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1、专题16极坐标与参数方程1在平面直角坐标系中，直线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若与相交于，两点，且，求.【答案】（1）；（2）【分析】（1）先将两边同时平方，再利用，即可得到曲线的直角坐标方程；（2）写出直线的参数方程，与曲线的直角坐标方程联立，设出，所对应的参数分别为，再利用，列出方程，即可求出.【详解】解：（1）由，得:.又，的直角坐标方程为；（2）直线的参数方程为（其中为参数，），将它代入，得：，设，对应的参数分别为，则，又，即.【点睛】关键点点睛：直角坐标方程与极坐标方程互化的关键是利用公式 ，求直线与圆锥曲线的
2、弦长时，利用直线参数方程的几何意义更简单.2在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）求上的点到距离的最大值【答案】（1）；（2）3.【分析】（1）根据参数方程，消去参数，即可得到的普通方程；根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，可得的直角坐标方程；（2）由（1）先设的参数方程，根据点到直线距离公式表示出点到直线的距离，进而可求出最值.【详解】（1）由（为参数），因为，且，所以的普通方程为由，得即直线的直角坐标方程为得；（2）由（1）可设的参数方程为（为参数，），则上的点到的距离为当
3、时，取得最大值6，故上的点到距离的最大值为3【点睛】思路点睛：求圆、椭圆、双曲线上的点到直线的距离的最值时，往往通过参数方程引入三角函数，再借助三角函数的性质进行求解.需要掌握参数方程与普通方程的互化的规律，以及三角函数的性质等.3在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）已知点的直角坐标为，过点作直线的垂线交曲线于、两点（在轴上方），求的值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用直线参数方程消去参数即得直线的普通方程，曲线极坐标方程两边同时乘以，利用，即得曲线的直角坐标方程；
4、（2）根据点坐标写直线的参数方程，代入曲线的直角坐标方程得关于t的一元二次方程，利用韦达定理求的值即可.【详解】解：（1）由，消去参数得，即直线的普通方程为；由得，即曲线的直角坐标方程；（2）依题意，设直线的参数方程为（为参数），代入得，设点对应的参数为，点对应的参数为，则，且在轴上方，有，故，即的值为.【点睛】思路点睛：参数方程法研究直线与曲线交于两点求弦长、距离、面积等问题时，将直线的参数方程代入曲线的一般方程得到关于t的一元二次方程，再利用韦达定理计算求解即可.4在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求的普通
5、方程和的直角坐标方程；（2）若与相交于，两点，设，求【答案】（1）；（2）.【分析】（1）消去参数即可得到的普通方程，将，代入即可得的直角坐标方程；（2）由直线参数方程的几何意义即可求得.【详解】（1）由：，得：，由：得，将，代入可得：；（2）经检验在曲线上，则曲线的参数方程可写为：（为参数），代入曲线，得：，设，两点对应的参数分别为，则由韦达定理得：，故【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解直线参数方程中的几何意义.5在极坐标系中，已知点，B（1，），C（1，0）.（1）求A，B，C三点的直角坐标；（2）已知M是ABC外接圆上的任意一点，求|MA|2|MB|2|MC|2的值.【答案】（1）
6、，；（2）8.【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，计算可得结果；（2）利用三角形ABC的外接圆的参数方程设的坐标，然后用两点间的距离公式计算可得结果.【详解】（1）由知，所以，所以，由知，所以，所以，由知，所以.所以A，B，C三点的直角坐标分别为，.（2）因为，所以是边长为2的等边三角形，故外接圆圆心坐标为，外接圆半径为，所以外接圆的参数方程为，设，所以，所以.【点睛】关键点点睛：第（2）问利用三角形ABC的外接圆的参数方程设的坐标，然后用两点间的距离公式计算是解题关键.6在平面直角坐标系xOy中，已知直线l过点且倾斜角为60，曲线C的参数方程为（为参数）.（1）以原点为极点，x轴非
7、负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；（2）求直线l被曲线C所截得的线段的长度.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）把曲线C的参数方程化为普通方程，将，代入可得曲线C的极坐标方程；（2）设出直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，由根与系数的关系以及弦长公式得出线段的长度【详解】（1）因为曲线C的参数方程为（为参数）.所以其普通方程为，将，代入可得曲线C的极坐标方程为.（2）因为直线l过点且倾斜角为，则直线l的参数方程为（t为参数）.将直线的参数方程代入曲线C的方程中，可得.设为方程的两个根，则，.所以直线被曲线C所截得的线段的长度为.【点睛】方法点睛：本题考查参数
8、方程和普通方程的互化，考查极坐标方程和普通方程的互化，考查直线的参数方程，过点，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数），设为直线上两点，所对应的参数分别为，则1.；2.；3.7如图所示，已知曲线的极坐标方程为，点，以极点为原点，极轴为轴建立平面直角坐标系（1）求曲线的直角坐标方程；（2）已知直线的参数方程为，（为参数），若直线与曲线交于、两点，求的值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据公式，转化为直角坐标方程；（2）首先将直线的参数方程写成标准形式，再代入曲线的直角坐标方程，利用的几何意义求的值.【详解】因为，故，故，即；（2）设直线的参数方程为（为参数），若直线与双曲线交于，则只能交于轴
9、右侧部分，将直线的参数方程代入，可得设，对应的参数分别为，故，故【点睛】方法点睛：利用直线的参数方程解决直线与圆、圆锥曲线的弦长，方法是：（1）将直线的参数方程与圆、圆锥曲线的普通方程联立，可得出关于参数的一元二次方程；（2）利用韦达定理得出、；（3）利用弦长公式可得出，代入计算.8已知曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，点为曲线上的动点，点在轴上的射影为点，且满足.（1）求动点的轨迹的方程；（2）直线的极坐标方程为，点为直线上的动点，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用向量关系将的坐标用表示出来，再代入方程即可求出；（2）得出的直角坐标方
10、程为，设，利用点到直线距离公式即可求出.【详解】解：（1）可得的直角坐标方程为，由已知，设，.因为，所以，即，因为点在曲线：上，所以，从而点的执迹的方程为.（2）直线的普通方程为，曲线的参数方程为（为参数），设，点到直线距离为，（其中），当时，所以.【点睛】关键点睛：本题考查求点到直线的距离的最值，解题的关键是利用参数方程设点表示出距离，再根据三角函数的性质即可求出.9在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若点，且和的交点分别为点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由直角坐标与极
11、坐标关系将极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）由（1）将参数方程代入的直角坐标方程得，由根与系数关系即可得点，对应参数的数量关系，又对应参数，即可得关于的函数式，求其值域即可.【详解】（1）由可得，可得.（2）将带入的直角坐标方程，得，即有，所以，.则.【点睛】关键点点睛：1、直角坐标与极坐标关系，与已知方程结合求直角坐标方程或极坐标方程.2、由参数方程知：极点为，即可令，结合已知求范围即可.10在平面直角坐标系中，曲线的直角坐标方程为，以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标系方程为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）判断：直线与曲线是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，
12、请说明理由.【答案】（1）；（2）直线与曲线相交，公共弦的长为.【分析】（1）将化为，代入极坐标公式即得解；（2）联立和圆的极坐标方程求出，即可判断直线和圆相交，再求弦长得解.【详解】（1）将化为，化为极坐标方程为；（2）将代入得，所以方程有2个不同的根，所以直线与曲线相交，公共弦的长为.【点睛】方法点睛：求极坐标方程里的弦长常用的方法有：（1）都化为直角坐标方程，再利用弦长公式求解；（2）直接利用极坐标方程求解.11在极坐标系中，已知直线过点，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，求：（1）直线的极坐标方程；（2）极点到该直线的距离.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）中利用正弦定
13、理可得，化简即可得答案；（2）作，垂足为，在中，利用正弦的定义，即可得答案；【详解】解（1）如图，由正弦定理，得，即.所求直线的极坐标方程为.（2）作，垂足为，在中，则.即极点到该直线的距离等于.【点睛】求直线的极坐标方程，关键是找到之间的关系.12在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设，直线与曲线相交于M，N两点，若，成等比数列，求实数的值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据直线的参数方程，消去参数，先得到直线的普通方程；由极坐标方程，结合互化公式，即可得出曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，设M，N两点对应的参数分别为，根据，成等比数列，得到，结合韦达定理，即可求出结果.【详解】（1）由消去，可得直线l的普通方程为；由得，由有意义可知，曲线C的直角坐标方程为（2）由，直线的参数方程为（t为参数）将该方程代入曲线C的直角坐标方程中，得设M，N两点对应的参数分别为，则，成等比数列，即，解得，【点睛】思路点睛：参数方法研究直线与曲线交于两点求弦长、距离、面积等问题时，一般需要将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，结合韦达定理，以及弦长公式等求解.