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1、86空间向量及其运算(教师独具内容)1了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会简单应用空间两点间的距离公式了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义能用向量的数量积判断向量的共线与垂直理解直线的方向向量与平面的法向量能用向量语言表述线线、线面、面面的平行与垂直关系3重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养(教师独具内容)本考点在高考中没有单独命题，一般作为工具与立体几何知识结合考查，因此应重点掌握空间向量的线性运算，空间向量数量积
2、的定义，并能应用空间向量的数量积判断两向量的共线与垂直(教师独具内容)1空间直角坐标系与点的坐标(1)空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)表示(2)建立了空间直角坐标系，空间中的点M与有序实数组(x，y，z)可以建立一一对应的关系2空间两点间的距离公式、中点公式(1)距离公式设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB| ；设点P(x，y，z)，则与坐标原点O之间的距离为|OP|.(2)中点公式设点P(x，y，z)为P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点，则3空间向量中的特殊向量名称概念零向量模为0的向量单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且
3、模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量4空间向量的有关定理概念语言描述共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b0)，ab存在R，使ab共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb推论：M，A，B是三个不共线的点，则点P，M，A，B四点共面的充要条件是存在唯一实数对(x，y)，使xy空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使得pxaybzc5空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相
4、关概念两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b，其范围是0，如果a，b，那么向量a，b互相垂直，记作ab.非零向量a，b的数量积ab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)，R；交换律：abba；分配律：(ab)cacbc.(3)数量积的性质向量数量积的性质垂直若a，b是非零向量，则abab0共线同向：ab|a|b|反向：ab|a|b|模aa|a|a|cosa，a|a|2；|a|；|ab|a|b|夹角为a，b的夹角，则cos(4)空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2
5、，b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0，R)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夹角余弦值cosa，b(a0，b0)cosa，b(5)投影向量向量a在向量b上的投影先将向量a与向量b平移到同一平面内，如图1，向量c称为向量a在向量b上的投影向量向量a在直线l上的投影如图2，向量c称为向量a在直线l上的投影向量a在平面上的投影如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为A，B，得到向量，则向量(a)称为向量a在平面上的投影向量1思考辨析
6、(正确的打“”，错误的打“”)(1)对于非零向量b，若abbc，则ac.()(2)在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)()(3)对空间任意两个向量a，b，ab存在R，使ab.()(4)任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底()答案(1)(2)(3)(4)2若a，b，c为空间向量的一个基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是()Aa，ab，abBb，ab，abCc，ab，abDab，ab，a2b答案C解析对于A，因为(ab)(ab)2a，所以a，ab，ab共面，不能构成基底；对于B，因为(ab)(ab)2b，所以b，ab，ab共面，不能构成基底；对
7、于C，若c，ab，ab共面，则c(ab)(ab)()a()b，则a，b，c共面，与a，b，c为空间向量的一个基底相矛盾，故c，ab，ab可以构成空间向量的一个基底；对于D，a2b(ab)(ab)，所以ab，ab，a2b共面，不能构成基底故选C.3在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(2，1，6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是()A垂直B平行C异面D相交但不垂直答案B解析由题意得，(3，3,3)，(1,1，1)，3，与共线，又AB与CD没有公共点，ABCD.故选B.4已知a(2，1，3)，b(1，2，1)，若a(ab)，则实数的值为()A2BCD2答案
8、D解析由题意知a(ab)0，即a2ab0，又a214，ab7，所以1470，所以2.5如图，在三棱锥OABC中，点D是棱AC的中点，若a，b，c，则等于()AabcBabcC.abcDabc答案C解析由题意，在三棱锥OABC中，点D是棱AC的中点，a，b，c，b，ac，所以abc.基础知识巩固考点空间向量的线性运算例1如图，在三棱锥OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是ABC的重心，用基向量，表示，则下列表示正确的是()A.B.CD.答案D解析().例2已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且2，现用基底，表示向量，有xyz，则x
9、，y，z的值分别为_答案，解析如图，因为()，所以x，y，z.1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是C1D1的中点，且xy，则实数xy的值为()ABCD答案D解析xy，故x，y1，所以xy.2在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别是面对角线A1B与B1D1的中点，若a，b，c，则等于()A.(cba)B(abc)C.(ac)D(ca)答案D解析()()(bc)(ba)(ca)用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点
10、指向末尾向量的终点的向量(3)在立体几何中空间向量的三角形法则、平行四边形法则仍然成立考点共线向量定理、共面向量定理及应用例3已知空间四点A(0,3,5)，B(2,3,1)，C(4,1,5)，D(x,5,9)共面，则x_.答案6解析A(0,3,5)，B(2,3,1)，C(4,1,5)，D(x，5,9)，(2,0，4)，(4，2,0)，(x,2,4)，A，B，C，D四点共面，存在实数，使得，(x,2,4)(2,0，4)(4，2,0)，解得x6.例4如图，已知M，N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GMGA13.求证：B，G，N三点共线证明设a，b，c，则a(abc
11、)abc，()abc.所以，又与有公共点B，所以B，G，N三点共线例5已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足()(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内解(1)由题意知3，()()，即，共面(2)由(1)知，共面且过同一点M，M，A，B，C四点共面从而点M在平面ABC内3.若A(1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三点共线，则mn_.答案3解析(3，1,1)，(m1，n2，2)，且A，B，C三点共线，存在实数，使得，即(m1，n2，2)(3，1,1)(3，)，解得mn3.4已知a(2，1,2)，b(1,3，3)，c(13,6，)，若向量
12、a，b，c共面，则_.答案3解析向量a，b，c共面，存在实数m，n，使得cmanb，解得5. 如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足k，k(0k1)判断向量是否与向量，共面解因为k，k，所以kkk()k()kkk()(1k)k，所以由共面向量定理知向量与向量，共面三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面且同过点Pxy对空间任一点O，t对空间任一点O，xy对空间任一点O，x(1x)对空间任一点O，xy(1xy)考点空间向量数量积及其应用例6如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算
13、：(1)；(2).解设a，b，c.则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60.(1)ca，a，(a)a2ac.(2)()()()()(ca).例7如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设a，b，c，用向量法解决下列问题：(1)求的模；(2)求与的夹角的大小解(1)因为正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，a，b，c，所以()(ba)，c.所以(ba)ac(cab)，所以|2(cab)2(c2a2b22ac2ab2bc)(111211cos60211cos60211cos60)，故|.(2)在
14、正四面体ABCD中，(cab)，|.同理，(bca)，|.所以cos，(ca)2b2(c2a22cab2)(11211cos601)0，所以与的夹角为90.6. 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则()Aa2Ba2Ca2Da2答案C解析设a，b，c，则|a|b|c|a，且a，b，c两两夹角为60.又(ab)，c，故(ab)c(acbc)(a2cos60a2cos60)a2.7已知向量a(1,2,3)，b(2，4，6)，|c|，若(ab)c7，则a与c的夹角为()A30B60C120D150答案C解析由于ab(1，2，3)a，故(ab)cac7，
15、即ac7.又|a|，所以cosa，c，所以a，c120.8. 如图，在大小为45的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A.BC1D答案D解析因为，所以|2|2|2|22221113.故| .1空间向量数量积的计算方法(1)定义法：设向量a，b的夹角为，则ab|a|b|cos.(2)坐标法：设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则abx1x2y1y2z1z2.2运用公式|a|2aa，可使线段长度(即两点间距离)的计算问题转化为向量数量积的计算问题3设向量a，b所成的角为，则cos，进而可求两异面直线所成的角课时作业一、单项选择题1
16、. 如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，B1EA1B1，则()A.BC.D答案C解析正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，B1EA1B1，B(1,1,0)，E，(1,1,0).2已知a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，则下列结论正确的是()Aac，bcBab，acCac，abD以上都不对答案C解析a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，ab4040，ab.，ac.故选C.3在长方体ABCDA1B1C1D1中，()A.BCD答案D解析如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，().故选D.4在空间四边形ABCD中，等于()A
17、1B0C1D不确定答案B解析如图，令a，b，c，则a(cb)b(ac)c(ba)acabbabccbca0.5. 如图，在平行六面体ABCDABCD中，AC与BD的交点为O，点M在BC上，且BM2MC，则下列向量中与相等的是()ABC.D.答案C解析因为BM2MC，所以，在平行六面体ABCDABCD中，()()().故选C.6. 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，A1ABA1AC60，BAC90，A1A3，ABAC2，则线段AO的长度为()A.BCD答案A解析由题意可知，()()，且A1ABA1AC60，BAC90，A1A3，ABAC2，则2(222222)，|.故
18、选A.7在正方体ABCDA1B1C1D1中，若点G是BA1D的重心，且xyz，则xyz的值为()A3B1C1D3答案B解析如图所示，连接AC，BD交于点O，连接AG，A1O，则2，()，xyz，xyz1.8已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若xyz(x，y，zR)，则“x2，y3，z2”是“P，A，B，C四点共面”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析当x2，y3，z2时，即232.则23()2()，即32，根据共面向量定理知，P，A，B，C四点共面；反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理，设mn(m，nR)，即m()n()，即(
19、1mn)mn，即x1mn，ym，zn，这组数显然不止2，3,2.故“x2，y3，z2”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件二、多项选择题9已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(1,3,1)，则()A.与是共线向量B与共线的单位向量是(1,1,0)C.与夹角的余弦值是D平面ABC的一个法向量是(1，2,5)答案CD解析由题意，对于A，(2,1,0)，(1,2,1)，所以与不是共线向量，所以A不正确；对于B，因为(2,1,0)，所以与共线的单位向量为或，所以B不正确；对于C，向量(2,1,0)，(3,1,1)，所以cos，所以C正确；对于D，设平面ABC的法向量是n(x，y
20、，z)，因为(2,1,0)，(1,2,1)，所以即令x1，所以平面ABC的一个法向量为n(1，2,5)，所以D正确故选CD.10已知空间三点A(1,0,3)，B(1,1,4)，C(2，1,3)若，且|，则点P的坐标为()A(4，2,2)B(2,2,4)C(4,2，2)D(2，2,4)答案AB解析，可设.易知(3，2，1)，则(3，2，)又|，解得1，(3，2，1)或(3,2,1)设点P的坐标为(x，y，z)，则(x1，y，z3)，或解得或故点P的坐标为(4，2,2)或(2,2,4)故选AB.三、填空题11已知向量a(5,3,1)，b，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为_答案解析由已知得
21、ab5(2)3t13t.因为a与b的夹角为钝角，所以ab0，即3t0，所以t.若a与b的夹角为180，则存在0，使ab(0)，即(5,3,1)，所以所以t，故实数t的取值范围是.12已知向量a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若ac，则_，若a，b，c共面，则_.答案3解析因为ac，所以ac0，即27(1)530，解得3，因为a(2，1,3)，b(1,4，2)，所以a，b不共线，因为a，b，c共面，所以存在一对实数m，n，使cmanb，所以(7,5，)m(2，1,3)n(1,4，2)(2mn，m4n,3m2n)，所以解得13. 如图，60的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，B
22、D分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，则CD的长为_答案2解析由条件，知0，0，.所以|2|2|2|2222624282268cos12068，所以CD2.14. 如图，在空间四边形OABC中，a，b，c，点M在OA边上，且2，N为BC的中点，则_(用a，b，c表示)答案abc解析a，b，c，2，N为BC的中点，()abc.四、解答题15已知空间中三点A(2,0，2)，B(1，1，2)，C(3,0，4)，设a，b.(1)若|c|3，且c，求向量c；(2)已知向量kab与b互相垂直，求k的值；(3)若点P(1，1，m)在平面ABC上，求m的值解(1)(2,
23、1，2)，因为c，所以c(2，2)，又|c|3，故3，即1，所以c(2,1，2)或c(2，1,2)(2)a(1，1,0)，b(1,0，2)，因为kab与b互相垂直，故(kab)b0，即kabb20，故k50，即k5.(3)因为点P(1，1，m)在平面ABC内，故存在x，y使得xy，又(1，1，m2)，所以解得故m2.16. 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM2A1M，C1N2B1N.设a，b，c.(1)试用a，b，c表示向量；(2)若BAC90，BAA1CAA160，ABACAA11，求MN的长解(1)由题意可知(ca)a(ba)abc.(2)因为(abc)2a2b2c22ab2bc2ca1110115，所以|abc|，所以|abc|.17在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在棱B1B，D1D上，且BEBB1，DFDD1.(1)求证：A，E，C1，F四点共面；(2)若xyz，求xyz的值解(1)证明：连接AC1(图略)，()()，A，E，C1，F四点共面(2)()xyz，x1，y1，z.xyz11.