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1、103几个三角恒等式学习指导核心素养1.了解积化和差公式及其推导过程2.了解和差化积公式及其推导过程3.了解半角公式及其推导过程逻辑推理、数学运算：三角恒等式及其应用1积化和差公式(1)sin cos sin ()sin ()；(2)cos sin sin ()sin ()；(3)cos cos cos ()cos ()；(4)sin sin cos ()cos ()一是注意公式的推导过程；二是简记为“积化和差，系数半拉，前面是和，后面是差”2和差化积公式(1)sin sin 2sin cos ；(2)sin sin 2cos sin ；(3)cos cos 2cos cos ；(4)cos
2、cos 2sin sin 3半角公式(1)sin ；(2)cos ；(3)tan 1半角公式中的正负号能否去掉？该如何选择？提示：不能若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号；若给出的具体范围(即某一区间)时，则先求所在范围，然后根据所在范围选用符号2半角公式对R都成立吗？提示：cos ，sin .对R都成立但公式tan .要求(2k1)(kZ).1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)半角公式对任意角都适用()(2)cos .()(3)对于任意R，sin sin 都不成立()答案：(1)(2)(3)2sin cos 化为和差的结果是()Asin ()cos ()Bcos (
3、)sin ()Csin ()sin ()Dcos ()cos ()解析：选B原式cos ()sin ().故选B3已知cos ，则sin ()ABCD答案：B4函数ysin sin 的最大值是_解析：因为ysin sin cos cos cos ，所以ymax.答案：探究点1积化和差公式的应用 化简求值：(1)sin 20cos 70sin 10sin 50；(2)cos 10cos 30cos 50cos 70.【解】(1)sin 20cos 70sin 10sin 50sin 90sin (50)cos 60cos (40)sin 50cos 40cos 40cos 40.(2)cos 1
4、0cos 30cos 50cos 70cos 10cos 50cos 70cos 70cos 40cos 70cos 70(cos 110cos 30)cos 70cos 110.在利用积化和差公式解决问题时，要注意特殊角的运用，从而简化运算，减少运算量 已知cos ()，cos ()，求cos cos ，sin sin 的值解：cos cos cos ()cos ()，sin sin cos ()cos ().探究点2和差化积公式的应用 化简下列各式：(1)；(2).【解】(1)原式tan .(2)原式.利用和差化积公式化简时，要注意观察角和三角函数名称的变化，不同名的必须化成同名的，然后再
5、利用和差化积公式解决问题 证明下列恒等式(1)tan ；(2).证明：(1)tan .(2).探究点3半角公式的应用 已知为钝角，为锐角，且sin ，sin ，求cos 的值【解】因为为钝角，为锐角，sin ，sin ，所以cos ，cos .所以cos ()cos cos sin sin .因为且0，所以0，即0.所以cos .利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ，其优点是计算
6、时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2，cos2计算 已知cos 2，求tan 的值解：因为cos 2，依半角公式得sin ，cos ，所以tan .探究点4与三角函数性质有关的问题 已知函数f(x)cos (x)cos cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)求f(x)在上的单调递增区间【解】f(x)(cosx)(sin x)sin 2xcos 2xsin .(1)f(x)的最小正周期为，最大值为1.(2)令2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)，所以f(x)在上单调递增，即f(x)在上的单调递增区间是.应用公式解决三角函数综合问题的
7、三个步骤 已知函数f(x)cos2sin21，则f(x)()A是奇函数B是偶函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数解析：选Af(x)1sin 2x，是奇函数故选A1函数ysin cos x的最大值为()ABC1D解析：选B因为ysin cos xsin ，所以ymax.故选B2设是第二象限角，tan ，且sin cos ，则cos ()ABCD解析：选A因为是第二象限角，且sin cos ，所以为第三象限角，所以cos 0.因为tan ，所以cos ，所以cos .3若sin ，是第二象限角，则tan _解析：因为是第二象限角，所以cos 0，所以cos ，所以tan5.答案：5
8、4已知，cos ，sin ().(1)求tan 的值；(2)求sin 的值解：(1)因为，cos ，则sin ，tan .(2)因为，故，从而cos ()，所以sinsin ()sin ()cos cos ()sin .A基础达标1函数f(x)cos x sin 的最小正周期为()A4B2CD解析：选C由积化和差公式可以得到函数f(x)sin ，其最小正周期为T.故选C2若cos 2且，则sin ()ABCD解析：选A因为，所以sin 0.由半角公式可得sin .3已知，且cos cos ，则cos ()()ABCD解析：选D因为cos cos ，所以2cos cos .因为，所以，所以cos
9、 .所以cos ，所以cos ()2cos21.故选D4已知sin，是第三象限角，则tan ()A2BC2D解析：选C因为sin ，是第三象限角，所以cos ，由半角公式tan 2，故选C5已知等腰三角形的顶角的余弦值为，则它的底角的余弦值为()ABCD解析：选B设等腰三角形的顶角为，底角为，则cos .又，所以cos cos sin ，故选B6已知sin 且，则sin _解析：因为sin ，所以cos .又，所以sin .答案：7已知sin ，则cos2_解析：因为cossin sin ，所以cos2.答案：8已知sin sin ，cos cos ，则tan ()的值为_解析：由sin si
10、n ，cos cos 得，2sin cos ，2cos cos ，两式相除得，tan ，则tan ().答案：9化简：(0，求x的取值范围；(2)若f()，cos ，且，则sin x，sin x，所以x(kZ).(2)f()sin ，sin，因为，所以，cos ，因为，所以0，sin ，sin ()sin sin cos cos sin ，sin ()sin ().C拓展探究15已知点P在直径AB1的半圆上移动，过点P作切线PT且PT1，PAB，则当为何值时，四边形ABTP的面积最大？解：如图所示因为AB为半圆的直径，所以APB.又AB1，所以PAcos ，PBsin .又PT切半圆于P点，所以TPBPAB.所以S四边形ABTPSPABSTPBPAPBPTPBsin sin cos sin2sin2(1cos 2)sin .因为0，所以2，所以当2，即时，S四边形ABTP取得最大值.