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1、 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第五章 导数专题4 三次函数的图像和性质第一讲 三次函数的基本性质设三次函数为（、且），其基本性质有：性质一：定义域为R性质二：值域为R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值性质三：单调性和图象图像当时，先看二次函数，当，即时，与轴有两个交点，形成三个单点区间和两个极值点，图像如图1，2当，即时，与轴有两个等根，没有极值点图像如图3，4当，即时，与轴没有交点，没有极值点，图像如图5，6 图1 图2 图3 图4 图5 图6当时，同理先看二次函数，.当，即时，与轴有两个交点，形成三个单点区间和两个极值点，.当，即时，与x轴有两个等根，没有极值点.当，即时，与x轴没有
2、交点，没有极值点.性质四：三次方程的实根个数对于三次函数（、且），其导数为当，其导数有两个解，原方程有两个极值.当，原方程有且只有一个实根，图像如图13，14.当，则方程有2个实根，图像如图15，16.当，则方程有三个实根，图像如图17.x1x2x1x2x图13 图14 图15 图16 图17性质五：奇偶性对于三次函数（、且）.不可能为偶函数；当且仅当时是奇函数性质六：对称性（1）结论一：三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；（2）结论二：其导函数为 对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，图象的对称中心在导函数的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；（3
3、）结论三：是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线 对称.（4）结论四：若图象关于直线对称，则图象关于点对称.（5）结论五：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.（6）结论六：已知三次函数的对称中心横坐标为，若存在两个极值点，则有.性质七：切割线性质（1）设是上任意一点(非对称中心)，过点作函数图象的一条割线与一条切线(点不为切点),均在的图象上，则点的横坐标平分点的横坐标，如图18 图18 图19 图20 推论1：设是上任意一点（非对称中心)，过点 作函数图象的两条切线切点分别为，则M点的横坐标平分的横坐标，如图19推论2：设的极大值为，当成的两根为，
4、则区间被中心和极小值点三等分，类似的，对极小值点也有此结论，如图20第二讲 三次函数切线问题一般地，如图，过三次函数图象的对称中心作切线L,则坐标平面被切线L和函数的图象分割为四个区域，有以下结论：（1） 过区域、IV内的点作的切线，有且仅有3条；（2） 过区域II、内的点以及对称中心作的切线，有且仅有1条； （3）过切线L或函数图象（除去对称中心）上的点作的切线，有且仅有2条【例1】过点与曲线相切的直线方程是_ 【解析】由题意可得： ，设曲线上点的坐标为，切线的斜率为，切线方程为： ，由于切线过点，则： ，解得：或将其代入切线方程式整理可得，切线方程为：或.【例2】若 对恒成立，则曲线在点处
5、的切线方程为_【解析】 又 ，则曲线在点处的切线方程为 ，即.【例3】过点作曲线的切线最多有（ ）A条 B条C条D条【解析】法一：设切点为，则切线方程为，因为过，所以令 ， ，而，所以有三个零点，即切线最多有3条，选.法二：根据题意，关于点中心对称，在原点的切线方程为，故点位于区域，有三条切线（如图），选.秒杀秘籍：第三讲 四段论法则“房间里装大象”且导函数 且导函数极大值 极大值 极小值等值点 中心 极小值 极小值 中心 极小值等值点1对称中心：；2极大值到对称中心距离为，极小值到对称中心距离为，极小值等值点到极大值距离为，极大值等值点到极小值距离为；3对称中心为极值与极值等值点的三等分点（
6、三次函数性质七）.【例4】函数在闭区间上的最大值、最小值分别是（ ）A， B，C，D，【解析】依题意得对称中心为，由，得，如图，画出四段论图像，得，.【例5】已知函数的定义域为，记的最大值为，则的最小值为（ ）A BCD【解析 】依题意得对称中心为，定义域内画出四段论图像，得，解得，即，故选.【例6】已知，在区间上任取三个数，均存在以，为边长的三角形，则的取值范围是（ ）A BCD【解析】由，得，画出函数四段论图像函数的定义域为，所以，由题意知，即得到，故选【例7】已知在区间上的最大值是，最小值为，求解析式【解析】由，得，令，则，（舍去），如图分类画出四段论图像；当时，如图1所示，得，所以；当
7、时，如图2所示，得，所以；综上. 图1 图2 【例8】若函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）A BCD【解析】由题意，另，又画出四段论图像，依题意结合图象可知，得a3，0），故选【例9】若函数对任意的恒成立，求的取值范围（ ）A BCD【解析】两边同时除以，当时恒成立；当时，即恒成立，令，构造，对称中心为，画出函数四段论图像得，即；同理当时，得，故选.【例10】设函数，总存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是 .【解析】根据四段论法则（最佳位置选取）得对称中心为，令,画出四段论图像知,即，易得，所以.达标训练一选择题1函数在区间上的最大值是（ ）A BCD2已知（是常数）在上有最
8、大值，那么在上的最小值是（ ）ABCD3函数的最大值是（ ）ABCD4若函数在上有最大值，则该函数在上的最小值是（ ）ABCD5若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）ABCD6若函数在上有最小值，则实数的取值范围是（ ）ABCD7函数在内有最小值，则的取值范围是（ ）ABCD8当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD9若关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）ABCD10函数，函数，它们的定义域均为，并且函数的图象始终在函数的上方，那么的取值范围是（ ）ABCD11设函数，若对于任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ）A BCD12已知函数，若存在唯一的零点，且，则的
9、取值范围是（ ）ABCD13已知，函数，设的最大值为，对任意的恒有，则实数的最大值为（ ）ABCD14曲线的所有切线中，经过点的切线的条数是（ ）ABCD15已知函数有两个极值点，则（ ）A，B，C，D，16已知函数，则过点可以作几条直线与曲线相切（ ）A条B条C条D条17已知函数，的图象过原点，且在点，（1）和点，处的切线斜率为，则（ ）A是奇函数B是偶函数C既是奇函数又是偶函数D是非奇非偶函数18已知函数有两个极值点，若，则的解的个数为（ ）ABCD19已知函数，是函数的导数，且，若在，上恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD20（2019汕头月考）函数在，上单调递增，则的取值范围是（
10、）ABCD21（2019浙江期中）已知函数在区间上有极小值无极大值，则实数的取值范围（ ）A BCD22（2019长沙期中）已知函数，则与的大小关系是（ ）ABCD随的变化而变化23（2019临川月考）正项等差数列中的，是函数的极值点，则（ ）ABCD24若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）ABCD25（2019醴陵期中）函数，若函数在，上有3个零点，则的取值范围为（ ）ABCD26（2019湛江一模）已知函数存在极值点，且，其中，（ ）ABCD27（2019邯郸一模）过点引曲线的两条切线，这两条切线与轴分别交于，两点，若，则（ ）ABCD28（2019黔东南州一模）已知函数只有一
11、个零点，且，则的取值范围为（ ）ABCD29（2019莆田一模）若函数没有极小值点，则的取值范围是（ ）ABCD30（2018秋晋中期末）已知的两个极值点分别为，且，则函数（ ）ABCD与有关31（2019陕西一模）已知函数，则不等式的解集为（ ）A BCD32（2018宜春期末）等比数列的各项均为正数，是函数的极值点，则（ ）ABCD33（2018湖北期末）已知函数，的导函数为，的解集为，若的极小值等于，则的值是（ ）ABCD34（2019朝阳二模）已知在区间上有最大值，则实数的取值范围是（ ）ABCD35（2018海淀期末）函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）ABCD36（201
12、9汉阳模拟）函数存在唯一的零点，且，则实数的范围为（ ）ABCD37（2019瀍河月考）设函数的极大值和极小值分别为，则（ ）ABCD38（2018南阳期末）函数在上的最大值和最小值分别是（ ）A，B，C，D，39（2018合肥期末）已知函数，若（a），则实数的取值范围是（ ）ABCD二 填空题1（2019东城一模）已知函数，若，都有成立，则满足条件的一个区间是 2（2019陕西二模）设函数的导函数为，若函数的图象的顶点横坐标为，且（1）则的值为 3（2019新疆二模）已知函数在上没有最小值，则的取值范围是 4（2019十堰模拟）对于三次函数，有如下定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方
13、程有实数解，则称点，为函数的“拐点”若点是函数，的“拐点”也是函数图象上的点，则当时，函数的函数值为 5（2018揭阳期末）已知函数，若，则实数的取值范围是 6（2018长治期末）已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，则的取值范围是 7（2019自贡模拟）已知存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是 8（2019天山月考）设，当，时，恒成立，则实数的取值范围为 9已知函数，直线：若当时，函数的图象恒在直线的下方，则的取值范围是 三 解答题1已知函数，其中若在区间上的最小值为，求的值2知函数的最大值为，最小值为，求、的值3已知函数；（1）若在上是增函数，求b的取值范围；（2）若在时取得极值，且时
14、，恒成立，求的取值范围.4（2019海淀期中）已知函数，其导函数的图象过点和（1）函数的单调递减区间为 ，极大值点为 ；（2）求实数，的值；（3）若恰有两个零点，请直接写出的值5（2019莱西月考）设函数（1）若函数在区间上递减，求的取值范围；（2）若函数在区间，上的最大值为2，求的取值范围6（2019海淀一模）已知函数（1）当时，求函数在上的单调区间；（2）求证：当时，函数既有极大值又有极小值7（2019怀柔一模）已知函数（1）当时，求在点，（1）处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）求在区间，上的最小值8（2019天津一模）已知函数（1）时，直线与相切，求的值；（2）若函数在内有且只有一个零点，求此时函数的单调区间；（3）当时，若函数在上的最大值和最小值的和为1，求实数的值9（2018镇海期末）已知函数（1）求曲线在点处的切线与轴和轴围成的三角形面积；（2）若过点可作三条不同直线与曲线相切，求实数的取值范围10（2018太原期末）若是函数的极值点（1）求的值；（2）若时，成立，求的最大值11（2018佛山期末）已知函数（1）若在处取得极小值，求的值；（2）设，是的两个极值点，若，求的最小值305