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1、金太阳新课标资源网 必修四第二章平面向量单元测试 (时间:120分钟,满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1有下列四个表达式:|ab|a|b|;|ab|(|a|b|);a2|a|2;|ab|a|b|.其中正确的个数为()A0B2C3D4解析:对于仅当a与b同向时成立对于左边|ab|0,而右边可能0,不成立对于a2|a|2,a2|a|2不成立对于当ab时不成立,综上知,四个式子都是错误的答案:A2下列命题中,正确的是()Aa(2,5)与b(4,10)方向相同Ba(4,10)与b(2,5)方向相反Ca(3,1)与b(2
2、,5)方向相反Da(2,4)与b(3,1)的夹角为锐角解析:在B中,a(4,10)2(2,5)2b,a与b方向相反答案:B3某人先位移向量a:“向东走5 km”,接着再位移向量b:“向西走3 km”,则ab表示()A向东走2 kmB向西走2 kmC向东走8 km D向西走8 km答案:A4已知向量a,b(x1,2),其中x0,若ab,则x的值为()A8 B4C2 D0解析:ab,(8x)2x(x1)0,即x216,又x0,x4.答案:B5若(2,4),(1,3),则()A(1,1) B(1,1)C(3,7) D(3,7)解析:(1,3)(2,4)(1,1)答案:B6若向量a(1,1),b(2,
3、5),c(3,x),满足条件(8ab)c30,则x()A6 B5C4 D3解析:8ab8(1,1)(2,5)(6,3),c(3,x),(8ab)c(6,3)(3,x)183x,又(8ab)c30,183x30,x4.答案:C7向量a(1,1),且a与a2b方向相同,则ab的取值范围是()A(1,1) B(1,)C(1,) D(,1)解析:依题意可设a2ba(0),则b(1)a,ab(1)a2(1)211.答案:B8设单位向量e1,e2的夹角为60,则向量3e14e2与向量e1的夹角的余弦值为()A. B.C. D.解析:(3e14e2)e13e124e1e2312411cos605,|3e14
4、e2|29e1216e2224e1e291216122411cos6037.|3e14e2|.设3e14e2与e1的夹角为,则cos.答案:D9在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E为线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若a,b,则()A.ab B.abC.ab D.ab解析:如右图所示,由题意知,DEBEDFBA13.ab(ab)ab.故选B.答案:B10已知点B为线段AC的中点,且A点坐标为(3,1),B点坐标为,则C点坐标为()A(1,3) B.C(4,2) D(2,4)解析:设C(x,y),则由得,C(4,2)答案:C11已知向量(2,2),(4,1),在x轴上一点P,
5、使有最小值,则点P的坐标为()A(3,0) B(2,0)C(3,0) D(4,0)解析:设(x,0),则(x2,2),(x4,1),(x2)(x4)2(1)x26x10(x3)21,当x3时,有最小值1,此时P(3,0)答案:C12下列命题中正确的个数是()若a与b为非零向量,且ab,则ab必与a或b的方向相同;若e为单位向量,且ae,则a|a|e;aaa|a|3;若a与b共线,又b与c共线,则a与c必共线;若平面内有四点A、B、C、D,则必有.A1 B2C3 D4解析:易知、均错误,正确,因为,即,正确答案:A二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分将答案填在题中横线上)13已知a(2
6、cos,2sin),b(3,),且a与b共线,0,2),则_.解析:由ab得2cos6sin,cos0,tan,又0,2),或.答案:或14假设|a|2,b(1,3),若ab,则a_.解析:设a(x,y),则有x2y220又ab,ab0,x3y0由解得x3,y,或x3,y,a(3,)或a(3,)答案:(3,)或(3,)15已知ab2i8j,ab8i16j,那么ab_.(其中i,j为夹角90的单位向量)解析:由得a(3,4),b(5,12),ab354(12)63.答案:6316若等边ABC的边长为2,平面内一点M满足,则_.解析:等边ABC的边长为2,如下图建立直角坐标系,(,3),(,3),
7、.(0,3).2.答案:2三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知|a|3,|b|2,a与b的夹角为60,c3a5b,dma3b.(1)当m为何值时,c与d垂直?(2)当m为何值时,c与d共线?解:(1)令cd0,则(3a5b)(ma3b)0,即3m|a|215|b|2(5m9)ab0解得m.故当m时,cd.(2)令cd,则3a5b(ma3b)即(3m)a(53)b0,a,b不共线,解得故当m时,c与d共线18(12分)如图所示,在ABC中,C为直角,CACB,D是CB的中点,E是AB上的点,且AE2EB,求证:ADCE.证明:设此等腰直角
8、三角形的直角边长为a,则()()a20aaaa2a2a20,ADCE.19(12分)已知在ABC中,A(2,1)、B(3,2)、C(3,1),AD为BC边上的高,求|与点D的坐标解:设D点坐标为(x,y),则(x2,y1),(6,3),(x3,y2),D在直线BC上,即与共线,存在实数,使,即(x3,y2)(6,3)x32(y2)即x2y10.又ADBC,0,即(x2,y1)(6,3)0,6(x2)3(y1)0.由可得|,即|,D(1,1)20(12分)在直角坐标系中,已知(4,4),(5,1),在方向上的射影数量为|,求的坐标解:设点M的坐标为M(x,y)在方向上的射影数量为|,0.又(x,
9、y),(5x,1y)x(5x)y(1y)0.又点O、M、A三点共线,.解得(52,12)(3,3)21(12分)在四边形ABCD中,a,b,c,d,且abbccdda,判断四边形的形状解:abcd0,(ab)2(cd)2,a22abb2c22cdd2.abcd,a2b2c2d2.同理a2d2b2c2.两式相减得b2d2d2b2,两式相加得a2c2,|b|d|,|a|c|.四边形ABCD是平行四边形,又abbc,b(ac)0.b2a0,即ab0,ab,四边形ABCD是矩形22(12分)已知三个点A(2,1),B(3,2),D(1,4)(1)求证:;(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值解:(1)证明:A(2,1),B(3,2),D(1,4)(1,1),(3,3)又1(3)130,.(2),若四边形ABCD为矩形,则.设C点的坐标为(x,y),则有(1,1)(x1,y4),点C的坐标为(0,5)由于(2,4),(4,2),(2)(4)4216,|2,|2.设对角线AC与BD的夹角为,则cos0.故矩形ABCD两条对角线所夹锐角的余弦值为.第 8 页 共 8 页 金太阳新课标资源网