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1、北师大版（2019） 选修第二册 第二章 全章综合检测一、单选题1函数的图象大致是（ ）ABCD2对于函数（为自然对数的底数），给出下列结论：当时，函数是上单调递增的奇函数；当时，的图象在处的切线方程为；当时，在上有两个极值点，且极小值属于区间；当时，函数在上有两个零点其中所有正确结论的个数是A1B2C3D43函数的图象在处的切线方程为（ ）ABCD4已知定义在上的函数满足，则下列式子成立的是（ ）ABCD5若函数在上可导，且，则ABCD以上都不对6已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为ABCD7意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线直到1690年，雅各布伯
2、努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案1691年他的弟弟约翰伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式为双曲余弦型函数：（e为自然对数的底数）当a=2时，记，则p，m，n的大小关系为（ ）ABCD8函数在区间上的平均变化率为（ ）A-1B1C2D3二、多选题9某果园引入数字化管理系统，对果园规划，果树种植环境监测生产销售等进行统一管理.经数据分析师建模.测算果园内某种热带水果的年产量为万斤，年成本为万元，单价(万元/万斤)是与产量相关的随机变量，其分布列为：利用该模型进行分析下列说法正确的是（ ）A期望随着年产量的增大而减小，最高为万元/万斤B年成本
3、随着年产量的增大而减小C方差为定值D利用该模型估计，当年产量时，该果园年利润取得最大值，最大利润约为万元10下列曲线中，与直线相切的是（ ）A曲线B曲线C曲线D曲线11函数、，下列命题中正确的是（ ）A不等式的解集为B函数在上单调递增，在上单调递减C若函数有两个极值点，则D若时，总有恒成立，则12在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学(一个数学分支)里一个非常重要的定理，简单的讲就是对于满足一定条件的图象为连续不断的函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）AB，CD三、双空题13函数的图像在点处的切线为，则实数的值为_，切点的坐标为_四、填空题14
4、如果对定义在R上的函数,对任意两个不相等的实数都有 以上函数是“”的所有序号为_.15若对，函数在内总不是单调函数，则实数的取值范围是_16对于三次函数，给出定义：设是的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则_五、解答题17设函数.（1）设，证明：在区间内存在唯一的零点；（2）设，若对任意，都有，求b的取值范围.18已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）记，是的导函数，如果是函数的两个零点，且满足，证明：.191.已知函数，.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，
5、求证：函数在区间上有且仅有一个零点.20已知函数处的切线l与直线垂直，函数（）求实数的值；（）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；（）设是函数的两个极值点，若，求的最小值21曲线C：在点处的切线为：，在点处的切线为：，求曲线C的方程22已知函数（为实数）（1）当曲线与直线切于点时，求，的值；（2）设，如果在上恒成立，求的取值范围试卷第5页，共5页参考答案：1B【解析】【分析】由函数为偶函数可排除A，由定义域可排除C，然后当时，求出函数的导数，得出在上的单调性，在区间内有极小值，由此排除D，得出答案.【详解】易知为偶函数，所以其图象关于y轴对称，由此排除A; 由定义域知，由此排除C；又当时
6、，由，令，解得，令，解得所以函数在上单调递减，在 上单调递增.所以在区间内有极小值，由此排除D故选：B2C【解析】【分析】利用导数的几何意义，结合利用导数研究函数单调性、极值点、极值以及零点问题的处理办法，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择.【详解】对于：，其定义域为，且，故是奇函数；且，因为，所以，正确；对于：，在处的切线为，不正确；对于：，解，由，的图象数形结合可得仅有一个极小值点和极大值点，且，其极小值，正确；对于：，且时，可得在上没有零点；，在上，存在唯一，使得，当时，当时，；，由题意得，且，所以和上各有一个零点，正确故选：C【点睛】本题通过函数与导数结合，判断命题的真假，考查了学生
7、的逻辑推理、直观想象与数学运算等数学核心素养3A【解析】【分析】求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】，则，故，因为，因此，函数的图象在处的切线方程为，即.故选：A.4A【解析】构造函数，求导判定函数单调性，根据单调性得化简即可.【详解】解：依题意，令，则在上恒成立，所以函数在上单调递减，所以即故选：A.【点睛】四种常用导数构造法：（1）对于不等式 (或) ，构造函数（2）对于不等式(或) ，构造函数（3）对于不等式(或) ，构造函数（4）对于不等式(或) ，构造函数5B【解析】【分析】求函数的导数，然后求出f（1）的值，得到函数的二次函数解析式，判断即可【详解】函数的导数f（x
8、）=2x+2f（1），令x=1，得f（1）=2+2f（1），即f（1）=-2， 故f（x）=x2-4x+3=（x-2）2 -1，函数的对称轴为x=2，则f（0）=f（4），故选B【点睛】根据函数的导数公式求出f（1）的值是解决本题的关键，题中2f（1）作为二次函数中的一次项的系数存在，在求导时若g（x）=ax，则g（x）=a6B【解析】【详解】因为在上是单调增函数，所以，总有，即恒成立，整理得到.令，则.因为在是单调减函数且，所以 在上恒成立，故在上是恒成立的，在上为增函数，所以，故，选B.点睛：此题为与对数函数与三角函数有关的复杂函数，根据其单调性可知导数在给定的范围上是非负的，从而原不等式
9、的恒成立就转化为在上的恒成立问题，故只要考虑函数在的最大值，通过导数的符号可以得到的单调性从而得到最大值为，也就是.7B【解析】【分析】利用定义判断函数的奇偶性，再利用导数得到函数在区间上单调递增，分析即得解【详解】由题意知，当a=2时，定义域为，且故为偶函数又，当时，即函数在区间上单调递增因为，又，所以，即故选：B8B【解析】直接利用平均变化率公式进行求值.【详解】因为，所以在区间上的平均变化率为.故选：B【点睛】本题考查函数的平均变化率，考查运算求解能力，属于基础题.9AC【解析】【分析】故随着年产量的增大而减小，最高为(万元/万斤)，故A正确；年成本随着年产量的增大而增大，故B错误，故C
10、正确当时，单调递增，当时，单调递减则当年产量时，年利润取得最大值，约为万元故D错误；【详解】故随着年产量的增大而减小，最高为(万元/万斤)，故A正确；，易知故年成本随着年产量的增大而增大，故B错误，故C正确年利润则当时，单调递增，当时，单调递减则当年产量时，年利润取得最大值，约为万元故D错误；故选：AC.10ABD【解析】对A，联立直线与曲线方程，利用判别式可判断；对B，求出曲线导数，令导数等于2，求出切点，再验证切点是否满足；对C，根据直线与渐近线平行可判断；对D，求出曲线导数，令导数等于2，求出切点，再验证切点是否满足.【详解】对A，将直线代入曲线可得，则，则直线与曲线相切，故A正确；对B
11、，直线的斜率为2，对，可得，令，解得，代入直线可得切点为，满足在上，故直线与曲线相切，故B正确；对C，的一条渐近线为，和直线平行，故直线与曲线相交于一点，故不相切，故C错误；对D，又可得，令，解得或1，当时，代入直线可得切点，不满足在曲线上；当时，代入直线可得切点为，满足在曲线上，故直线与曲线相切，故D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查判定直线与曲线是否相切，一般采用的方法为，若曲线是椭圆、双曲线或抛物线，可联立直线与曲线方程，利用判别式判断；若曲线是函数曲线，则可通过求导进行判断.11AD【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，极值点，结合恒成立问题求参，对选项进行逐一分析即可.【详解】
12、因为、，则，令，可得，故在该区间上单调递增；令，可得，故在该区间上单调递减.又当时，且，故的图象如下所示：对A，数形结合可知，的解集为，故A正确；对B，由上面分析可知，B错误；对C，若函数有两个极值点，即有两个极值点，又，要满足题意，则需在有两根，也即在有两根，也即直线与的图象有两个交点.数形结合则，解得.故要满足题意，则，故C是错误的；对D，若时，总有恒成立，即恒成立，构造函数，则对任意的恒成立，故在单调递增，则在恒成立，也即在区间恒成立，则，故D正确. 故选：AD.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，极值点个数，恒成立问题求参数范围，属较难题.12BD【解析】对于ABC：通过解
13、方程可得答案；对于D，通过作出两个函数的图象可得答案.【详解】四个选项中的函数的图象显然都是连续不断的，对于A：当时，该方程无解，故A不满足；对于B：当，时，解得，故B满足；对于C：当，即时，无实数根，故C不满足；对于D；画出与的图象显然有交点，即存在一个点，使得，故D满足；综上，BD均满足.故选：BD【点睛】关键点点睛：利用“不动点”函数的定义求解是解题关键.13 【解析】【分析】设切点，利用导数几何意义和两点连线斜率公式可构造方程求得，进而得到切线斜率和切点坐标.【详解】由题意得：，设直线与相切于点，又直线恒过点，解得：，切点故答案为：；.【点睛】方法点睛：本题考查“在”与“过”某一点的曲
14、线切线方程的求解，方法如下：（1）“在”：该点必为切点，则切线方程为；（2）“过”：分为该点是切点和不是切点两种情况，若是切点，则与“在”某一点的切线方程的求法相同；若不是切点，求法如下：假设切点坐标；利用切线斜率，构造方程，可求得切线斜率；根据直线点斜式求得切线方程：.14【解析】【分析】不等式x1f（x1）+x2f（x2）x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1x2）f（x1）f（x2）0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论【详解】对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，不等式等价为（x1x2）
15、f（x1）f（x2） 0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数y=ex+1为增函数，满足条件；y=3x2（sinxcosx）；y=32（cosx+sinx）=32sin（x+）0，函数单调递增，满足条件；y=x3+x+1；y=3x2+1，则函数在定义域上不单调，不满足条件；当x0时，函数单调递增，当x0时，函数单调递减，不满足条件综上满足“H函数”的函数为，故答案为：【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，结合函数的单调性，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键15【解析】【分析】首先求出函数的导函数，令，解得或，依题意可得位于内，得到不等式组，解得的取值范围；【详解】解：因为，所以令
16、，解得或要使函数，对在内总不是单调函数，所以解得即故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据函数在区间上的单调性求参数的取值范围，属于中档题.16【解析】【详解】由题可得：，所以对称中心为（，） ，设g(x)上任意一点，因为关于（，）对称，所以P关于其对称的对称点为在g(x)上，且所以，故 201717（1）证明见解析；（2） 【解析】【分析】（1）判断的符号，利用导数判断的单调性，结合零点判断定理，即可得证；（2）由题意可得在，的最大值与最小值的差，讨论对称轴与区间，的关系，求得最值，可得，解不等式可得的范围【详解】解：（1）证明：因为，所以，所以，所以在，存在零点，又当，时，
17、即在，递增，所以在区间内存在唯一的零点；（2）当时，对任意，都有等价为在，的最大值与最小值的差当或，即或时，解得或；当，即时，恒成立；当，即时，恒成立综上，的取值范围为18（1）见解析（2）见解析【解析】【详解】分析：（1）取出函数的导数，结合二次函数的性质，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，即可；（2）求出，令，则，根据函数的单调性证明即可详解：（1）的定义域为， . 设，为二次函数，对称轴，且恒过点，（i）当时,，所以，在上单调递减；（ii）当时， 令，可得，.若时， .当时，；时，.所以在上单调递减；在上单调递增. 当时，,.对任意，恒成立，所以在上单调递减； 当时，.当时，；时，.所
18、以在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在上单调递减；在上单调递增.当时， 在上单调递减.当时，在上单调递减；在上单调递增. （2），.将两式相减，整理得， 即， 所以 令， 则，所以在上单调递减，故 又，所以.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用19(1)当时，的单调递减区间
19、为，单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)证明过程见解析【解析】【分析】（1）求出导数，然后通过对分情况讨论，研究导数的符号研究函数的单调性；（2）结合第一问的结果，判断出函数在上的单调性，然后结合端点处的函数值的符合证明(1)，当时，由得：，由，得：，故此时的单调递减区间为，单调递增区间为当时，令得：或由得：，此时由得：或，此时故此时的单调递减区间为，单调递增区间为综上：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)由（1）可知，当时，的单调递增区间为，而，所以在上单调递增，又，所以，由零点存在性定理可得：函数在区间上有且仅有一
20、个零点20（）；（）实数的取值范围为；（）所求最小值为.【解析】【详解】试题分析：（）利用求导，将处的切线的斜率求出，与直线的斜率乘积为，进而求得的值；（）根据（）得到的解析式，若函数存在单调递减区间，必有在上有解，进而求得的取值范围；（）根据题意的两个根即为，由韦达定理得到，进而，应换元法进而求得其最小值.试题解析：（），垂直， （3分）（） （5分设，则只须的取值范围为 （8分）（）令 （10分），又，令， （12分）故的最小值为 （14分）考点：1.利用导求切线斜率；2.利用导解决单调递减区间；3.换元法.21【解析】【分析】由已知结合导数的几何意义及计算即可求解【详解】由已知得点与点均
21、在曲线C上，由导数的几何意义得，解得：所以曲线C的方程为：【点睛】方法点睛：本题考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，求切线常见考法：(1)已知切点求斜率k，即求该点处的导数值：(2)已知斜率k，求切点，即解方程.(3)若求过点的切线方程，可设切点为，由，求解即可22（1）；（2）.【解析】【详解】【试题分析】（1）根据切点和斜率,列出方程组,解出的值.(2)化简出的表达式后,对其求导.注意到,对分类讨论函数的单调区间,使得函数的最小值大于,即可求得的取值范围.【试题解析】（1），由与切于点，则解得，（2），且当时，可知在递增，此时成立；当时，可知在递增，在递减，此时，不符合条件；当时，恒成立，可知在递减，此时成立，不符合条件；当时，可知在递减，此时成立，不符合条件；当时，可知在递增，此时成立综上所述，【点睛】本小题主要考查导数与切线问题,考查利用导数分类讨论函数的极值和最值的问题,考查了分类讨论的数学思想方法. 解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；另外，函数的单调区间不能出现“并”的错误写法.分类讨论要做到不重不漏.答案第22页，共22页