《2023高考科学复习解决方案-数学(名校内参版) 第四章4.1变化率与导数、导数的计算（word含答案解析）.DOC》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023高考科学复习解决方案-数学(名校内参版) 第四章4.1变化率与导数、导数的计算（word含答案解析）.DOC（25页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、41变化率与导数、导数的计算(教师独具内容)1了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵2通过函数图象直观地理解导数的几何意义3能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数4重点提升数学运算和数学抽象素养(教师独具内容)本考点以考查导数的概念、几何意义、导数的运算为主，而与切线有关的问题是高考的热点预计导数的几何意义及其应用仍是2023年高考考查的重点内容(教师独具内容)(教师独具内容)1导数的概念(1)平均变化率：我们把比值，即叫做函数yf(x)从x0到x0x的平均变化率(2)瞬时变化率：如果当x0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即
2、有极限，则称yf(x)在xx0处可导，并把这个确定的值叫做yf(x)在xx0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f(x0)或y|xx0，即2导数的几何意义曲线f(x)的割线P0P，其中P0(x0，f(x0)，P(x，f(x)，则割线P0P的斜率是k，记xxx0，当点P沿着曲线yf(x)无限趋近于点P0时，即当x0时，k无限趋近于函数yf(x)在xx0处的导数因此，函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k03导函数的概念当xx0时，f(x0)是一个唯一确定的数这样，当x变化时，yf(x)就是x的函数，我们称它为yf(x)的导函数(简称导数).yf(x)的导函数有时也记
3、作y，即f(x)y4基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q，且0)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)ax(a0，且a1)f(x)ax ln af(x)exf(x)exf(x)loga x(a0，且a1)f(x)f(x)ln xf(x)5导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)6复合函数的导数(1)一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(
4、u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)(2)一般地，对于由函数yf(u)和ug(x)复合而成的函数yf(g(x)，它的导数与函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积7常用结论(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数(2)熟记以下结论：；(f(x)0)；af(x)bg(x)af(x)bg(x).1若函数f(x)2x21的图象上一点(1，1)及邻近一点(1x，1y)，则等于()A4 B4xC42x D42(x)2答案C解析因为y2(1x)2112(x)24x，所以42x.2已知函数f(x)
5、的图象如图，f(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()A.0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(3)f(2)f(3)f(2)C0f(3)f(3)f(2)f(2)D0f(3)f(2)f(2)f(3)答案C解析f(3)f(2)可写为，表示过点(2，f(2)，(3，f(3)的直线的斜率，f(2)，f(3)分别表示曲线f(x)在点(2，f(2)，(3，f(3)处切线的斜率，设过点(2，f(2)，(3，f(3)的直线为m，曲线在点(2，f(2)，(3，f(3)处的切线分别为l，n，画出它们的图象，如图由图可知0knkmkl，故0f(3)f(3)f(2)f(2).3若函数f(x)(x24)
6、(xt)，且f(1)0，则t等于()A0 B1 C D2答案C解析依题意得，f(x)2x(xt)(x24)3x22tx4，所以f(1)32t40，即t.4曲线f(x)x3x在点(1，f(1)处的切线方程为()A2xy20 B2xy20C2xy20 D2xy20答案C解析f(x)x3x，则f(x)3x21，f(1)2，f(1)0，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y2(x1)，即2xy20.5.如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5) 答案2解析切线的斜率kf(5)1，f(5)583，所以f(5)f(5)312.1(2021新高考卷)若过点(a，b)可
7、以作曲线yex的两条切线，则()Aeba BeabC0aeb D0b0，则切线方程为ybex0(xa)，由得ex0(1x0a)b，则由题意知关于x0的方程ex0(1x0a)b有两个不同的解设f(x)ex(1xa)，则f(x)ex(1xa)exex(xa)，由f(x)0得xa，所以当x0，f(x)单调递增，当xa时，f(x)0，f(x)单调递减，所以f(x)maxf(a)ea(1aa)ea，当x0，所以f(x)0，当x时，f(x)0，当x时，f(x)，函数f(x)ex(1xa)的大致图象如图所示，因为f(x)的图象与直线yb有两个交点，所以0bea.故选D.解法二：过点(a，b)可以作曲线yex
8、的两条切线，则点(a，b)在曲线yex的下方且在x轴的上方，得0bea.故选D.2(2020全国卷)函数f(x)x42x3的图象在点(1，f(1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x1答案B解析f(x)x42x3，f(x)4x36x2，f(1)1，f(1)2，所求切线的方程为y12(x1)，即y2x1.故选B.3(2019全国卷)已知曲线yaexx ln x在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()Aae，b1 Bae，b1Cae1，b1 Dae1，b1答案D解析yaexln x1，ky|x1ae1，切线方程为yae(ae1)(x1)，即y(ae1)x1.又切线方程
9、为y2xb，即ae1，b1.故选D.4(2021全国甲卷)曲线y在点(1，3)处的切线方程为 .答案5xy20解析因为y，所以曲线y在点(1，3)处的切线的斜率k5，故所求切线方程为y35(x1)，即5xy20.5(2020全国卷)设函数f(x).若f(1)，则a 答案1解析f(x)，则f(1)，整理可得a22a10，解得a1.一、基础知识巩固考点导数的运算例1f(x)x(2021ln x)，若f(x0)2022，则x0等于()Ae2 B1 Cln 2 De答案B解析f(x)2021ln xx2022ln x，故由f(x0)2022，得2022ln x02022，则ln x00，解得x01.例
10、2求下列函数的导数(1)yx2sin x；(2)yln x；(3)y；(4)yx sin cos .解(1)y(x2)sin xx2(sin x)2x sin xx2cos x.(2)y(ln x).(3)y.(4)yx sin cos x sin (4x)x sin 4x，ysin 4xx4cos 4xsin 4x2x cos 4x.1.(多选)已知函数f(x)在x1处的导数为，则f(x)的解析式可能为()Af(x)x2ln xBf(x)xexCf(x)sin Df(x)答案AD解析A中f(x)x，f(1)1；B中f(x)(xex)exxex，f(1)2e；C中f(x)2cos ，f(1)2
11、cos ；D中f(x)，f(1)1.故选AD.2(2021赣州模拟)已知函数f(x)x2021sin x(xR)，则f(2021)f(2021)f(2021)f(2021)的值为 答案2解析由题意，得f(x)2021x2020cos x，f(x)2021(x)2020cos (x)2021x2020cos xf(x)，f(x)是偶函数，f(x)f(x)0，又f(x)f(x)x2021sin x(x)2021sin (x)2.f(2021)f(2021)f(2021)f(2021)2.1求函数导数的总原则先化简解析式，再求导2常见形式及具体求导的六种方法连乘形式先展开化为多项式形式，再求导三角形
12、式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导分式形式先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导根式形式先化为分数指数幂的形式，再求导对数形式先化为和、差形式，再求导复合函数先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元考点导数与函数的图象例3(2021江苏金湖高三期中)已知函数yf(x)的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为()答案A解析由f(x)的图象可知，函数f(x)单调递增，速度先由快到慢，再由慢到快，由导数的几何意义可知，f(x)先减后增，且恒大于等于0，故符合题意的只有A.故选A.例4(2022北京清华附中高三月考)已知函数yf(x)的图象如图所示，f(x)是函数f(x)的导函
13、数，记a2f(2)，b2f(4)，cf(4)f(2)，则a，b，c数值排序正确的是()Aabc BbcaCbac Dacb答案D解析结合图象，知kl1f(2)，kl3，kl2f(4)，f(2)f(4)，故2f(2)f(4)f(2)2f(4)，即acf(2)f(3)Bf(2)f(1)f(3)Cf(3)f(2)f(1)Df(3)f(1)f(2)答案C解析由函数的图象可知，曲线在点A(1，f(1)，B(2，f(2)，C(3，f(3)处切线的斜率大小关系为kCkBkA，故f(3)f(2)f(1).4(2021湖北孝感模拟)如图，函数yf(x)在x2处的切线过点(4，0)和(0，2)，则f(2)f(2)
14、的值为()A. B C D答案C解析因为函数yf(x)在x2处的切线过点(4，0)和(0，2)，所以切线的斜率为kf(2)，切线方程为y0(x4)，即yx2，所以f(2)221，则f(2)f(2)1.故选C.导数的几何意义是切点处切线的斜率，已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值kf(x0).函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点附近的变化情况.考点求切线方程例5在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线yln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是 答案(e，1)解析设A(m，n)，则曲线yln x在点A处的切线方程
15、为yn(xm).又切线过点(e，1)，所以有1n(em).再由nln m，解得me，n1.故点A的坐标为(e，1).例6已知曲线f(x)x3x，则曲线在点(1，0)处的切线方程为 ，曲线过点(1，0)的切线方程为 答案2xy202xy20或x4y10解析f(x)3x21.曲线在点(1，0)处切线的斜率为kf(1)2，所以所求切线方程为y2(x1)，即2xy20.设切点为P(x0，xx0)，则k切f(x0)3x1，所以所求切线方程为yxx0(3x1)(xx0)，又切线过点(1，0)，所以xx0(3x1)(1x0)，所以(x01)2(2x01)0，解得x01或.故所求切线方程为y2(x1)或y，即
16、2xy20或x4y10.5.(2021深圳模拟)已知f(x)x ln (x1)，则曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程是 答案y2x4解析由题意知，f(x)ln (x1)，所以f(2)ln (21)2，f(2)2ln (21)0，则在点(2，f(2)处的切线方程为y2(x2)，即y2x4.6设aR，函数f(x)ex的导函数是f(x)，且f(x)是奇函数若曲线yf(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为 答案ln 2解析函数f(x)ex的导函数是f(x)ex.又因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，即ex(exaex)，则ex(1a)ex(a1)，所以(e2x1)(1a)0，解得
17、a1.所以f(x)ex.令ex，解得ex2或ex(舍去)，所以xln 2.与切线有关的问题的处理策略(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值kf(x0).(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)若已知曲线yf(x)过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线方程，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为yy0f(x0)(xx0).当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步：第一步：设出切点坐标P(x1，f(x1)；第二步：写出曲线在点P(x1，f(x1)处的切线方程yf(x1)f(x1)(xx
18、1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程yf(x1)f(x1)(xx1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程.考点由导数的几何意义求参数的取值范围例7(2021银川模拟)已知函数f(x)x3ax2b(a，bR)图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a的取值范围是 答案(，)解析因为f(x)x3ax2b(a，bR)，所以f(x)3x22ax.由题意得3x22ax1恒成立，即3x22ax10恒成立，则4a2120，解得a.例8若曲线yln x与曲线yx22xa(x0)有公切线，则实数a的取值范围是 答案解析设(x1，y1)是公切线和曲线yln
19、x的切点，则切线斜率k1(ln x)|xx1，切线方程为yln x1(xx1)，整理得yxln x11.设(x2，y2)是公切线和曲线yx22xa(x0)的切点，则切线斜率k2(x22xa)|xx22x22，切线方程为y(x2x2a)(2x22)(xx2)，整理得y(2x22)xxa，其中x20，则1x20.设f(x)ln (2x2)x21，1x0，则f(x)2x1，(0，1).由g(x)3ax2cos x，得g(x)3a2sin x，又2sin x2，2，3a2sin x23a，23a.要使过曲线f(x)exx上任意一点的切线l1，总存在曲线g(x)3ax2cos x上某点处的切线l2，使得
20、l1l2，则解得a.1由导数的几何意义求参数的值或取值范围的解题思路一般是利用切点P(x0，y0)求出切线方程再转化研究2两曲线存在公切线求参数的取值范围问题的解题思路由两切线为同一直线得到两个方程，然后消去x1和x2中的一个，转化为方程在特定区间上有解的问题，再分离参数转化为相应函数的值域问题，其中要关注自变量的取值范围二、核心素养提升例1(2021江西吉安一模)过点P(1，1)且与曲线yx3相切的直线的条数为()A0 B1 C2 D3答案C解析当点P为切点时，y3x2，y|x13，则曲线yx3在点P处的切线方程为y13(x1)，即3xy20.当点P不是切点时，设直线与曲线切于点(x0，y0
21、)(x01)，则kxx01.y3x2，y|xx03x，xx013x，x01(舍去)或x0，过点P(1，1)与曲线yx3相切的直线方程为3x4y10.综上，过点P的切线有2条故选C.例2已知点P在曲线ysin2cos2上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是()A BC D答案D解析ysin2cos2cosx，ysin x设P(x0，y0)，则曲线在点P处的切线的斜率为ktan sin x0，1tan 1.0，.故选D.例3设函数yx22x2的图象为C1，函数yx2axb的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直(1)求a，b之间的关系；(2)求ab的最大值解(1)对于C1
22、：yx22x2，有y2x2，对于C2：yx2axb，有y2xa，设C1与C2的一个交点为(x0，y0)，由题意知过交点(x0，y0)的两条切线互相垂直所以(2x02)(2x0a)1，即4x2(a2)x02a10，又点(x0，y0)为C1与C2的交点，故有2x(a2)x02b0，消去x0，可得ab.(2)由(1)知，ba，所以aba，当a时，ab取到最大值.1求切线倾斜角的范围要注意结合正切函数的单调性计算2最值问题的计算注意向函数或不等式问题转化课时作业一、单项选择题1(2021烟台模拟)设f(x)为可导函数，且满足 1，则f(1)为()A1 B1 C2 D2答案B2(2021厦门模拟)曲线y
23、在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1 By3x2Cy2x3 Dyx2答案A解析y的导数为y，可得曲线y在点(1，1)处切线的斜率为ky|x12，所以曲线y在点(1，1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.3.已知yf(x)的图象如图所示，则f(xA)与f(xB)的大小关系是()Af(xA)f(xB)Bf(xA)f(xB)Cf(xA)f(xB)Df(xA)与f(xB)大小不能确定答案A解析由图象可得，曲线yf(x)在xxA处切线的斜率大于在xxB处切线的斜率，则有f(xA)f(xB).故选A.4设点P是曲线yx3x上的任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角的取值范围为()A BC D
24、答案C解析y3x2，y，tan ，又0，)，故.5(2021东莞检测)已知直线ykx1与曲线f(x)ln x相切，则k等于()A B Ce De2答案A解析由f(x)ln x，得f(x)，设切点坐标为(x0，ln x0)，则解得x0e2，则k.6(2021广州高三一模)已知点P(x0，y0)在曲线C：yx3x21上移动，曲线C在点P处的切线的斜率为k，若k，则x0的取值范围是()A BC D7，9答案B解析由yx3x21，得y3x22x，则曲线C在点P(x0，y0)处的切线的斜率为ky|xx03x2x0，k，3x2x0，即x0.7若函数f(x)x21的图象与曲线C：g(x)aex1(a0)存在
25、公共切线，则实数a的取值范围为()A BC D答案A解析设公切线与f(x)x21的图象切于点(x1，x1)，与曲线C：g(x)aex1切于点(x2，aex21)，2x1aex2，化简可得，2x1，得x10或2x2x12，2x1aex2且a0，x10，则2x2x122，即x21，由2x1aex2，得a.设h(x)(x1)，则h(x)，h(x)在(1，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，h(x)maxh(2)，实数a的取值范围为.故选A.8设点P为函数f(x)x22ax与g(x)3a2ln x2b(a0)的图象的公共点，以P为切点可作直线l与两曲线都相切，则实数b的最大值为()答案D解析设P(x
26、0，y0)，由于P为公共点，则x2ax03a2ln x02b.又两曲线在点P处的切线相同，则f(x0)g(x0)，即x02a，即(x03a)(x0a)0.又a0，x00，则x0a，于是2ba23a2ln a设h(x)x23x2ln x，x0，则h(x)2x(13ln x)，可知当x(0，e)时，h(x)单调递增；当x(e，)时，h(x)单调递减故h(x)maxh(e)e，于是实数b的最大值为e.故选D.二、多项选择题9若直线yxb是函数f(x)图象的一条切线，则下列曲线中可以与直线yxb相切的有()Af(x) Bf(x)x4Cf(x)sin x Df(x)ex答案BCD解析直线yxb的斜率为k
27、，由f(x)的导数为f(x)，知切线的斜率小于0，故A不正确；f(x)x4的导数为f(x)4x3，由4x3，解得x，故B正确；f(x)sin x的导数为f(x)cos x，而cos x有解，故C正确；f(x)ex的导数为f(x)ex，由ex，解得xln 2，故D正确故选BCD.10已知函数f(x)及其导函数f(x)，若存在x0使得f(x0)f(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”下列函数中有“巧值点”的是()Af(x)x2 Bf(x)exCf(x)ln x Df(x)tan x答案AC解析若f(x)x2，则f(x)2x，令x22x，得x0或x2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)ex
28、，则f(x)ex，令exex，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)ln x，则f(x)，令ln x，在同一直角坐标系内作出函数yln x与y的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)f(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)tan x，则f(x)，令tanx，化简得sinx cos x1，变形可得sin 2x2，无解，故D不符合要求故选AC.三、填空题11(2021葫芦岛模拟)已知函数f(x)的导函数为f(x)，f(x)2x23xf(1)ln x，则f(1) 答案解析f(x)2x23xf(1)ln x，f(x)4x3f(1)，将x1代入，得f(1)43f(1)1，得f(
29、1).f(x)2x2xln x，f(1)2.12(2021山东省实验中学四校联考)曲线yx2ln x上的点到直线xy20的最短距离是 答案解析设曲线在点P(x0，y0)(x00)处的切线与直线xy20平行，则y| xx02x01.x01，y01，则P(1，1)，则曲线yx2ln x上的点到直线xy20的最短距离d.13(2021青岛一诊)设f(x)aexb ln x，且f(1)e，f(1)，则ab 答案1解析对f(x)求导得f(x)aex，所以f(1)aebe，f(1)b.故由可得a1，b0，则ab1.14已知aln b0，cd1，则(ac)2(bd)2的最小值是 答案2解析设(b，a)是曲线
30、C：yln x上的点，(d，c)是直线l：yx1上的点，则(ac)2(bd)2可看成曲线C上的点到直线l上的点的距离的平方对函数yln x求导得y，令y1，得x1，则y0，所以曲线C上到直线yx1的距离最小的点为(1，0)，该点到直线yx1的距离为.因此(ac)2(bd)2的最小值为()22.四、解答题15已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR).(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求a，b的值；(2)若曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围解f(x)3x22(1a)xa(a2).(1)由题意，得解得b0，a3或a1.(2)因为曲线yf
31、(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f(x)3x22(1a)xa(a2)0有两个不相等的实数根，所以4(1a)212a(a2)0，即4a24a10，所以a.所以a的取值范围为.16(2022河北邯郸高三月考)已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标解(1)根据题意，得f(x)3x21，所以曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的斜率kf(2)13，所以所求的切线方程为y13x32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，所以直线l的方程为y(3x1)(
32、xx0)xx016.又直线l过点(0，0)，则(3x1)(0x0)xx0160，整理得x8，解得x02，所以y0(2)3(2)1626，l的斜率k13，所以直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26).17已知函数f(x)ax(x0)在x2处的切线方程为3x4y40.(1)求a，b的值；(2)求证：曲线上任一点P处的切线l与直线l1：yx，直线l2：x0围成的三角形的面积为定值解(1)由f(x)ax，得f(x)a(x0).由题意得即解得(2)证明：由(1)知f(x)x，设曲线的切点为P，f(x0)1，曲线在点P处的切线方程为y(xx0)，即yx.当x0时，y.即切线l与l2：x0的交点坐标为A.由得即l与l1：yx的交点坐标为B(2x0，2x0).又l1与l2的交点为O(0，0)，则所求的三角形的面积为S|2x0|2，即切线l与l1，l2围成的三角形的面积为定值