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1、 、t 分布和 F分布 2 分分布布 数理统计的三大分布 一、一、 分布是由正态分布派生出来的一种分布分布是由正态分布派生出来的一种分布. . 定义定义 设设 相互独立相互独立, 都服从标准都服从标准 正态分布正态分布N(0,1), 则称随机变量则称随机变量 服从自由度为服从自由度为n的的 分布，记为分布，记为 自由度是指自由度是指Y右端包含独立变量的个数右端包含独立变量的个数. 2 分分布布 2 12 , n XXX 2 1 n i i YX 2 2 ( ).Yn 分布的概率密度函数 2 1 22 2 1 ,0, ( ; )2(2) 0,0. nx n xex f x nn x 1 0 (
2、),(0). ts se tdts 其中其中 由阿贝由阿贝( (AbbeAbbe) ) 于于18631863年首先给出，后来年首先给出，后来 由海尔墨特由海尔墨特( (HermertHermert) )和皮尔逊和皮尔逊(Pearson) (Pearson) 分别于分别于18751875年和年和19001900年推导出来年推导出来. . 分布的概率密度曲线 2 分布的性质 2 1.1. 证证 2 ( )(), ()2 .XnE Xn D Xn 设设，则则 12 ,(0,1). n XXXN设设独独立立，都都服服从从则则 22 1 ( ), n i i YXnXY 故故 与与 同同分分布布，可可得
3、得 2 11 ()( )()() nn ii ii E XE YE XD Xn ， 2 1 ()( )() n i i D XD YD X 422 1 ()() n ii i E XE X 2 4 2 1 1 2 x nxedx 2 . n 2 分分布布的的可可加加性性 2.2. 推广推广 22 2 (),( ), (). Xm YnXY XYmn 设设且且 与与 独独立立，则则 2 12 2 11 ,(), (). nii nn ii ii XXXXn Xn 设设独独立立，且且则则 2 分分布布的的上上侧侧 分分位位数数或或临临界界值值 设设 的点的点 临界值临界值. . (01),称称满满
4、足足等等式式 2 ( )P Xn 22 ( )( )nn 为为分分布布的的上上侧侧 分分位位数数或或 22 ( ).n 的的值值可可查查分分布布表表获获得得 2 0.025(3) 9.348, 2 2 + ( ) ( ) =( , ) n P Xn f x n dx 2 0.975(3) 0.216. 例例1 1设设 相互独立相互独立, 都服从正态分布都服从正态分布 证证 由由 12 , n XXX 2 ( ,),N 则则 222 2 1 1 () ( ). n i i Xn 2 ( ,)(1, ), i XNin 则则 12 (0,1), i in X YNY YY 且且独独立立，从从而而
5、2 22 2 11 1 =()() nn i i ii X X 22 1 ( ). n i i Yn t 分布 定义定义 服从自由度为服从自由度为n的的t分布，记为分布，记为 Tt(n). .也称为学生氏分布也称为学生氏分布. . ,X Y设设相相互互独独立立，且且 2 (0,1), ( ),XNYn 则则称称随随机机变变量量 / X T Yn William Gosset 1908提出了提出了t分布分布. t 分布的概率密度函数 t 分布就是柯西分布分布就是柯西分布. . 1 2 2 1 2 ( ; )1(). 2 n n x f x nx nn n 2 1 1( ;1),(). (1) n
6、f xx x 时时， (0,1).ntN当当时时， 分分布布的的极极限限分分布布是是 t 分布的概率密度曲线 0 0.190100716 0.380201432 0.570302147 -4-3-2-101234 N(0,1) t(1) t(5) t(30) t(100) t 分布的上侧分位数或临界值 设设 的点的点 临界值临界值. . (01),称称满满足足等等式式 ( )P Ttn ( )( )tnt n 为为分分布布的的上上侧侧 分分位位数数或或 ( ).tnt 的的值值可可查查 分分布布表表获获得得 + ( ) ( ) =( , ). tn P Ttn f x n dx )(nt 0.
7、025(12) 2.1788t ( )Tt n t 分布表 0.05(9) 1.8331,t F分布 定义定义 服从第一自由度为服从第一自由度为n1，第二，第二 自由度为自由度为n2的的F分布，记为分布，记为FF(n1, n2). . 若若FF(n1, n2)，则，则 ,X Y设设相相互互独独立立，且且 22 12 (), (),XnYn 则则称称随随机机变变量量 12 21 / / Xnn X F Ynn Y Ronald Fisher 1924提出了提出了F分布分布. 2 21 1 /1 (,). / Yn F n n FXn F分布的概率密度函数 1 1212 1 12 2 12 2 2
8、2 2 1212 1222 () 0 ( ;,)()() 0. 0 n nnnn nn nn n nxn xnx f x n n x ， ， ( )f x 1.002.0 x (10,50)F (10,40)F F分布的上侧分位数或临界值 设设 的点的点 (01),称称满满足足等等式式 12 (,)P FF n n 1212 (,)(,)F n nF n n 为为分分布布的的上上侧侧 分分位位 12 (,).F n nF 的的值值可可查查 分分布布表表获获得得 12 12 + (,) (,) =( , ). Fn n P FF n n f x n dx 数数或或临临界界值值. . 0.05(9
9、,12) 2.8.F F分布表 0.05(9,12) 2.8.F 0.95(12,9) ?F F分布的上侧分位数或临界值 性质性质 112 21 1 (,). (,) Fn n Fn n 0.05(9,12) 2.8.F 0.95 0.05 1 (12,9) (9,12) 1 . 2.8 F F 112 (,)Fn n 例例1 1 设总体设总体XN(0,4), ,而而X1,X2,X3,X4是总体是总体X 的样本，求下列随机变量的分布的样本，求下列随机变量的分布 (1)(1) (2) (2) (3)(3) 解解(1)(1) 22 112 () 4;TXX 3 2 22 12 2 ; X T XX
10、 2 3 322 12 2 ; X T XX 1 1 (0,4)(0,1), 2 X XNN 2 (0,1), 2 X N同同理理且且二二者者相相互互独独立立， (2)(2) 22 22 21212 1 (2). 224 XXXX T 故故 22 2312 (0,1), (2) 24 XXX N 且且二二者者相相互互独独立立，故故 33 2 2222 1212 22 (2). 2 4 XX Tt XXXX (3)(3) 二者相互独立，故二者相互独立，故 2 2 33 22 2 12 (0,1)(1), 22 (2) 4 XX N XX 2 3 2 3 32222 1212 1 22 (1,2). 2 4 X X TF XXXX t分布与分布与F分布的关系分布的关系 例例2 2 若随机变量若随机变量Xt(n), 则则X2F(1, n). 解解 同理，若同理，若Xt(n), 则则1/X2F(n, 1). ( ), , V Xt nXU n 因因为为 所所有有 2 (0,1),( ), UNVnUV 这这里里且且与与 独独立立， 2 2 2 1 (1, ). UU XFn V nV n 故故 谢谢 谢！谢！