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1、 2021届河南省南阳市第一中学校高三上学期第四次月考数学（文）试题一、单选题1若集合，则（ ）ABCD【答案】A【分析】解出A，B集合，即可选出答案【详解】A集合：或 B集合：根据不等式关系知选A【点睛】本题主要考查集合与集合之间的关系，属于基础题2已知复数满足，则的虚部是（ ）A-1B1CD【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得，则答案可求【详解】由，得，则的虚部是1故选：3若是第三象限角，则点在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B【分析】根据诱导公式及的象限可判断坐标正负.【详解】因为是第三象限角，所以 ，所以点在第二象限.故选：B.
2、【点睛】本题考查三角函数的诱导公式，考查逻辑推理的核心素养.4已知向量满足，且，则与的夹角的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【分析】由向量数量积的定义：，再由向量夹角的取值范围求解【详解】解：设与的夹角，故选：5函数图象的一条对称轴方程是（ ）ABCD【答案】D【分析】利用辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：所以令，解得令则故函数的一条对称轴为故选：D6已知，命题，则（ ）Ap是假命题；Bp是假命题；Cp是真命题；Dp是真命题；【答案】D【分析】构造函数，利用导数说明其单调性，即可得到当时，可判断的真假，根据全称命题的否定为特称命题可知【详解】解：当时，令，则，即
3、在上单调递减，且，所以在恒成立，即在上恒成立，即命题，为真命题根据全称命题的否定为特称命题可知，故选：7已知D是所在平面内一点，且满足，则是A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形【答案】A【解析】设，则由，得，所以accosB=bccosA，即acosB=bcosA，利用余弦定理化简得a2=b2，即a=b，所以是等腰三角形（此题也可用正弦定理化简acosB=bcosA得，即可得）8设等差数列的前项和，且，则满足的最大自然数的值为（ ）A6B7C12D13【答案】C【解析】由,利用等差数列的性质可得：,又0，0,0的最大自然数n的值为12.故选C.点睛：求解等差数列问题时，要多多使
4、用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.由此得：，当为奇数时，当为偶数时，.9太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量大约是千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量大约是千克.下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：，）ABCD【答案】D【分析】根据题意，得到，两边同时取以10为底的对数，根据题中条件，进行估算，即可得出结果.【详解】因为，所以.故.故选：D.【点睛】本题主要考查对数的运算，属于基础题型.10在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，点P是边AB上的一个三等分点，则 =（ ）A0B6C9D12【答案】B【分析】过点作，垂足为如图所示，由，可得，分别取点靠近点，的三等分点可得利用向
5、量的三角形法则、坐标运算、数量积运算即可得出【详解】解：过点作，垂足为如图所示，取点靠近点的三等分点则同理取点靠近点的三等分点答案也是6故选：B【点睛】通过建立适当的直角坐标系，将向量的数量积问题转化为坐标运算，能使问题变得更简洁.11已知函数下列是关于函数的零点个数的四种判断：当时，有3个零点；当时有2个零点；当时，有4个零点；当时，有1个零点则正确的判断是（ ）ABCD【答案】A【解析】试题分析：若.当,即时,解得；当,即时,当,解得适合；当,解得不适合.若,若,则,即,当合适,时不合适；若,则,即也即,当时适合；当不合适.因此当时有四个根；当只有一个根,应选A.【解析】函数的零点和分类整
6、合思想【易错点晴】本题考查的是函数零点的个数及求解问题.解答时借助题设条件,合理运用分类整合的数学思想,通过对变量的分类讨论,建立了关于函数的方程,再通过对参数的分类讨论,求解出方程的根,求解时分类务必要求合乎逻辑力争做到不重不漏,要有条理.解答本题的难点是如何转化方程,如何进行分类整合.12在函数的图像上任意一点处的切线为，若总存在函数的图像上一点，使得在该点处的切线满足，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】由f（x）=exx，得f（x）=ex1，ex+11，（0，1），由g（x）=ax+2cosx，得g（x）=a2sinx，又2sinx2，2，a2sinx2+a，2+a，要使过曲
7、线f（x）=exx上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1l2，则，解得1a2即a的取值范围为1a2故选D点睛：设函数、，对任意的，存在，使得，设f(x)在区间a,b上的值域为A，g(x)在区间c,d上的值域为B,则AB.二、填空题13已知为第三象限的角，则 .【答案】【解析】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 因为为第三象限角，所以，又0，所以，于是有,，所以.14已知两个单位向量，的夹角为，若，则_【答案】2；【详解】试题分析：由可得，即，故填2.【解析】1.向
8、量的运算.2.向量的数量积.15已知函数的值域是，则实数a的取值范围是_.【答案】【分析】由二次函数的性质可得当时，函数的值域刚好为，故只需，的值域为，的子集，可得的不等式，结合指数函数的单调性可得【详解】解：当时，图象为开口向下的抛物线，对称轴为，故函数在，单调递增，单调递减，当时，函数取最大值1，当时，函数取最小值，又函数的值域为，的值域为，的子集，单调递增，只需，解得故答案为：16设函数，若方程恰好有三个根，分别为，则的值为_.【答案】【分析】先作出函数的图像，再观察图像可得：当时，方程恰有三个根，再由函数图像的对称性可得解.【详解】解：由，得，画出函数的大致图象，如图所示，由图，可得当
9、时，方程恰有三个根，由，得；由，得，由图可知，点与点关于直线对称；点和点关于直线对称，所以，所以，故答案为.【点睛】本题考查了函数与方程的相互转化，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.三、解答题17在中，内角的对边分别为，且.（1）求角的大小.（2）若边上的中线，且,求的周长.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理可求角的大小.（2）由面积公式可得，再在和中，由余弦定理可得，最后用完全平方公式可求的值，即可求得三角形的周长.【详解】解：（1）由已知 由正弦定理得： 由余弦定理得：在中，因为,所以 （2）由，得 由（1）知，即 在中，由余弦定理得： 在中，由
10、余弦定理得： 因为，所以 由，得所以所以的周长.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题18已知为等差数列的前项和，满足，为数列的前项和，满足，.（1）求和的通项公式；（2）设，若数列的前项和，求的最大值.【答案】（1），；（2）9.【分析】（1）根据等差数列基本量运算，可得数列的通项公式，根据递推关系，多递推一项再相减，即可得答案；（2）求出，再进行等差数列求和及裂项相消求和；【详解】（1）为等差数列，因为，所以，解得，所以.因为，所以当时，；当时，.综上，.（2），所以，所以，因为，当时，为关于的递增数列，所以的最大值为9.【点睛】已知数列的通项和前项和的
11、递推关系，常采用多递推一项再相减的思想；通过研究数列的单调性，进而研究数列项的最值或解不等式，是常用的方法.19在中，已知向量，且，记角的对边依次为.（1）求角C的大小；（2）若，且是锐角三角形，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据向量，且，结合二倍角的余弦公式化简得到，再由求解.（2）利用正弦定理得到，则，利用二倍角公式和两角和与差的三角函数的正用和逆用，化简得到，再利用正弦函数的性质求解.【详解】（1）依题意：即，即，又，；（2）由正弦定理得，得，所以，因为三角形是锐角三角形，所以，即，即.【点睛】本题主要考查三角函数与平面向量，二倍角公式以及辅助角公式的应用，还考查了
12、运算求解的能力，属于中档题.20已知函数.（1）讨论函数的导函数的单调性：（2）若对，,都有，求的取值范围.【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）【分析】（1）对函数求导可得，令，求得后，按照、分类，求得、的解集即可得解；（2）令函数，由函数单调性的定义可得在上递减，由导数可得在上恒成立，设，由导数求得函数即可得解.【详解】（1）由题意，令，则，当时，所以在上单调递减；当时，若时，单调递增，若，则，单调递减；综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）不妨设，若，则即，令，则在递减，即在上恒成立，设，则，再设，函数单调递增，在上单调递减，的取值范围是.【点睛】本题考查
13、了函数单调性的定义及导数在研究函数单调性和最值中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题.21已知数列中，.（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；（2）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析，；（2）.【分析】（1）对递推关系两边取倒数得，再利用构造等比数列，即可得答案；（2）求出，再利用错位相减求和，根据数据的单调性，可求得参数的取值范围；【详解】（1）由得，即，又，所以是以是为首项，为公比的等比数列.所以，即.（2），所以，.两式相减得，所以，所以. 令，易知单调递增，若为偶数，则，所以；若为奇数，则，所以，所以.综上所述.【点睛
14、】利用构造等比数列可求解形如递推关系的通项公式；根据数列的单调性求数列的最值，可求得参数的取值范围.22已知函数，在处的切线与直线垂直，函数（）求实数的值；（）设，是函数的两个极值点，若，求的最小值【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（I）切线与直线垂直，所以切线斜率为，利用导数等于，求得；（II）对求导后通分，由根与系数关系得到两个极值点的关系化简的表达式为，令，换元后利用导数求得的最小值为试题解析：（），与直线垂直，（），所以令，所以设，所以在单调递减，又，即，故所求的最小值是【解析】函数导数与不等式【方法点晴】本题主要考查导数与切线，导数与极值点、不等式等知识解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理