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1、有理函数的积分有理函数的积分有理函数的积分有理函数的积分 有理函数的定义：有理函数的定义： 两个多项式的商表的函数称之两个多项式的商表的函数称之两个多项式的商表两个多项式的商表示示的函数称之的函数称之. . nn nn axaxaxaxP 1 1 1 10 )( mm mm bxbxbxbxQ 1 1 10 )( 其中其中m、n都是非负整数；都是非负整数； n aaa, 10 及及 n10 m bbb, 10 都是实数，并且都是实数，并且0 0 a，0 0 b. . 假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式 ,)1(mn
2、有理函数是有理函数是真分式真分式； ,)2(mn 有理函数是有理函数是假假分式分式； 利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真 分式之和分式之和分式之和分式之和. . 3 1 例例 1 1 2 3 x xx . 1 1 2 x x 3 2 1 1 xx dx x 2 1 () 1 xdx x 部 分 分 式 ： () k A ， 2 () k M xN k为 正 整 数 ， () k xa 2 () k xpxq 2 40. k pq 为 正 整 数 ， A ln |,1AxaCk () k A dx xa 1 ,1 (1)() k A
3、Ck kxa 2k M xN dx ()() 2 () k xpxq 2 () () MdxpxqM pdx N 22 () () 2()2() kk pqp N xpxqxpxq 难点难点 将有理函数化为部分分式之和.将有理函数化为部分分式之和. 有理函数化为部分分式之和的有理函数化为部分分式之和的一一般规律般规律： （1）分母中若有因式，则分解后为（1）分母中若有因式，则分解后为 k ax)( 有理函数化为部分分式之和的般规律有理函数化为部分分式之和的般规律： , )()( 1 21 ax A ax A ax A k kk 其中其中 k AAA, 21 都是常数.都是常数. 特殊地：特殊地
4、： ,1 k 分解后为分解后为 ; ax A 有理函数化为部分分式之和的有理函数化为部分分式之和的一一般规律般规律： （2）分母中若有因式，其中（2）分母中若有因式，其中 k qpxx)( 2 2 有理函数化为部分分式之和的般规律有理函数化为部分分式之和的般规律： 则分解后为则分解后为 04 2 qp NxMNxMNxM kk 2211 qpxxqpxxqpxx kk 2122 )()( 其中其中NM都是常数都是常数)21(ki 其中其中 ii NM ,都是常数都是常数),2,1(ki . . 特殊特殊地：地： ,1 k 分解分解后后为为 ; 2 qpxx NMx 特殊特殊分解为分解为 qpx
5、x 真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法 65 3 2 xx x )3)(2( 3 xx x , 32 x B x A 例1例1 ),2()3(3 xBxAx )23()(3BAxBAx ),23()(3BAxBAx 3)23( ,1 BA BA , 6 5 B A ,3)23(BA6 B 65 3 2 xx x . 3 6 2 5 xx65 xx32xx 1 CBA 例例2 2 2 )1( xx , 1)1( 2 xxx )1()1()1(1 2 xCxBxxA 例例2 2 )1()1()1(1 xCxBxxA 代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数 CBA
6、, 取取 ,0 x1 A 取取 ,1 x1 B 取取 ,2 xBA ,并将值代入并将值代入)1(1 C . 1 1 )1( 11 2 xxx 2 )1( 1 xx 1CBxA 例3例3 )1)(21( 1 2 xx )21)()1(1 2 xCBxxA , 121 2 x CBx x A ),21)()1(1xCBxxA ,)2()2(1 2 ACxCBxBA 02 BA 整理得整理得 1 ,02 ,02 CA CB BA , 5 1 , 5 2 , 5 4 CBA . 1 5 1 5 2 21 5 4 2 x ,1CA )1)(21( 1 2 121 2 xx )1)(21( 2 xx 例4
7、 求积分例4 求积分 . )1( 1 2dx xx dx xx 2 )1( 1 dx xxx 1 1 )1( 11 2解解 dx x dx x dx x 1 1 )1( 11 2 1 ln |ln |1 |. 1 xxC x 1 例5 求积分例5 求积分 . )1)(21( 1 2 dx xx 124 解解 dx x x dx x 2 1 55 21 5 dx xx)1)(21( 1 2 22 21211 ln |12| 55151 x xdxdx xx 2 211 ln |12|ln(1)arctan. 555 xxxC 555 说明说明将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况： ANM )1( 多项式；多项式； ; )( )2( n ax A ; )( )3( 2n qpxx NMx 这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 结论结论 有理函数的原函数都是初等函数.有理函数的原函数都是初等函数.