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1、一、解答题1（2020湖南省高三考试）设函数，.（1）如果，求的解析式；（2）若为偶函数，且有零点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，所以，即.所以.（2）因为为偶函数，所以，即.因为有零点，所以方程有实数根.所以，所以.2（2020全国高三专题练习）已知函数，为的导函数.（1）求在处的切线方程；（2）求证：在上有且仅有两个零点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1），又，所以切点为.故在处的切线方程为； （2）因为为偶函数，且，则只需证明在上有且仅有一个零点即可.，当时，故在上单调递减，因为，由零点存在定理，可知存在使得，所以在上有且仅有一个零点，因此在上有
2、且仅有两个零点.3（2020安徽省高三期末）已知函数在区间内存在零点（1）求的范围；（2）设，是的两个零点，求证：【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）由题意，方程在区间有解，即方程在区间有解，设函数，即在区间存在零点因为，若，则，成立，在区间单调递增，所以在区间存在零点；若，则，在内单调递减，且，所以在区间无零点；若，则，当时，故在区间无零点；综上所述，（2）由（1）可知，时，在区间单调递减，在区间单调递增，且在区间存在一个零点；又，所以在区间也存在一个零点，从而，所以，不等式得证4（2020安徽省高三月考）已知函数.（1）若，求函数的极值；（2）当 时，判断函数在区间上零点的个数.【
3、答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】（1），因为，所以，当x变化时，的变化情况如下表：100递增极大值递减极小值递增由表可得当时，有极大值，且极大值为，当时，有极小值，且极小值为.（2）由（1）得 ，. 当时，在上单调递增，在上递减又因为所以在（0,1）和（1,2）上各有一个零点，所以上有两个零点 当，即时，在上单调递增，在上递减，在上递增，又因为所以在上有且只有一个零点，在上没有零点，所以在上有且只有只有一个零点.综上：当时，在上有两个零点；当时，在上有且只有一个零点5（2020四川省棠湖中学高三月考）已知设函数.（1）若，求极值；（2）证明：当，时，函数在上存在零点.【答案】（1
4、）取得极大值0，无极小值（2）见证明【解析】（1）当时，定义域为，由得当变化时， 的变化情况如下表：极大值故当时，取得极大值，无极小值 （2），当时，因为，所以，在单调递减因为，所以有且仅有一个，使，当时，当时，所以在单调递增，在单调递减所以，而，所以在存在零点当时，由（1）得，于是，所以所以于是因为，所以所以在存在零点综上，当，时，函数在上存在零点6（2020湖南省高三期末）已知函数.（1）若，求函数的所有零点；（2）若，证明函数不存在的极值.【答案】(1) (2)见证明【解析】（1）当 时，函数的定义域为， 且设，则 当时，；当时， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，（当且仅当
5、时取等号）即当时，（当且仅当时取等号）所以函数在单调递增，至多有一个零点. 因为，是函数唯一的零点.所以若，则函数的所有零点只有 （2）证法1：因为，函数的定义域为，且 当时， 由（1）知即当时，所以在上单调递增 所以不存在极值证法2：因为，函数的定义域为 ，且 设，则 设 ，则与同号当 时，由， 解得， 可知当时，即，当时，即，所以在上单调递减，在上单调递增 由（1）知则所以，即在定义域上单调递增 所以不存在极值7（2020河北省高三期末）已知函数.（）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；（）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线.【答案】（）在，单调递增，证明见解析；（）见解
6、析.【解析】（）的定义域为，因为，所以在，单调递增.因为，所以在有唯一零点，因为，由，得；因为，所以在有唯一零点.综上，有且仅有两个零点.（）由题设知，即，由，得，曲线在处的切线为：，即.由，得，则曲线的斜率为的切线的切点横坐标满足，解得，代入，得，故曲线的斜率为的切线方程为，即，由，得，从而与为同一条直线.8（2020重庆高三月考）已知函数（a为常数）的最大值为0.（1）求实数a的值；（2）设函数，当时，求证：函数有两个不同的零点，（），且.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）函数的定义域为：，当时，则函数在上单调递增，无最大值；当时，令，即，解得，所以函数在上单调递增，上单调递减，易知
7、函数与函数的图像相交于点，所以方程的解为；（2）当时，则在上单调递增，又因为，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以函数有两个不同的零点，故.9（2020安徽省高三期末）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个不同零点，证明：且.【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）.因为，由得，或. i）即时，在单调递减，在单调递增，在单调递减；ii）即时，在单调递减；iii）即时，在单调递减，在单调递增，在单调递减. （2）由（1）知，时，的极小值为，时，的极小值为，时，在单调，故时，至多有一个零点.当时，易知在单调递减，在单调递增.要使有两个零点，则，即，得. 令，
8、（），则 ，所以在时单调递增，.不妨设，则， .由在单调递减得，即.10（2020新疆维吾尔自治区高三月考）已知函数（1）若时，讨论的单调性；（2）设，若有两个零点，求的取值范围【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）【解析】（1）易知的定义域为，且，对于，又，若时，在上是增函数；若时，得,在和上是增函数，在上是减函数.（2）由，定义域为且当时，恒成立，在上单调递增，则至多有一个零点，不符合题意；当时，得，在上单调递增，在上单调递减要使有两个零点，则，由解得此时易知当时，令，令，所以，时，在为增函数，在为增函数，所以函数在与各存在一个零点综上所述，.11（2020全国高三专题练习）已知函数（
9、1）当时，证明：；（2）若在上有且只有一个零点，求的取值范围【答案】（1）见解析； （2）.【解析】（1）当时，所以的定义域为R,且故为偶函数 当时,，记，所以因为，所以在上单调递增，即在上单调递增， 故， 所以在上单调递增，所以， 因为为偶函数,所以当时,. （2）当时，令，解得，所以函数有无数个零点，不符合题意； 当时，当且仅当时等号成立，故符合题意；因为，所以是偶函数，又因为，故是的零点. 当时，记，则.1）当时，故在单调递增，故当时，即，故在单调递增，故所以在没有零点.因为是偶函数,所以在上有且只有一个零点. 2）当时，当时，存在，使得，且当时，单调递减，故， 即时，故在单调递减，又，
10、所以，由零点存在性定理知在上有零点，又因为是的零点，故不符合题意；综上所述，a的取值范围为12（2020天津南开中学高三月考）已知函数有两个零点.（）求a的取值范围；（）设x1，x2是的两个零点，证明：.【答案】（）；（）见解析【解析】（）（）设，则，只有一个零点（）设，则当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增又，取满足且，则，故存在两个零点（）设，由得或若，则，故当时，因此在单调递增又当时，所以不存在两个零点若，则，故当时，；当时，因此在单调递减，在单调递增又当时，所以不存在两个零点综上，的取值范围为（）不妨设，由（）知，在单调递减，所以等价于，即由于，而，所以设，则所以当时，而，故当时，
11、从而，故13（2020广东省执信中学高三月考）已知函数，其中a为非零常数讨论的极值点个数，并说明理由；若，证明：在区间内有且仅有1个零点；设为的极值点，为的零点且，求证：【答案】（1）见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【解析】解：由已知，的定义域为，当时，从而，所以在内单调递减，无极值点；当时，令，则由于在上单调递减，所以存在唯一的，使得，所以当时，即；当时，即，所以当时，在上有且仅有一个极值点.综上所述，当时，函数无极值点；当时，函数只有一个极值点；证明：由知令，由得，所以在内有唯一解，从而在内有唯一解，不妨设为，则在上单调递增，在上单调递减，所以是的唯一极值点令，则当时，
12、故在内单调递减，从而当时，所以从而当时，且又因为，故在内有唯一的零点由题意，即，从而，即因为当时，又，故，即，两边取对数，得，于是，整理得14（2020河南省高三开学考试）已知函数（）.（1）若函数有两个零点，求实数a的取值范围（2）证明：【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意，函数的定义域为，令，则，记，则，令，得，当时，单调递减，当时，单调递增，所以有最小值，且为，又当时，；当时，所以要使函数有两个零点，则函数的图象与有两个不同的交点，则，即实数a的取值范围为.（2）由（1）知，函数有最小值为，可得，当且仅当时取等号，因此要证明，即只需要证明，记，则，令，得.当时，单调递增，当时，单调递减，所以，即恒成立，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号.