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1、概率论例题例1.设某班车起点站上车人数X服从参数为（0）的泊松分布，并且中途不再有人上车。而车上每位乘客在中途下车的概率为p,且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数。试求（1）（X,Y）的联合概率分布律；（2）求Y的分布律（列）。解：X可能的取值是0，1，2，.，k，n，. PX=k=Y可能的取值是0，1，2，r，kPx =k, y =r =Px=kPy=r/x=k= r=0,1,2,k当rk时，Px=k, y=r=0, Y的边缘分布PY= r = = = = = r = 0, 1, 2, , 验证Y的分布律 = 1 ？例2. 设服从N( 0, 1 ), 求的分布密度。解 因为只取非
2、负值，所以当时， 当时 所以 例3. 在一个人数很多的团体中普查某种疾病,为此要抽验N个人的血,可以用两种方法进行.(i) 将每个人的血分别去验,这就需验N次.(ii)按个人一组进行分组,把从个人抽来的血混合在一起进行检验,如果这混合血液呈阴性反应,就说明个人的血都呈阴性反应,这样,个人的血就只需验一次.若呈阳性,则再对这个人的血液分别进行化验.这样, 个人的血总共要化验是次.假设每个人化验呈阳性的概率为,且这些人的试验反应是相互独立的.试说明当较小时,选取适当的,按第二种方法可以减少化验的次数.并说明取什么值时最适宜.解 各人的血呈阴性反应的概率为.因而个人的混合血呈阴性反应的概率为,个人的
3、混合血呈阳性反应的概率为.设以个人为一组时,组内每人化验的次数为X,则X是一个随机变量,其分布律为X 的数学期望为 N个人平均需化验的次数为 . 由此可知，只要选择使 ,则N个人平均需化验的次数.当固定时,我们选取使得小于1且取到最小值,这时就能得到最好的分组方法.例如,则,当时, 取到最小值. 此时得到最好的分组方法.若,此时以分组,则按第二方案平均只需化验. 这样平均来说,可以减少40%的工作量. 例4.按规定，某车站每天8：00-9：00，9：00-10：00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立. 其规律为到站时间8：109：108：309：308：509：
4、50 概率一旅客8：20到车站，求他候车时间的数学期望. 解 设旅客的候车时间为X（以分计）. X 的分布律为X1030507090pk在上表中，例如 其中A为事件“第一班车在8：10到站”，B 为“第二班车在9：30到站”. 候车时间的数学期望为（分）.例5.某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式. 记使用寿命为X（以年计），规定： ， 一台付款1500元； ,一台付款2000元； ,一台付款2500元；，一台付款3000元. 设寿命服从指数分布，概率密度为试求该商店对上述家电收费（元）的数学期望. 解 先求出寿命落在各个时间区间的概率，即有,.一台收费的分布律为X15002000
5、25003000pk0.09520.08610.07790.7408得,即平均一台收费2732.15元. 例6 及的分布 设是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为和.现在来求及的分布函数.由于不大于等价与和不大于，故有.又由于和相互独立，得到的分布函数为即有 . 类似地，可得到的分布函数为.即 . 例7.有2个相互独立工作的电子装置,它们的寿命 服从同一指数分布,其概率密度为 若将这2个电子装置串联联接组成整机,求整机寿命(以小时计)N的数学期望.解 的分布函数为由第三章5(5.8)式的分布函数为因而N的概率密度为于是N的数学期望为.例8.一民航机场的送客车载有20位旅客，自机场开出，旅客有10个站可以下车。如果到达一个车站没有人下车则不停车。以X表示停车的次数，求EX（设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立）。解 引人随机变量易知 现在来求.按题意, 任一旅客在第i站不下车的概率为, 因此20位旅客都不在第i站下车的概率为()20,在第站有人下车的概率为1()20，也就是由此进而 5