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1、第3章 曲线拟合的最小二乘法,给出一组离散点，确定一个函数逼近原函数，插值是这样的一种手段。在实际中，数据不可避免的会有误差，插值函数会将这些误差也包括在内。,因此，我们需要一种新的逼近原函数的手段： 不要求过所有的点（可以消除误差影响）； 尽可能表现数据的趋势，靠近这些点。,有时候，问题本身不要求构造的函数过所有的点。如：5个风景点，要修一条公路S使得S为直线，且到所有风景点的距离和最小。,先讲些预备知识,对如上2类问题，有一个共同的数学提法：找函数空间上的函数g，使得g到f的距离最小。,向量范数,映射：,满足：,非负性,齐次性,三角不等式,称该映射为向量的一种范数,预备知识,定义,常见的范
2、数有：,常用范数的等价关系：,我们定义两点的距离为：,定义：函数 f 的离散范数为,提示：该种范数的定义与向量的 2 范数一致,我们还可以定义函数的离散范数为：,特性：,f(x)为定义在区间a,b上的函数， 为区间上n+1个互不相同的点， 为给定的某一函数类。求 上的函数 g(x) 满足 f(x) 和 g(x) 的距离最小,如果这种距离取为2范数的话，称为最小二乘问题,曲线拟合的最小二乘问题,定义,下面我们来看看最小二乘问题：,求 使得 最小,设,最小,则,即,关于系数,即,写成矩阵形式有：,法方程,第一步：函数空间的基,，然后列出法方程,第一步：函数空间的基,，然后列出法方程,例：,第一步：
3、函数空间的基,，然后列出法方程,由,，可以先做,求解一个矛盾方程组，计算的是在均方误差,极小意义下的解,也就是最小二乘问题。,我们有：,矛盾方程组恒有解，且,矛盾方程组的求解,定义：矩阵范数,矩阵范数，是由向量的范数定义的,矩阵范数和条件数,矩阵范数也是等价的,对应于3种常见的向量范数，有3种矩阵范数,列和的最大值,行和的最大值,定理：,若,为,的特征值，则,证：,x为A的特征值,#证毕,易知：,条件数和病态矩阵,条件数表示了对误差的放大率,类似有,可以证明,注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A1，而由经验得出。 行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）； 元素间相差大数量级，且无规则； 主元消去过程中出现小主元； 特征值相差大数量级。,精确解为,A1 =,解：考察 A 的特征根,39206 1, 测试病态程度：,此时精确解为,2.0102 200%,为对称矩阵,Homework,对数据点,估计如下两组基函数的法方程的条件数,Homework,对互不相同的点,，在次数不超过,次多项式空间上的最小乘问题的解存在唯一。即，证明得到的法方程有唯一解。,Homework,若矩阵A对称，则,