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1、第一章 概率论的基础知识第一章 概率论的基础知识 1.1 样本空间与随机事件样本空间与随机事件 1.2 频率与概率频率与概率 1.3 古典概型古典概型 1.5 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式 1.6 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 1.4 几何概型几何概型 1.7 事件的独立性事件的独立性 1.8 伯努利概型伯努利概型 【导言】概率这个名词对大多数人来说并不陌生。常听【导言】概率这个名词对大多数人来说并不陌生。常听 人们说买一注体育彩票中头奖的概率很小；人们说买一注体育彩票中头奖的概率很小；A球队和球队和 B球队相遇，球队相遇，B球队胜的概率更大等。但要给概率一个球队胜的概
2、率更大等。但要给概率一个 准确的定义，却不是几句话就能解释清楚的。准确的定义，却不是几句话就能解释清楚的。 本章就来解决这个问题，并讨论有关概率论的基础知本章就来解决这个问题，并讨论有关概率论的基础知 识。识。 首先，在人类社会的生产实践和科学实验中，我们可首先，在人类社会的生产实践和科学实验中，我们可 以观察到的客观现象形形色色。但仔细观察，这些客以观察到的客观现象形形色色。但仔细观察，这些客 观现象可分为两类：观现象可分为两类： 币必然会下落。这种一定条件下必定会出现唯一客观币必然会下落。这种一定条件下必定会出现唯一客观 结果的现象叫结果的现象叫确定性现象。确定性现象。 比如朝上掷一枚硬币
3、，由于地心引力的作用，这枚硬比如朝上掷一枚硬币，由于地心引力的作用，这枚硬 又如朝上掷一枚硬币，考察落地后哪面朝上，这时有又如朝上掷一枚硬币，考察落地后哪面朝上，这时有 两个可能结果，但不知哪一个结果会出现，待硬币落两个可能结果，但不知哪一个结果会出现，待硬币落 地后，哪面朝上才能清楚。地后，哪面朝上才能清楚。 再如一射手向一靶面射击，其成绩可能是再如一射手向一靶面射击，其成绩可能是110环中的环中的 某一环，也可能脱靶，这时有某一环，也可能脱靶，这时有11种可能的客观结果出种可能的客观结果出 现。但射击之前不知道其成绩，射击之后成绩即确定。现。但射击之前不知道其成绩，射击之后成绩即确定。 上
4、述这种有两个或两个以上可能结果出现的客观现象上述这种有两个或两个以上可能结果出现的客观现象 叫叫随机现象。随机现象。 随机现象的可能结果有多个，这是它的不确定性。但随机现象的可能结果有多个，这是它的不确定性。但 这种不确定性中又蕴含着某种规律性。如果我们重复这种不确定性中又蕴含着某种规律性。如果我们重复 抛掷一枚硬币多次，就会发现其正面朝上与反面朝上抛掷一枚硬币多次，就会发现其正面朝上与反面朝上 的次数大约各占一半。这就是随机现象的的次数大约各占一半。这就是随机现象的统计规律性统计规律性。 又如大量重复观测某一偶然误差，它具有如下规律：又如大量重复观测某一偶然误差，它具有如下规律： (1)绝对
5、值越小的误差，出现的机会越多，即所谓的绝对值越小的误差，出现的机会越多，即所谓的 “不均匀性不均匀性”； (3)误差不超过一定的范围，即所谓的误差不超过一定的范围，即所谓的“有限性有限性”； (4)对同一量的同精度观测，偶然误差的算术平均值随对同一量的同精度观测，偶然误差的算术平均值随 测量次数的增加而趋于测量次数的增加而趋于0，即所谓的，即所谓的“稳定性稳定性”。 这四条性质就是偶然误差所遵循的这四条性质就是偶然误差所遵循的必然规律必然规律。 (2)绝对值相等，符号相反的误差，出现的机会相同，绝对值相等，符号相反的误差，出现的机会相同， 即所谓的即所谓的“对称性对称性”； 概率论与数理统计就
6、是研究和揭示随机现象统计规律概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律 性的一门数学分支。性的一门数学分支。 由于随机现象是普遍存在的，所以概率论与数理统计由于随机现象是普遍存在的，所以概率论与数理统计 的的应用十分广泛应用十分广泛。例如某车间有。例如某车间有200台车床，由于经常台车床，由于经常 需要检修、调换零部件等诸多原因，因此在生产实践需要检修、调换零部件等诸多原因，因此在生产实践 中，各台车床也时常需要停修。若每台车床有中，各台车床也时常需要停修。若每台车床有80%的的 时间在开动，而每台车床开动时耗电时间在开动，而每台车床开动时耗电1kw，那么要供，那么要供 给多少电能才能保证
7、该车间正常生产？给多少电能才能保证该车间正常生产？ 显然，若供给显然，若供给200kw的电能该车间能正常生产，但实的电能该车间能正常生产，但实 际同步工作的车床数只有际同步工作的车床数只有160台左右，供给台左右，供给200kw电能电能 有些浪费。若供给有些浪费。若供给160kw的电能又有些少，因为有时的电能又有些少，因为有时 同步工作的车床数会超过同步工作的车床数会超过160台。正确的答案是供给台。正确的答案是供给 173kw电能就够了。这样因供电不足而影响生产的可电能就够了。这样因供电不足而影响生产的可 能性不到能性不到1%。 有关上述问题的解决方法同学们在学了第有关上述问题的解决方法同学
8、们在学了第5章之后就可章之后就可 掌握。掌握。 1.1 样本空间与随机事件样本空间与随机事件 二 样本空间二 样本空间 三 随机事件三 随机事件 一 随机试验一 随机试验 一个科学实验，或对一个自然现象和社会现象的观察，一个科学实验，或对一个自然现象和社会现象的观察， 我们都称为一个我们都称为一个试验试验。 一 随机试验一 随机试验 对随机现象统计规律性的研究要从随机试验着手。对随机现象统计规律性的研究要从随机试验着手。 如果一个试验有如下三个特点，我们称为如果一个试验有如下三个特点，我们称为随机试验随机试验。 (1)可在相同条件下重复进行；可在相同条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果不
9、止一个，且试验前知道一切试验的所有可能结果不止一个，且试验前知道一切 可能结果。可能结果。 (3)试验前不知哪一个可能结果出现，试验后能客观确试验前不知哪一个可能结果出现，试验后能客观确 定出现的是哪一个结果。定出现的是哪一个结果。 例如例如 E1：将一枚硬币上抛二次，观察正面、反面出现情况。：将一枚硬币上抛二次，观察正面、反面出现情况。 E2：将一枚硬币上抛二次，观察正面出现的次数。：将一枚硬币上抛二次，观察正面出现的次数。 E3：记录某网站晚：记录某网站晚9:00-10:00的来访人数。的来访人数。 E5：在单位圆内任取一点，记录其坐标。：在单位圆内任取一点，记录其坐标。 E4：记录某水文
10、站每天早：记录某水文站每天早7:00河流的水位。河流的水位。 【评】我们正是通过随机试验来研究随机现象的。【评】我们正是通过随机试验来研究随机现象的。 上述上述E1 E5都是随机试验。都是随机试验。 随机试验随机试验E的所有可能结果组成的集合称为的所有可能结果组成的集合称为样本空间样本空间， 记为记为 (或或S)，其中每个结果，其中每个结果 称为称为样本点样本点。例如。例如 (1)掷一枚骰子，观察出现的点数，其样本空间为掷一枚骰子，观察出现的点数，其样本空间为 =1, 2, 3, 4, 5, 6。 二 样本空间二 样本空间 (2)一射手射击直到击中目标为止，记录所需射击的次一射手射击直到击中目
11、标为止，记录所需射击的次 数，其样本空间为数，其样本空间为 【注】样本空间可以是有限集，也可以是无限集。【注】样本空间可以是有限集，也可以是无限集。 =1, 2, 3, 。 例例1 写出下述随机试验的样本空间。写出下述随机试验的样本空间。 (1)将分别贴有将分别贴有a, b签的两只球随机地放入签的两只球随机地放入3个盒子中个盒子中 (2)一射手射击直到击中目标为止，观察射击情况。一射手射击直到击中目标为止，观察射击情况。 【解】【解】(1)记样本点为记样本点为 =(x1 , x2 , x3 )，当，当xi为为a, b, ab, 0时，时， 分别表示第分别表示第i个盒子放入个盒子放入a球，球，b
12、球，球，ab球和没放球，球和没放球， 于是样本空间可表示为于是样本空间可表示为 =(a, b, 0), (b, a, 0), (a, 0, b), (b, 0, a), (0, a, b), (0, b, a), (ab, 0, 0), (0, ab, 0), (0, 0, ab)。 (1盒可容盒可容2球球)。 点分别为点分别为 1, 01, 001, 0001, ，于是样本空间可表示为，于是样本空间可表示为 =1, 01, 001, 0001, 。 (2)由于射击直到击中目标为止，故样本点应是一射击由于射击直到击中目标为止，故样本点应是一射击 若以若以0表示没有击中目标，以表示没有击中目标，
13、以1表示击中目标，则样本表示击中目标，则样本 序列，其中最后一次击中目标。序列，其中最后一次击中目标。 【评】样本点和样本空间的描述方式并不是唯一的。【评】样本点和样本空间的描述方式并不是唯一的。 例如，例如，上述各随机试验的样本空间分别如下：上述各随机试验的样本空间分别如下： 1 =HH, HT, TH, TT. 3 =0, 1, 2, 3, . 4 =t|a t b. E1：将一枚硬币上抛二次，观察正面、反面出现情况。：将一枚硬币上抛二次，观察正面、反面出现情况。 E2：将一枚硬币上抛二次，观察正面出现的次数。：将一枚硬币上抛二次，观察正面出现的次数。 【评】【评】E1 , E2是不同的随
14、机试验，所以样本空间不同。是不同的随机试验，所以样本空间不同。 E3：记录某网站晚：记录某网站晚9:00-10:00的来访人数。的来访人数。 E4：记录某水文站每天早：记录某水文站每天早7:00河流的水位。河流的水位。 a, b分别分别 为历史最为历史最 低和最高低和最高 水位。水位。 E5：在单位圆内任取一点，记录其坐标。：在单位圆内任取一点，记录其坐标。 5 =(x, y)|x2+y2 1. 2 =0, 1, 2. 一个样本空间可以概括各种实际内容很不相同的问题。一个样本空间可以概括各种实际内容很不相同的问题。 例如，只包含两个样本点的样本空间例如，只包含两个样本点的样本空间 产品检验中出
15、现正品或次品的随机试验，同样也可用于产品检验中出现正品或次品的随机试验，同样也可用于 描述气象中描述气象中“下雨下雨”或或“不下雨不下雨”的天气预报，等等。的天气预报，等等。 既能描述掷硬币出现正面或反面的随机试验，也能描述既能描述掷硬币出现正面或反面的随机试验，也能描述 =0, 1. 【议】把具体的随机试验用样本空间来描述，是建立数【议】把具体的随机试验用样本空间来描述，是建立数 学模型的前提。不同的试验可以用相同的样本空间表学模型的前提。不同的试验可以用相同的样本空间表 示，因而也能归结为同一个概率模型。示，因而也能归结为同一个概率模型。 综上讨论可知，样本空间是由随机试验确定的。它们综上
16、讨论可知，样本空间是由随机试验确定的。它们 可以是有限集，也可以是无限集；可以是一维的数集，可以是有限集，也可以是无限集；可以是一维的数集， 也可以是多维的数集。有时为了数学上的处理方便，也可以是多维的数集。有时为了数学上的处理方便， 样本空间也可形式上扩大。比如样本空间也可形式上扩大。比如 3， 4也可为也可为0, + )。 知道了样本空间，并不能满足人们实践上的需要。知道了样本空间，并不能满足人们实践上的需要。 比如掷一枚骰子，考察出现的点数，则比如掷一枚骰子，考察出现的点数，则 但对参与竞猜者而言，可能更关心出现小点但对参与竞猜者而言，可能更关心出现小点1,2,3中中 某一点还是大点某一
17、点还是大点4,5,6中某一点。又如在中某一点。又如在E4中人们中人们 关心是水位是否超过警戒水位关心是水位是否超过警戒水位C。 即即人们关心样本空间的某子集中的样本点是否会在人们关心样本空间的某子集中的样本点是否会在 试验中出现试验中出现。 =1,2,6. 三 随机事件三 随机事件 一般地，称试验一般地，称试验E的样本空间的样本空间 的子集为的子集为E的的随机事件随机事件， 在每次试验中，当且仅当该子集所包含的一个样本点在每次试验中，当且仅当该子集所包含的一个样本点 简称简称事件事件。 空集空集称为称为不可能事件不可能事件。 样本空间样本空间 (或或S)称为称为必然事件必然事件。 出现时，称这
18、一出现时，称这一事件发生事件发生(出现出现)。 由一个样本点组成的单点集称为由一个样本点组成的单点集称为基本事件基本事件。 【注】严格来说，事件是指样本空间中满足某些条件的子集。【注】严格来说，事件是指样本空间中满足某些条件的子集。 【提纲挈领】【提纲挈领】 10 理解随机现象的概念；理解随机现象的概念； 20 明确概率论与数理统计课程的宗旨；明确概率论与数理统计课程的宗旨； 40 理解样本空间的概念理解样本空间的概念; 50 理解随机事件的概念。理解随机事件的概念。 30 理解随机试验的概念理解随机试验的概念; 2浙江大学盛骤浙江大学盛骤, 谢式千谢式千, 潘承毅潘承毅. 概率论与数理统计概率论与数理统计(第第4版版)M. (普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材) 高等教育出版社高等教育出版社, 2008. 1陈鸿建陈鸿建, 赵永红赵永红, 翁洋翁洋. 概率论与数理统计概率论与数理统计(第第2版版)M. 高等教育出版社高等教育出版社, 2015. 【注】本课程视频教学的主要参考文献如下：【注】本课程视频教学的主要参考文献如下： 3何书元何书元. 概率论引论概率论引论M. 高等教育出版社高等教育出版社, 2011. 4张立卓张立卓. 概率统计辅导讲义概率统计辅导讲义M. 清华大学出版社清华大学出版社, 2018. 后续同后续同.