§4.2方差(上).pdf

《§4.2方差(上).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《§4.2方差(上).pdf（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、4.2 方差方差 一 随机变量方差的定义及计算公式一 随机变量方差的定义及计算公式 二 常见分布的方差二 常见分布的方差 【引言】当两个射击运动员的平均成绩相同时，要比较【引言】当两个射击运动员的平均成绩相同时，要比较 两运动员的成绩，应进一步考虑成绩的两运动员的成绩，应进一步考虑成绩的稳定性稳定性。这个。这个 稳定性可用方差这一数字特征来描述。方差就是描述稳定性可用方差这一数字特征来描述。方差就是描述 随机变量随机变量X取值在取值在E(X)周围的集中程度的数字特征。周围的集中程度的数字特征。 例如，设随机变量例如，设随机变量X1和和X2的概率分布分别为的概率分布分别为 X1-2 -1 0 1

2、 2 P1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 X2-2 -1 0 1 2 P1/10 1/5 2/5 1/5 1/10 显然显然E(X1 )=0=E(X2 )。 X1和和X2的概率分布图如下，的概率分布图如下， -2 -1 0 1 2 X2 可见可见X2的取值较的取值较X1的取值以更大的概率集中在的取值以更大的概率集中在0周围周围. 2 2 111 EXE XE X ()(). 22222 112116 21012 10555105 ()(). 22222 11111 210122 55555 可见可见E(X-E(X)2)可刻画可刻画X取值在取值在E(X)周围的集中程度。周围的集中程度。 -

3、2 -1 0 1 2 X1 2 2 222 EXE XE X 定义定义4.3 设随机变量设随机变量X，若数学期望，若数学期望E(X-E(X)2)存在，存在， 则称其为则称其为X的的方差方差，记作，记作D(X)，即，即 D(X)=E(X-E(X)2). 一 随机变量方差的定义及计算公式一 随机变量方差的定义及计算公式 而称而称 为为X的的标准差标准差或或均方差均方差。()D X 【评】【评】 D(X)越小越小(大大)，X的取值越集中的取值越集中(分散分散)于于E(X)。 由于由于(X-E(X)2是是X的函数，故可由求的函数，故可由求X的函数的期望的函数的期望 的方法求方差。即的方法求方差。即 (

4、1)当当X为离散型随机变量，其概率分布为为离散型随机变量，其概率分布为 22 1 ()()(). kk k D XEXE XxE Xp pk =PX=xk , k=1,2,，则，则 (2)设设X是连续型随机变量，其概率密度为是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，则，则 22 ()()()( ).D XEXE XxE Xf x dx 【注】在实际计算方差时，常用下面更简便的公式。【注】在实际计算方差时，常用下面更简便的公式。 常数常数 =E(X2)-(E(X)2。 方差的计算公式方差的计算公式 D(X)=E(X-E(X)2)=E(X2-2E(X)X+(E(X)2) =E(X2)-2(E(X)2

5、+(E(X)2 D(X)=E(X2)-(E(X)2。 常数常数 【评】当【评】当E(X)=0时，时，D(X)=E(X2)。 【证】【证】依定义及数学期望的性质，有依定义及数学期望的性质，有 二 常见分布的方差二 常见分布的方差 (0-1)分布分布的方差的方差 设设XB(1, p)，其分布律为，其分布律为 X0 1 P1-p p 依期望的性质，依期望的性质，E(X2)存在存在，依定理，依定理4.1(1)，有，有 【注】 若【注】 若XB(1, p)，则，则E(X)=p, D(X)=p(1-p)。 D(X)=E(X2)-(E(X)2=p(1-p)。 又又E(X)=p，依方差的计算公式，有，依方差的

6、计算公式，有 E(X2)=02 (1-p)+12 p=p。 二项分布二项分布的方差的方差 设设XB(n, p)，其分布律为，其分布律为 pk =PX=k=Cnkpk(1-p)n-k，k=0, 1, , n, 22 0 n k k E Xk p 1 )1)(1 n kkn k n k C pkpkk ( )() 10 (1)(1)(1) nn kkn kkkn k nn kk k kC ppkC pp 因因X2取有限个值，依性质，取有限个值，依性质，E(X2)存在存在，依定理，依定理4.1(1)， 22(2) (2) 2 (2)! (1)(1) (2)!()! n knk k n n npppn

7、p knk E(X)=np 2 (1)n npnp (1)1 ,npnp D(X)=E(X2)-(E(X)2 又又E(X)=np，依方差的计算公式，有，依方差的计算公式，有 【注】若【注】若XB(n, p)，则，则E(X)=np, D(X)=np(1-p)。 222(2) (2) 2 2 (1)(1) n kknk n k n npCppnp =(p+(1-p)n-2 =np(n-1)p+1)-(np)2=np(1-p)。 依二项分布的数学期望与方差：依二项分布的数学期望与方差： E(X)=np，D(X)=np(1-p)， 2 ()() , 1. ()()() E XD X np E XD X

8、E X 【评】二项分布由其数学期望和方差唯一确定。【评】二项分布由其数学期望和方差唯一确定。 解之得，解之得， 222 0 . k k E Xk p , 0, 1, 2, ,0, ! k k pP Xkek k 泊松分布泊松分布的方差的方差 设设XP( )，其分布律为，其分布律为 22 0010 ! 1) ! ( kkk k kkkk eee kkk k kpk kk 2 22 2 , (2)! k k e k 因此级数绝对收敛，依定理因此级数绝对收敛，依定理4.1(1)，E(X2)存在，存在，且，且， 因因 D(X)=E(X2)-(E(X)2= 。 E(X)= e 又又E(X)= ，依方差的

9、计算公式，有，依方差的计算公式，有 【注】若【注】若XP( )，则，则E(X)= =D(X)。 =p(1+22q+32q2+n2qn-1+) =p(q+2q2 +3q3+nqn+) =pq(1+2q +3q2+nqn-1+) 232 122 (1)(1) pp p qp qqp ， 几何分布几何分布的方差的方差 设设XG(p)，其分布律为，其分布律为 pk =PX=xk =qk-1p, k=1, 2, , 0q=1-p1, 因为因为 =p+22qp+32q2p+n2qn-1p+ 1k 2 k k p 因此级数绝对收敛，依定理因此级数绝对收敛，依定理4.1(1)，E(X2)存在存在，且，且 =1

10、/(1-q)2 2 2 2 1 ).(D XE XE X p p 依方差的计算公式，依方差的计算公式， 【注】若【注】若XG(p)，则，则 2 11 (.), p E XD X pp 22 2 1 21 , , k k p E Xk pE X pp 又又 1 ( ) 0 axb f xba ， ，其他，其他， 22 222 - 1 ( ) 3 b a baba E Xx f x dxxdx ba ， 均匀分布均匀分布的方差的方差 设设XU(a, b)，其概率密度函数为，其概率密度函数为 依数学期望的性质，依数学期望的性质，E(X2)存在，依定理存在，依定理4.1(2)，有，有 又又 依方差的计

11、算公式，有依方差的计算公式，有(), 2 ab E X 2 2 2 () . 12 () ba D XE XE X 【注】若【注】若XU(a, b)，则，则 2 () (), 21 . 2 abba E XD X 1 0 ( ) (0) 00 x ex f x x ， ， 222 ( )2,E Xx f x dx 因此积分绝对收敛，依定理因此积分绝对收敛，依定理4.1(2)，E(X2)存在存在，且，且 指数分布指数分布的方差的方差 设设Xe( )，其概率密度函数为，其概率密度函数为 222 00 0 1 ( )2 xxx x f x dxxedxx exedx 因为因为 2 0 0+2=2,

12、xx xee 【注】若【注】若Xe( )，则，则E(X)= ，D(X)= 2。 。 D(X)=E(X2)-(E(X)2= 2。 。 又又E(X)= ，依方差的计算公式，有，依方差的计算公式，有 222 ( )1,E Xx f x dx 伽玛分布伽玛分布的方差的方差 设设XG( , )，其概率密度函数为，其概率密度函数为 1 1 ,0, ( ) 0, 0 0,0, x xex f x x ， 22 1 0 (2) ( )( ) t te dt 21 0 1 ( ) ( ) x x f x dxxedx 因为因为 ，令，令t=x/ ，dx= dt， 2 2 (1)( )(1). ( ) 因此积分绝

13、对收敛，依定理因此积分绝对收敛，依定理4.1(2)，E(X2)存在存在，且，且 函数的性质函数的性质 又又E(X)=，依方差的计算公式，有，依方差的计算公式，有 【注】若【注】若XG( , )，则，则E(X)=，D(X)= 2。 。 D(X)=E(X2)-(E(X)2= 2。 。 2 2 () 2 1 ( ), , 2 x f xex 2 2 2 2 2 z z edz , x zdxdz 令，令， 正态分布正态分布的方差的方差 设设XN( , 2)，其概率密度函数为 ，其概率密度函数为 2 2 () 22 2 1 ()( )() 2 x xf x dxxedx 因为因为 22 2 22 2 zz zeedz 2 2 0+ 2. 2 依定义依定义 直接考察直接考察 因此积分绝对收敛，依定理因此积分绝对收敛，依定理4.1(2)，E(X-E(X)2)存在存在， 【注】若【注】若XN( , 2)，则 ，则E(X)= ，D(X)= 2。 。 依定义，依定义，D(X)=E(X-E(X)2)= 2。 。 2 22 ()()( ),EXE Xxf x dx 10 理解随机变量方差的定义；理解随机变量方差的定义； 20 理解和掌握方差的计算公式；理解和掌握方差的计算公式； 【提纲挈领】【提纲挈领】 30 理解和掌握常见分布的方差。理解和掌握常见分布的方差。