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1、4. .5 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 求下列微分方程的通解或特解： 1sin1yxx 解： 2 1 1 sin1 dcos 2 yxxxxxxC 32 12 11 sin 62 yxxxC xC 432 123 111 cos 2462 yxxxC xC xC 2yyx 分析：不显含未知函数 y 的二阶微分方程，描述了一阶导与自变量之间的关系，故可作变量 代换( )yp x 解：令( )yp x （注：此处 p 为以 x 为自变量的新未知函数） 则 dp y dx ，将其代入方程得 dpdp pxpx dxdx （关于未知函数 p 的一阶非齐次线性微分方程） 对应齐次线性方程的
2、通解为 ( 1) 12 dx x pCeC e 设非齐次线性方程有形如( ) x pC x e的解，将其 dp p, dx 代入非齐次方程得 ( )( )( )( ) xxxx C x eC x eC x exC xxe 从而有 3 ( )() xxxxxx C xxe dxxdexee dxxeeC 故 33 ( )()1 xxxx yp xxeeC eC ex 从而 2 334 1 ( )(1) 2 xx yp x dxC exdxC exxC 3 2 0yyy 分析：不显含自变量 x 的二阶微分方程，描述了一阶导与未知函数本身之间的关系，故可作 变量代换( )yp y 解：令( )yp
3、y （注：此处 p 为以 y 为自变量的新未知函数） 则 dp dydp yp dy dxdy （注： y 是 y 关于 x 的导数，故对( )p y关于 x 求导，实质上 是复合函数的求导问题，( )p y可视作以 y 为中间变量，以 x 为自变量的复合函数） 将其代入方程得 2 0 dp ypp dy 分离变量 dpdy py ，两边积分 1 lnlnpyC 显化( )p y得， 1 lnln 3 22 ( ) yy C yp yC eC e y （注：( )p y计算出来必须显化才能继续计算未知函数 y） 对 3 C y y 分离变量得， 3 ydyC dx 2 34 1 2 yC xC
4、 4 2 00 20,0,1 xx yyyy 分析：即不显含 x 又不显含 y，视作不显含 y 情形处理更方便 解：令( )yp x ，则 dp y dx ，将其代入方程得 2 1 2 1 2022 dpdp pdxxC dxpp 又 0 1 x y ，即(0)1p ，有 11 1 01 1 CC 从而 1 ( ) 21 yp x x 2 1111 ()(21)ln 21 212212 ydxdxxC xx 又 0 0 x y ，有 22 1 0ln 10 2 CC 故特解为 1 ln 21 2 yx 考研真题：考研真题： 求微分方程 2 ()y xyy满足初始条件(1)(1)=1y y 的特
5、解 解：设( )yp x ，则 dp y dx ，代入方程得 2 () dp xpp dx 2 dd1 dd ppx xp xxppp （注：关于未知函数( )p x的此微分方程不可分离变量，也不是线性的但倒过来，即 将 x 视作函数，p 视作自变量后就可视作一阶线性微分方程） 对应齐次线性方程的通解为 1 () ln 123 dp p p xCeC eC p 设非齐次线性方程有形如( )xC p p的解，将其 dx x, dp 代入非齐次方程得 1 ( )( )( )( )1C p pC pC p ppC p p ，有 4 ( )C ppC 从而 4 ()xpCp，又(1)1(1)1yp ，即 44 1(1)0CC 2 xpypx （因为(1)1p） 从而 3 2 5 2 ( ) 3 yp x dxxdxxC ，又 5 1 (1)1 3 yC 故原方程特解为 3 2 21 33 yx