序号都填上）【解析】【分析】由AEB+CEGAEB+BAE得BAECEG，再结合两直角相等得ABEECG；在BA上截取BMBE，易得BEM为等腰直角三角形，则BME45，所以AME135，再利用等角的余角相等得到BAEFEC，于是根据“ASA”可判断AMEECF，则根据全等三角形的性质可对进行判断；由

22、MAE+DAF45，CEF+CFE45，可得出DAF与CFE的大小关系，便可对判断；设BEx，则BMx，AMABBM4x，利用三角形面积公式得到SAME=12x（2x），则根据二次函数的性质可得SAME的最大值，便可对进行判断【解析】四边形ABCD是正方形，BECG90，AEF90，AEB+CEGAEB+BAE，BAECEG，ABEECG，故正确；在BA上截取BMBE，如图1，四边形ABCD为正方形，B90，BABC，BEM为等腰直角三角形，BME45，AME135，BABMBCBE，AMCE，CF为正方形外角平分线，DCF45，ECF135，AEF90，AEB+FEC90，而AEB+BAE9

23、0，BAEFEC，在AME和ECF中MAE=CEFAM=ECAME=ECF，AMEECF，AEEF，故正确；AEEF，AEF90，EAF45，BAE+DAF45，BAE+CFECEF+CFE45，DAFCFE，故正确；设BEx，则BMx，AMABBM4x，SECFSAME=12x（2x）=-12（x1）2+12，当x1时，SECF有最大值12，故错误12（2020河南）如图，在边长为22的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 【解析】1【分析】设DF，CE交于O，根据正方形的性质得到BDCF90，BCCDA

24、B，根据线段中点的定义得到BECF，根据全等三角形的性质得到CEDF，BCECDF，求得DFCE，根据勾股定理得到CEDF=(22)2+(2)2=10，点G，H分别是EC，FD的中点，根据射影定理即可得到结论【解析】设DF，CE交于O，四边形ABCD是正方形，BDCF90，BCCDAB，点E，F分别是边AB，BC的中点，BECF，CBEDCF（SAS），CEDF，BCECDF，CDF+CFD90，BCE+CFD90，COF90，DFCE，CEDF=(22)2+(2)2=10，点G，H分别是EC，FD的中点，CGFH=102，DCF90，CODF，CF2OFDF，OF=CF2DF=(2)210=

25、105，OH=31010，OD=4105，OC2OFOD，OC=1054105=2105，OGCGOC=102-2105=1010，HG=OG2+OH2=110+910=1三、解答题13（2020遵义）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），连接DE，作EFDE交射线BA于点F，过点E作MNBC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G（1）求证：EFDE；（2）当AF2时，求GE的长【答案】见解析。【分析】（1）要证明EFDE，只要证明DMEENF即可，然后根据题目中的条件和正方形的性质，可以得到DMEENF的条件，从而可以证明结论成

26、立；（2）根据勾股定理和三角形相似，可以得到AG和CG、CE的长，然后即可得到GE的长【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，AC是对角线，ECM45，MNBC，BCM90，NMC+BCM180，MNB+B180，NMC90，MNB90，MECMCE45，DMEENF90，MCME，CDMN，DMEN，DEEF，EDM+DEM90，DEF90，DEM+FEN90，EDMFEN，在DME和ENF中EDM=FENDM=ENDME=ENF，DMEENF（ASA），EFDE；（2）如图1所示，由（1）知，DMEENF，MENF，四边形MNBC是矩形，MCBN，又MEMC，AB4，AF2，BNMCN

27、F1，EMC90，CE=2，AFCD，DGCFGA，CDAF=CGAG，42=CGAG，ABBC4，B90，AC42，ACAG+GC，AG=423，CG=823，GEGCCE=823-2=523；如图2所示，同理可得，FNBN，AF2，AB4，AN1，ABBC4，B90，AC42，AFCD，GAFGCD，AFCD=GAGC，即24=AGAG+42，解得，AG42，ANNE1，ENA90，AE=2，GEGA+AE5214（2019湖南湘西州）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AFCE（1）求证：ABFCBE；（2）若AB4，AF1，求四边形BEDF的面积【答案】（1）见解

28、析；（2）12【解答】（1）在ABF和CBE中，ABFCBE（SAS）；（2）由已知可得正方形ABCD面积为16，ABF面积CBE面积412所以四边形BEDF的面积为16221215.（2020湖北仙桃模拟）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BECF，过点E作EGBF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF求证：（1）AEBF；（2）四边形BEGF是平行四边形【答案】见解析。【解析】由SAS证明ABEBCF得出AEBF，BAECBF，由平行线的性质得出CBFCEG，证出AEEG，即可得出结论；延长AB至点P，使BPBE，连接EP，则APCE，EBP90，证明APE

29、ECG得出AEEG，证出EGBF，即可得出结论证明：（1）四边形ABCD是正方形，ABBC，ABCBCD90，ABEBCF90，在ABE和BCF中，ABEBCF（SAS），AEBF，BAECBF，EGBF，CBFCEG，BAE+BEA90，CEG+BEA90，AEEG，AEBF；（2）延长AB至点P，使BPBE，连接EP，如图所示：则APCE，EBP90，P45，CG为正方形ABCD外角的平分线，ECG45，PECG，由（1）得BAECEG，在APE和ECG中，APEECG（ASA），AEEG，AEBF，EGBF，EGBF，四边形BEGF是平行四边形16（2019山东泰安）如图，四边形ABCD

30、是正方形，EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且CEF90，FGAD，垂足为点C（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由【答案】见解析。【解析】过点F作FMAB交BA的延长线于点M，可证四边形AGFM是矩形，可得AGMF，AMFG，由“AAS”可证EFMCEB，可得BEMF，MEBCAB，可得BEMAMFAGFG；延长GH交CD于点N，由平行线分线段成比例可得，且CHFH，可得GHHN，NCFG，即可求DGDN，由等腰三角形的性质可得DHHG（1）AGFG，理由如下：如图，过点F作FMAB交BA的延长线于点M

31、四边形ABCD是正方形ABBC，B90BADFMAB，MAD90，FGAD四边形AGFM是矩形,AGMF，AMFG，CEF90，FEM+BEC90，BEC+BCE90FEMBCE，且MB90，EFECEFMCEB（AAS）BEMF，MEBCMEABBCBEMAMFAGFG，（2）DHHG理由如下：如图，延长GH交CD于点N，FGAD，CDADFGCD，且CHFH，GHHN，NCFG，AGFGNC又ADCD，GDDN，且GHHN，DHGH17.（2019四川省凉山州）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB过点A作AMBE，垂足为M，AM与BD相交于点F求证：OEOF【答案】见解析。【解析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OBOA，根据AMBE，即可得出MEA+MAE90AFO+MAE，从而证出RtBOERtAOF，得到OEOF证明：四边形ABCD是正方形BOEAOF90，OBOA又AMBE，MEA+MAE90AFO+MAE，MEAAFOBOEAOF（AAS）OEOF第 36 页 共 36 页