1-9康托尔.pdf

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1、微积分史 The History of Calculus 第九讲康托尔 内容提要 康托尔生平 康托尔的主要贡献 康托尔与凡高 格奥尔格康托尔 （Cantor, Georg Ferdinand Ludwig Philipp） 1845年1918年, 德国 康托尔生平 1845年3月3日康托尔出生于俄国列宁格勒 (今俄罗斯圣彼 得堡). 父亲是犹太血统的丹麦人, 母亲出身艺术世家. 1856 年和他的父母一起迁到德国. 宗教是康托尔家庭的重要组成部分. 他的父亲原是犹太教徒, 后来皈依了新教, 而他的母亲则生来就是罗马天主教徒. 既然 家中存在这种混合的宗教信仰, 那么康托尔对神学产生一种 伴随终

2、生的兴趣就不足为奇了. 一些神学问题, 特别是那些与无限性质有关的问题对成年康 托尔的数学产生了很大的影响. 康托尔生平 此外, 他的家庭还展示出明显的艺术气质, 音乐受到特别的尊 崇. 康托尔本人是一位比较优秀的素描画家. 但他的父亲力促他学工, 因而康托尔在1862年带着这个目的 进入了苏黎世大学学工. 这位敏感的年轻人特别擅长数学, 1863年进入柏林大学攻读数学和神学, 受教于库默尔、魏尔 斯特拉斯和克罗内克. 1866年曾去格丁根学习一学期. 1867 年在库默尔指导下获得博士学位. 早期在数学方面的兴趣是数论,毕业后受魏尔斯特拉斯的直接 影响, 由数论转向严格的分析理论的研究并完全

3、接受了微积分 的严谨的推理方法. 康托尔生平 康托尔对数学分析的深入研究使他越来越多地考虑各种数集 之间的本质区别. 特别是, 他意识到, 设计一种比较数集大小 的方法是十分重要的. 1870年康托尔开始研究三角级数并 由此导致19世纪末、20世纪初最伟 大的数学成就集合论和超限数 理论的建立. 康托尔生平 康托尔所从事的研究工作最终使他超越数学领域而进入形而 上学和神学的疆界. 宗教在很大程度上已成为康托尔的中心. 这一切或许已经让 他的同仁把他看作是一个怪人. 康托尔坚定不移地鼓吹这样 一些信念, 使他走上一条疏远支持者和助长反对者的道路. 他提出了很多惊世骇俗的论断. 例如, 他声称莎士

4、比亚的真 作是弗朗西斯. 培根写成的; 再有, 他认定自己关于无穷性的 理论证明了上帝的存在, 认为自己“不仅是上帝的信使, 准 确地记录、转述和传送新发现的超限数理论, 而且也是上帝 的使节”. 康托尔生平 其中反对最激烈的是柏林大学的克罗内克. 克罗内克是德国 数学界很有影响的人物, 并在颇具声望的柏林大学拥有终身 执教的职位. 并且康托尔的集合论并不是完美无缺的. 一方面, 康托尔对 “连续统假设”和“良序性定理”始终束手无策; 另一方面, 19和20世纪之交发现的一些悖论, 使人们对集合论的可靠性 产生了严重的怀疑. 加之集合论的出现确实冲击了传统的观 念, 颠倒了许多前人的想法, 很

5、难为当时的数学家所接受, 遭 到许多人的反对. 康托尔生平 1869年至1913年康托尔在哈雷大学执教. 1872年成为该校 副教授, 1879年任教授. 而哈雷大学的名气远远不如柏林大 学, 因此, 康托尔渴望能够在柏林大学任职. 他对于被放逐到 二流大学, 总有一种强烈的怀才不遇, 并常常把造成这种情况 的原因归结为克罗内克的迫害. 除克罗内克之外, 还有一些著名的数学家, 包括庞加莱、外 尔、克莱因、施瓦兹等, 也对集合论发表了反对意见. 施瓦 兹原来是康托尔的好友, 但由于他反对集合论而同康托尔断 交. 康托尔生平 毫不奇怪, 康托尔由于生活的失意和对最神秘的无穷概念的 拼命钻研, 多

6、次受到精神病的折磨. 1884年, 由于连续统假设 长期得不到证明, 再加上与克罗内克的尖锐对立, 康托尔精神 上屡遭打击, 他支持不住了, 第一次精神崩溃. 经过一段时间 的住院治疗后, 虽然情况好转, 但仍有复发的可能. 康托尔在与其对手间的相互攻击中, 明显地表现出一种偏执 倾向. 在这个过程中, 康托尔攻击敌人又得罪朋友, 也就更难 有机会在柏林大学谋职. 在他的祖国德国和其它一些地方, 都 有许多保守分子大叫大喊地反对他的理论, 康托尔与某些有 影响的数学家也逐渐交恶. 康托尔生平 康托尔的集合论得到公开的承认和热情的称赞首先是在瑞 士苏黎世召开的第一届国际数学家大会上表现出来的.

7、除了在数学与职业方面颇感失意以外, 1899年, 他的爱子的 意外死亡又给他一次沉重的打击. 1902年, 康托尔再次住进 精神病院. 后来, 1904年、1907年和1911年, 又多次住院治 疗. 1918年1月6日,他在精神病发作再次住院期间,与世长辞. 康托尔生平 随着时间的推移, 人们逐渐认识到集合论的重要性. 在1900 年第二届国际数学家大会上, 希尔伯特高度评价了康托尔 工作的重要性, 并把康托尔的连续统假设列入20世纪初有待 解决的23个重要数学问题之首. 在分组会上, 法国数学家阿达玛, 也报告康托尔对他的工作 的重要作用. 瑞士苏黎世理工大学的教授胡尔维茨在他的综合报告中

8、, 明 确地阐述康托尔的集合论对函数论的进展所起的巨大推动 作用, 这破天荒第一次向国际数学界显示康托尔的集合论不 是可有可无的哲学, 而是真正对数学发展起作用的理论工具. 康托尔生平 由康托尔首创的全新且具有划时代意义的集合论, 是自古希 腊时代的二千多年来人类认识史上第一次给无穷建立起抽象 的形式符号系统和确定的运算, 它从本质上揭示了无穷的特 征,使无穷的概念发生了一次革命性的变化, 并渗透到所有的 数学分支, 从根本上改造了数学的结构, 促进了数学的其它许 多新分支的建立和发展, 还给逻辑和哲学带来了深远的影响. 康托尔以其思维之独特, 想象力之丰富, 方法之新颖绘制了一 幅人类智慧的

9、精品集合论和超限数理论, 令19 , 20世 纪之交的整个数学界、 甚至哲学界感到震惊. 毫不夸张地讲 “关于数学无穷的革命几乎是由他一个人独立完成的. ” 康托尔的主要贡献 康托尔指出如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应, 它就是无穷的. 他以一一对应为原则, 提出了集合等价的概 念. 这样就第一次对各种无穷集合按它们元素的“ 多少”进 行分类. 康托尔定义了点集的极限点, 引进了点的导集和导集的导集 等有关重要概念. 给出了开集、闭集和完全集等重要概念, 并 定义了集合的并与交两种运算. 康托尔的主要贡献 0 来表示. 连续统（某一实数区间(a, b) ）的基数用 c 来表示. 他证明

10、了有理数集的可数性. 康托尔说, 任何能够与集合N构成一一对应关系的集合都是 可列集或可数无穷集. 他引入了超限基数的新概念, 用以表 示可数集中元素的个数. 他选用希伯来文的第一个字母 他证明了实代数数的可数性. 他证明了实数集(0 , 1的不可数性. 他证明了连续统的不可数性. 0 c. 康托尔的主要贡献 再论超越数的存在性: 第一个特定的超越数实例是由法国数学家约瑟夫. 刘维尔于 1844年给出的. 为了证实超越数的存在, 刘维尔不懈努力并 且找到了一个. 他证明 是超越数. 2624 1 11111 1010101010 !k k 康托尔把他获得的两个结果结合起来：首先, 一个序列不能

11、 穷举一个区间中的全部点; 其次, 所有代数数构成一个序列. 因此, 在任何一个开区间内必定存在超越数.在他的论证中 康托尔的主要贡献 一位受人欢迎的数学史作家埃里克.坦普尔.贝尔以充满诗意 的语言概述了这种情况：点缀在平面上的代数数犹如夜空中 的繁星,而沉沉的夜空则由超越数构成. 一条直线上的点和中的点是一一对应的. n R 康托尔意识到, 在区间(a, b)内超越数在数量上一定大大超 过代数数！ 没有包含一个特定超越数的例子. 这显然是一种非直接性 的证明. 康托尔的主要贡献 定义 给定集合A, A的所有子集的集合 称为A的幂集, 记作 康托尔定理 如果A是任意集合, 那么 .P A .A

12、P A 集合A 的基数记作.A 那么, 我们到哪里寻找大于 c 的超限基数呢？ c 似乎是最 高一级的超限基数. 但是, 事实证明, 情况却并非如此. 1891 年康托尔证明了存在更大的超限基数, 而且, 是令人难以置 信地大量存在. 他的这项研究结果, 称为康托尔定理. 康托尔和凡高 回顾康托尔的生活和工作, 人们不禁将他与其同时代的荷 兰美术大师凡高相比. 他们二人的外貌颇有些相似之处. 康 托尔的父亲笃信宗教, 而凡高的父亲是一位牧师. 他们两人 都深爱艺术, 热衷文学, 并喜欢写诗. 凡高像康托尔一样, 也有一种古怪而反复无常的个性. 他们对自己的工作都有 一种极强烈的献身精神. 当然

13、, 他们两人也都患有精神病. 1890年7月凡高在精神错 乱中开枪自杀, 年仅37岁.凡高在短暂而辉煌的生涯中, 使美 术超越了印象主义的范畴, 同样康托尔也推动数学沿着意义 深远的新方向发展. 文森特.威廉.凡高 （Vincent Willem van Gogh） 1853年1890年, 荷兰 康托尔凡高 谢谢观看！ 参考文献 1.数学史教程 , 李文林. 高等教育出版社, Springer出版社, 1999. 2.微积分的历程-从牛顿到勒贝格, William Dunham著, 李伯民, 汪军, 张怀勇译. 人民邮电出版社, 2010. 3.天才引导的历程-数学中的伟大定理 , William Dunham著, 李繁荣, 李莉萍译. 机械工业出版社, 2013. 4.古今数学思想 , 莫里哀. 克莱因著, 张理京, 张锦炎 ,江泽涵等译. 上海科学技术出版社, 2014.