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1、集合（数学竞赛讲稿）第一讲： 集 合 集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略分类思想的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视，本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。1 集合的概念 集合是一个不定义的概念，集合中的元素有三个特征：（1） 确定性 设是一个给定的集合，是某一具体对象，则或者是的元素，或者不是的元素，两者必居其一，即与仅有一种情况成立。（2） 互异性 一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象,即同一个集合中不应出现同一个元素.（3） 无序性2 集合的表示方法主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法。常用数集
2、如：应熟记。3 实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换，有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换。对于方程、不等式的解集，要注意它们的几何意义。4 子集、真子集及相等集（1）或；（2）且；（3）且。5 一个阶集合（即由个元素组成的集合）有个不同的子集，其中有1个非空子集，也有1个真子集。6 集合的交、并、补运算=且=或且要掌握有关集合的几个运算律：（1） 交换律 ，；（2） 结合律（）（）， （）()；（3） 分配律 （）（）（） （） () （）（4）01律 ， ， （5）等幂律 ，（6）吸收律 ()，（）（7）求补律 ，（8）反演律 7 有限集合所含元素个数的几个简单性质 设表示集合所含
3、元素的个数 （1） 当时，（2） 8 映射、一一映射、逆映射（1） 映射 设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合到集合的映射，记作：。上述映射定义中的、，可以是点集，数集，也可以是其他集合。和中元素对应的中的元素叫做（在下）的象，叫做的原象。中的任何一个元素都有象，并且象是唯一的。（2） 一一映射 设、是两个集合，：是从集合到集合的映射，如果在这个映射的作用下，对于集合中的不同元素，在集合中有不同的象，且中的每一个元素都有原象，那么这个映射叫做到上的一一映射。（3） 逆映射 设：是集合到集合上的一一映射，如果对于中的
4、每一个元素，使在中的原象和它对应，这样所得映射叫做映射：的逆映射，记作：。注意：只有一一映射，才有逆映射。 要能够根据这三个概念的定义，准确地判断一个给定的对应是不是映射，是不是一一映射，并能求出一一映射的逆映射。解题指导元素与集合的关系1 设|,，求证：（1）()；（2）分析：如果集合|具有性质，那么判断对象是否是集合的元素的基本方法就是检验是否具有性质。解：（1）,且,故；（2）假设，则存在，使即 (*)由于与具有相同的奇偶性，所以（*）式左边有且仅有两种可能：奇数或4的倍数，另一方面，（*）式右边只能被4除余2的数，故（*）式不能成立。由此，。2 设集合（3，2）。已知，,判断与集合的关
5、系。分析：解决本题的关键在于由已知条件确定的取值范围，从而利用对数函数的单调性确定的范围。解：因为且，所以由此及得=3,从而=2.所以3,即。3 以某些整数为元素的集合具有下列性质：中的元素有正数，有负数；中的元素有奇数,有偶数；1；若，,则试判断实数0和2与集合的关系。解：由若，,则可知，若，则（1） 由可设，且0，0，则| (|)故,由,0()+。（2）2。若2，则中的负数全为偶数，不然的话，当（）（）时，1（），与矛盾。于是，由知中必有正奇数。设，我们取适当正整数，使，则负奇数。前后矛盾。4 设为满足下列条件的有理数的集合：若，则+，；对任一个有理数，三个关系，0有且仅有一个成立。证明：
6、是由全体正有理数组成的集合。证明：设任意的，0,由知，或之一成立。再由，若，则；若，则。总之，。取=1，则1。再由，2=1+1，3=1+2，可知全体正整数都属于。设，由，又由前证知，所以。因此，含有全体正有理数。再由知，0及全体负有理数不属于。即是由全体正有理数组成的集合。两个集合之间的关系在两个集合之间的关系中，我们感兴趣的是“子集”、“真子集”、“相等”这三种特殊关系。这些关系是通过元素与集合的关系来揭示的，因而判断两个集合之间的关系通常可从判断元素与这两个集合的关系入手。5 设函数，集合，。（1） 证明：；（2） 当时，求。（3） 当只有一个元素时，求证：解：（1）设任意，则.而故,所以
7、.（2） 因，所以 解得故 。由得解得 。6为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列，若，则（1） 证明：三个集合中至少有两个相等。（2） 三个集合中是否可能有两个集无公共元素？证明：（1）若，则所以每个集合中均有非负元素。当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立。否则，设中的最小正元素为，不妨设，设为中最小的非负元素，不妨设则。若0,则0，与的取法矛盾。所以=0。任取因0,故0。所以，同理。所以=。（3） 可能。例如=奇数，=偶数显然满足条件，和与都无公共元素。7已知集合：问（1） 当取何值时，为含有两个元素的集合？（2） 当取何值时，为含有三个元素的集合？解：=。与分别为方程组（） （）的
8、解集。由（）解得（）=（0，1）=（，）；由（）解得（）=（1，0），（，）（1） 使恰有两个元素的情况只有两种可能： 由解得=0；由解得=1。故=0或1时，恰有两个元素。（2） 使恰有三个元素的情况是：= 解得，故当时，恰有三个元素。8 设且15，都是1，2，3，真子集，且=1，2，3，。证明：或者中必有两个不同数的和为完全平方数。证明：由题设，1，2，3，的任何元素必属于且只属于它的真子集之一。 假设结论不真，则存在如题设的1，2，3，的真子集，使得无论是还是中的任两个不同的数的和都不是完全平方数。 不妨设1，则3，否则1+3=，与假设矛盾，所以3。同样6，所以6，这时10，即10。因15，而15或者在中，或者在中，但当15时，因1，1+15=，矛盾；当15时，因10，于是有10+15=，仍然矛盾。因此假设不真。即结论成立。第6页