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1、-大学数学实践教学系列课件大学数学实践教学系列课件- 大学数学基础实验大学数学基础实验 圆周率圆周率PI是如何算出来的？是如何算出来的？ 内容提要内容提要 数学实践教学课件数学实践教学课件 割圆术割圆术 1 蒲丰投针试验蒲丰投针试验 2 1 割圆术割圆术 所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆 面积并以此求取圆周率的方法。面积并以此求取圆周率的方法。 1.1 割圆术割圆术（cyclotomic method）简介简介 我国魏晋时期数学家刘徽于公元我国魏晋时期数学家刘徽于公元263年撰写年撰写九章算术注九章算术注， 在在九章算术九
2、章算术的的圆田术圆田术 中“半周半径相乘得积步”中“半周半径相乘得积步” 后面后面 写了一篇写了一篇1800余字的注记，这篇注记就是数学史上著名的余字的注记，这篇注记就是数学史上著名的 “割圆术”。“割圆术”。 刘徽从正六边形开始，每次增加刘徽从正六边形开始，每次增加1倍，一直算到了倍，一直算到了3072边形，边形， 得出了圆周率值得出了圆周率值3927/12503.1416； 两百多年后，祖冲之利用割圆术继续往下推算，算到了两百多年后，祖冲之利用割圆术继续往下推算，算到了 24576边形，得到了著名的密率边形，得到了著名的密率355/113，计算出的近似，计算出的近似 值值3.1415926
3、，这个结果比国外研究者的相同成果早，这个结果比国外研究者的相同成果早1千千 年。年。 为图，以六觚之一面乘一弧半径为图，以六觚之一面乘一弧半径, ,三之三之, ,得十二觚之幂。得十二觚之幂。 若又割之若又割之, ,次以十二觚之一面乘一弧之半径次以十二觚之一面乘一弧之半径, ,六之六之, ,则得二则得二 十四觚之幂。十四觚之幂。 割之弥细割之弥细, ,所失弥少。割之又割所失弥少。割之又割, ,以至于不以至于不 可割可割, ,则与圆周合体而无所失矣。则与圆周合体而无所失矣。 觚面之外觚面之外, ,犹有余径。以面乘余径犹有余径。以面乘余径, ,则幂出弧表。若夫觚则幂出弧表。若夫觚 之细者之细者, ,
4、与圆合体与圆合体, ,则表无余径。表无余径则表无余径。表无余径, ,则幂不外出矣则幂不外出矣, , 以一面乘半径以一面乘半径, ,觚而裁之觚而裁之, ,每辄自倍。故以半周乘半径而每辄自倍。故以半周乘半径而 为圆幂。此以周、径为圆幂。此以周、径, ,谓至然之数谓至然之数, ,非周三径一之率。非周三径一之率。 -郭书春郭书春. .汇校九章算术汇校九章算术. . 辽宁教育出版社辽宁教育出版社 %输入分割次数输入分割次数N cyclotomic(N); end function cyclotomic(N) n=0; len=1;%边长初值为圆半径边长初值为圆半径 n1=3*2;%初始内接正初始内接正6
5、边形边形,这时圆周率初值即这时圆周率初值即6倍边长除以倍边长除以2即为即为3 disp(以半径为以半径为1的圆做内接正的圆做内接正n边形，边形，n从从6开始，每次增加一倍开始，每次增加一倍) while(n=N) fprintf(第第%2d次切割次切割,为正为正%5d边形边形,PI近似值为近似值为%.24fn,n,n1,3*2n*len) len=sqrt(2-sqrt(4-len*len) ; %内接多边形的边长内接多边形的边长 n=n+1; n1=n1*2; %边数加倍边数加倍 end end 代码的实现或演示（录屏）代码的实现或演示（录屏） 1777年，法国数学家蒲丰年，法国数学家蒲丰（
6、Comte de Buffon ， 1707-1788 ）利用多次随机投针试验算出圆周率利用多次随机投针试验算出圆周率 的近似值。蒲丰投针试验计算圆周率的这一方法，的近似值。蒲丰投针试验计算圆周率的这一方法， 不但构思新颖奇妙让人叫绝，而且它是第一个用几不但构思新颖奇妙让人叫绝，而且它是第一个用几 何形式表达概率问题的例子，开创了使用随机数、何形式表达概率问题的例子，开创了使用随机数、 偶然性方法处理确定性数学问题的先河，也成为著偶然性方法处理确定性数学问题的先河，也成为著 名的蒙特卡洛方法的起源。名的蒙特卡洛方法的起源。 蒲丰投针试验蒲丰投针试验（needle problem） 设水平面上画
7、满间隔均为设水平面上画满间隔均为a的平行直线，现向此平面的平行直线，现向此平面 上任意投放一长为上任意投放一长为l（la）同质均匀的针。同质均匀的针。 若设若设X表示针的中点到平行线的距离，表示针的中点到平行线的距离， 表示针与平行线的夹角，表示针与平行线的夹角， 则针与某一平行直线相交发生则针与某一平行直线相交发生 的充分必要条件为的充分必要条件为 .0,sin 2 X0 l 理论推导理论推导 a x M l 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 x x=l/2*sin 可以通过几何概型的计算得出：针与某一直线相可以通过几何概型的计算得出：针与某一直线相 交的概率为交的概率
8、为2l/a. 将上述试验重复将上述试验重复n次，设针与某直线相交了次，设针与某直线相交了m次，次， n充分大时，上述事件的频率充分大时，上述事件的频率m/n可可作为概率的作为概率的 近似值，即近似值，即m/n2l/a，从而得到，从而得到2ln/am. 由投掷的任意性可知这个问题对应着如下图形的 几何概型. . 计算机实现的原理计算机实现的原理 模拟n次的投针实验：由于针是随机投到纸上的， 针的中点与最近的平行线间的距离x应服从0到a/2 之间的均匀分布，针与平行线的交角，应服从0 到之间的均匀分布。于是，可以利用MATLAB命 令生成两个n行1列的随机数矩阵，分别赋值给向 量x和 （在程序中记
9、为phi）。 于是，根据针与平行线相交的充要条件，只要统 计满足x 0.5*l*sin 的x的分量个数，就知道相 交的次数。从而即可求得的近似值。 a =5;%平行线间距平行线间距 l=3;%针长针长 n = 1e7;%投掷次数投掷次数 x=unifrnd(0,a/2,n,1);phi=unifrnd(0,pi,n,1); % 产生均匀分布的随机数，分别模拟针的中点与最近平行线的距离和针与平行线产生均匀分布的随机数，分别模拟针的中点与最近平行线的距离和针与平行线 的夹角的夹角 mres = x=0.5*l*sin(phi);%满足充分必要条件的针满足充分必要条件的针 m = sum(mres(:);%计算频率计算频率 res = 2*l*n/(a*m);%计算近似值计算近似值 % OUTPUT fprintf(计算值计算值 PI = %0.5fn计算误差计算误差(近似近似): %0.6fn,res,pi-res); 小结小结 递推公式的表达递推公式的表达 随机模拟的应用随机模拟的应用