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1、第1节函数的概念及其表示1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.1.函数的有关概念(1)集合A,B及其对应关系f:AB构成的函数中,函数的值域C不是集合B,而是CB.(2)两个函数的值域和对应关系相同,但两个函数不一定相同,例如,函数f(x)=2x2,x0,2与函数f(x)=2x2,x-2,0.2.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、列表法和图象法.3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,
2、这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.与x轴垂直的直线与一个函数的图象至多有一个公共点.1.若集合A=x|0x2,B=y|0y3,则下列图形给出的对应中能构成从A到B的函数f:AB的是(D)解析:A中的对应不满足函数的存在性,即存在xA,但B中无与之对应的y;B,C均不满足函数的唯一性,只有D正确.故选D.2.(必修第一册P72习题3.1T2改编)下列四组函数中表示同一个函数的是( )A.f(x)=x-1x-1与g(x)=(x-1)2B.f(x)=x与g(x)=x
3、2xC.f(x)=x2与g(x)=|x|D.f(x)=1,xR与g(x)=x0解析:A选项中函数f(x)的定义域为1,+),g(x)的定义域为R,定义域不同,不是同一个函数;B选项中函数f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-,0)(0,+),定义域不同,不是同一个函数;C选项中函数f(x),g(x)的定义域均为R,对应法则也相同,是同一个函数;D选项中函数f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-,0)(0,+),定义域不同,不是同一个函数.故选C.3.已知函数f(x)=x2+1,x0,-x2+1,x0,则f(f(-12)等于(A)A.2516B.716C.-916D.916解析:由x
4、0可知f(-12)=-(-12)2+1=34,结合x0的解析式可知f(34)=(34)2+1=2516.故选A.4.已知函数f(x)和g(x)的定义域为1,2,3,4,其对应关系如表,则f(g(2)的值为(D)x1234f(x)4321g(x)1133A.1B.2C.3D.4解析:因为g(2)=1,f(1)=4,则f(g(2)=f(1)=4.故选D.5.(2020北京卷)函数f(x)=1x+1+ln x的定义域是.解析:函数f(x)=1x+1+ln x的自变量满足x+10,x0,所以x0且x-1,即定义域为(0,+).答案:(0,+) 函数的定义域1.(2021陕西黄陵高三期中)函数f(x)=
5、3xx-1+ln(2x-x2)的定义域为( )A.(2,+)B.(1,2)C.(0,2)D.1,2解析:要使函数有意义则x-10,2x-x20,解得1x2.所以函数f(x)的定义域为(1,2).故选B.2.已知函数f(x)=33x-1ax2+ax-3的定义域是R,则实数a的取值范围是( )A.(-12,0)B.(-12,0C.(13,+)D.(-,13解析:因为f(x)=33x-1ax2+ax-3的定义域为R,所以只需分母不为0即可,所以a=0或a0,=a2-4a(-3)0,可得-12a0.故选B.3.已知函数f(x)=(1-x)-12+(2x-1)0,则f(x)的定义域为.解析:将(1-x)
6、-12化为11-x,所以x1,又因为2x-10,所以x12.综上,定义域为(-,12)(12,1).答案:(-,12)(12,1)4.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数g(x)=f(1x)+f(x-1)的定义域为.解析:因为f(x)的定义域为(-1,1),所以要使g(x)有意义,则-11x1,-1x-11,解得1x2,所以g(x)的定义域为(1,2).答案:(1,2)5.若函数f(x)=ax2+abx+b的定义域为x|1x2,则a+b的值为.解析:函数f(x)的定义域是不等式ax2+abx+b0的解集.不等式ax2+abx+b0的解集为x|1x2,所以a0,1+2=-b,12=ba
7、,解得a=-32,b=-3,所以a+b=-32-3=-92.答案:-92(1)若函数的解析式是由多个基本初等函数通过四则运算构成,则函数的定义域是使构成解析式的各部分都有意义的集合的交集.(2)求抽象函数的定义域若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式ag(x)0),则f(f(x)=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+6,于是有a2=4,ab+b=6,解得a=2,b=2或a=-2,b=-6(舍去),所以f(x)=2x+2.答案:f(x)=2x+23.已知f(1-cos x)=sin2x,则函数f(x)的解析式为.解析:因为f(1-cos x)=sin2x=1-co
8、s2x,令1-cos x=t,t0,2,则cos x=1-t,所以f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t0,2.即f(x)=2x-x2,x0,2.答案:f(x)=2x-x2,x0,21.已知f(g(x)的解析式,求f(x)的解析式,常用换元法或配凑法或两种方法并用,换元法更具有一般性,在使用时一定要注意新元的取值范围.2.换元法的一般方法是:令t=g(x),从中求出x=(t),然后代入表达式求出f(t),再将t换成x,得到f(x)的解析式,要注意新元的取值范围. 分段函数及其应用分段函数求值 已知f(x)=2x,x0,f(x+1),x0,则ff(43)+f(-43)的值等于.解析:由题意得
9、f(43)=243=83,ff(43)=f(83)=283=163.f(-43)=f(-13)=f(23)=223=43,所以ff(43)+f(-43)=163+43=203.答案:203求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时,要先确定要求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析式求值.(2)当出现f(f(a)的形式时,应从内到外依次求值.分段函数与方程 (2021山西太原高三期中)已知函数f(x)=x2-x,x0,x,x0,若f(a)=2,则实数a=()A.-1或2B.2或4C.-2或4D.-1或4解析:法一当a0,则满足f(x)+f(x-12)1的x的取值范围是.解析:
10、当x12时,f(x)+f(x-12)=2x+2x-122x21;当02x1;当x0时,f(x)+f(x-12)=x+1+(x-12)+1=2x+32,所以f(x)+f(x-12)12x+321x-14,即-140,ex,x0,若F(x)=f(x)+x,xR,则F(x)的值域为()A.(-,1B.2,+)C.(-,12,+)D.(-,1)(2,+)解析:当x0时,F(x)=1x+x21xx=2,当且仅当1x=x,即x=1时取等号;当x0时,F(x)=ex+x,根据指数函数与一次函数的单调性得F(x)是增函数,F(x)F(0)=1,所以F(x)的值域为(-,12,+).故选C.分段函数的值域是各段
11、函数值域的并集.针对训练 1.已知函数f(x)=x+1x-2,x2,x2+2,x2,则f(f(1)=()A.-12B.2C.4D.11解析:因为f(1)=12+2=3,所以f(f(1)=f(3)=3+13-2=4.故选C.2.若函数f(x)=x-1,x0,lgx,x0,则不等式f(x)+10的解集是()A.(-,110)B.(-,0)(0,110)C.(0,110)D.(-1,0)(110,+)解析:由题意x0,x-1+10,lgx+10,所以x0或0x110,所以不等式f(x)+10的解集为(-,0)(0,110).故选B.3.(2021四川遂宁高三零模)函数f(x)=x2-x+1,x1的值
12、域为.解析:当x1时,f(x)=1x(0,1).综上可得,f(x)的值域为(0,+).答案:(0,+)4.已知函数f(x)=ex+1,x0,2,x0,则方程f(1+x2)=f(2x)的解集是.解析:因为1+x21,所以f(1+x2)=2.方程f(1+x2)=f(2x),即f(2x)=2.所以当x0时,设解析式为y=a(x-2)2-1,因为图象过点(4,0),所以0=a(4-2)2-1,解得a=14.综上,函数f(x)在-1,+)上的解析式为f(x)=x+1,-1x0,14(x-2)2-1,x0.答案:f(x)=x+1,-1x0,14(x-2)2-1,x0知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新
13、练函数的概念与表示2,3,61416函数的定义域1,4,5,711分段函数8,9,1012,13151.(2021江苏淮安五校高三联考)函数f(x)=1-x+lg(3x-1)的定义域为(A)A.(13,1B.(0,1C.(-,13)D.(0,13)解析:要使f(x)=1-x+lg(3x-1)有意义,则有1-x0,3x-10,解得130);y=x2+2x-10;y=x,x0,1x,x0,其中定义域与值域相同的函数的个数为(B)A.1B.2C.3D.4解析:y=3-x的定义域与值域均为R;y=2x-1(x0)的定义域为(0,+),值域为(12,+);y=x2+2x-10的定义域为R,值域为-11,
14、+);y=x,x0,1x,x0的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数是,共有2个.故选B.6.(多选题)下列函数中,满足f(2x)=2f(x)的是(ABD)A.f(x)=|2x|B.f(x)=xC.f(x)=xD.f(x)=x-|x|解析:f(x)=|2x|,f(2x)=4|x|,2f(x)=4|x|,所以A正确;f(x)=x,满足f(2x)=2f(x),所以B正确;f(x)=x,f(2x)=2x,2f(x)=2x,不满足f(2x)=2f(x),所以C不正确;f(x)=x-|x|,f(2x)=2x-2|x|,2f(x)=2x-2|x|,所以D正确.故选ABD.7.(2021安徽合肥高
15、三联考)已知函数f(x)的定义域是12,8,则f(2x)的定义域是.解析:因为函数f(x)的定义域是12,8,所以122x8,得-1x3.所以f(2x)的定义域为-1,3.答案:-1,38.已知函数f(x)=x+3,x f(1)的解集为.解析:f(2)=22+2-1=5,f(x)f(1)等价于x1或者x0,x2+x-11,解得-2x1.答案:5(-2,0)(1,+)9.设函数f(x)=x2-2(x2),log2x(x2),若f(m)=7,则实数m=.解析:当m2时,f(m)=7,即m2-2=7,解得m=3或m=-3(舍去),则m=3;当m2,舍去.综上可得,实数m的值为3.答案:310.已知函
16、数f(x)=(1-2a)x+3a,x0且a-1,解得-1a0-3x3,所以-3x33,-33x3,所以-9x1或x-1,所以-9x-1或1x9.故选B.12.(多选题)函数f(x)=1,x为有理数,0,x为无理数,则下列结论正确的是(ACD)A.任意x都有f(x)=f(-x)B.方程f(f(x)=f(x)的解只有x=1C.f(x)的值域是0,1D.方程f(f(x)=x的解只有x=1解析:当x为有理数时,-x为有理数,则f(x)=f(-x)=1,当x为无理数时,-x为无理数,则f(x)=f(-x)=0,故A正确;当x为有理数时,方程f(f(x)=f(1)=1=f(x)成立;当x为无理数时,方程f
17、(f(x)=f(0)=1f(x).所以方程f(f(x)=f(x)的解为任意有理数,故B错误;因为f(x)的值域是0,1,故C正确;当x为有理数时,方程f(f(x)=f(1)=1=x,解得x=1;当x为无理数时,方程f(f(x)=f(0)=1,无解,故D正确.故选ACD.13.(多选题)已知函数f(x)=x2,-2x1,-x+2,x1,关于函数f(x)的结论正确的是(BC)A.f(x)的定义域为RB.f(x)的值域为(-,4C.若f(x)=2,则x的值是-2D.f(x)1的解集为(-1,1)解析:函数f(x)的定义域是-2,1)1,+)=-2,+),故A错误;当-2x1时f(x)=x2,值域为0
18、,4,当x1时,f(x)=-x+2,值域为(-, 1,故f(x)的值域为(-,10,4=(-,4,故B正确;由函数值的分布情况可知,f(x)=2在x1上无解,故由-2x1,即f(x)=x2=2,得到x=-2,故C正确;当-2x1时,令f(x)=x21,解得x(-1,1),当x1时,令f(x)=-x+21,解得x(1,+),故f(x)1的解集为(-1,1)(1,+),故D错误.故选BC.14.若一系列函数的解析式和值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,请写出一个与函数y=x2,x0,2同族的函数:.解析:函数y=x2,x0,2的值域为0,4,因此其同族函数的函数解析式可以是y=x
19、2,x-2,t(0t2),也可以是y=x2,xm,2(-2m0)中的任意一个.答案:y=x2,x-2,1(答案不唯一,参考解析中的t,m的值)15.设函数f(x)=x(x-1),x0,-f(-x),x0,则满足f(x)+f(x-1)2的x的取值范围是.解析:当x0时,f(x)=-f(-x)=-x(-x-1)=-x(x+1),若x0,则x-1-1,由f(x)+f(x-1)2得-x(x+1)-(x-1)x2,即-2x2-1,此式恒成立,此时x0.若x1,则x-10,由f(x)+f(x-1)2得x(x-1)+(x-1)(x-2)2,即x2-2x0,即0x2,此时1x2.若0x1,则x-10,由f(x
20、)+f(x-1)2得x(x-1)-(x-1)x2,即02,此时不等式恒成立,此时0x1.综上x0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,bR,则ab=.解析:因为f(x)=x3-3x+3(xR),所以f(x)-f(a)=x3-3x+3-(a3-3a+3)=x3-a3-3(x-a)=(x-a)(x2+ax+a2)-3(x-a)=(x-a)x2+ax+a2-3,因为f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,所以(x-a)x2+ax+a2-3=(x-b)(x-a)2,对任意的x恒成立,因为x-a不恒为0,所以x2+ax+a2-3=(x-b)(x-a).展开整理可得ax+a2-3=-(a+b)x+ab,所以a=-(a+b),a2-3=ab,解得a=1,b=-2或a=-1,b=2(舍去),所以ab=1(-2)=-2.答案:-2