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1、专题 勒贝格积分及相关理论 1. 勒贝格积分的研究背景 2. 点集的勒贝格测度 3. 可测函数 4. 勒贝格积分的概念及相关理论 主要内容 1902年“积分、长度、面积” 第1讲 勒贝格积分的研究背景 “积分、长度、面积” (Lebesgue, 法, 18751941) 勒贝格: 1902年博士论文 四边形 求积问题 八边形 求积问题 求积问题 十六边形 一、定积分的进展概述 柯西的积分理论是对于闭区间上连续函数来定义的, a b x y o ? A a b x y o 不足: 若闭区间上具有无限多不连续点, 柯西积分就不适用了. 重新定义定积分 为一个分割的和的极限 1821年柯西 (Cau
2、chy, 法, 17891857) ( ) , .f xa b设是定义在上的有界函数 1854年黎曼 (Riemann, 德, 18261866) 重新定义定积分(后也称黎曼积分) 01 :, in T axxxxb step1.分割区间 1 max i i n Tx 1,iii xxx step2. 近似作和 黎曼和 1 () n ii i fx =( ,) i S T 记作 依赖于划分依赖于划分T, , 以及点以及点 的取法的取法 i 0 1 ( )dlim(). n b ii aT i f xxfx step3. 求极限得黎曼积分 ,0, ( ) , , i TT f xa b 不论 和
3、 如何选择 当时 黎曼和都趋于同一个值 则称该值为函数在区间上的积分 即 达布大和 1 , sup ( ). ii i xxx Mf x 1 , n T ii i SMx 1875年达布 (Darboux, 法, 18421917) 提出了达布大和、小和 达布小和 1 , inf ( ). ii i xxx mf x 1 , n Tii i Smx 上积分与下积分 ( )dinf, b T aT f xxS ( )dsup. b T a T f xxS 结论 1 黎曼可积 ( 存在) 的充要条件 ( )d b a f xx ( )d( )d . bb aa f xxf xx 0 1 lim0,
4、 n ii T i x 1 ( ) , iii ii Mmf x xx 其中为在 上的振幅. 结论 2 黎曼可积 ( 存在) 的充要条件 ( )d b a f xx xi-1 xi (1) 对被积函数和积分域要求过于严格 要求积分域为区间, 对一般点集而言, R积分无定义; 二、 黎曼积分的局限性 (一维情形为例) 0 1 ( ) , lim0 n ii T i f xa bx 函数在区间上可积 要求被积函数在区间a, b上的变化不能太快, 至少急剧变化的点不能太多, 可积函数是“差 不多连续”. ( (黎曼积分意义下可积的函数类太小黎曼积分意义下可积的函数类太小) ) 例1 0,1上的狄利克
5、雷函数 1,0,1 ( ) 0,0,1 x D x x 不是R可积的. 证明 对任意的划分T, 1, i 总有从而 00 11 limlim1 nn iii TT ii xx 故D(x)在0,1上不是R可积的. . 0 狄利克雷狄利克雷( Dirichlet, 德德, 18051859) 在很强的条件下(可积函数列一致收敛)才能交 换极限运算与积分运算次序(见数学分析教材见数学分析教材); (2)积分与极限可交换的条件太严格 问题 ？ O y x ( )yf x ( ) n yfx ba ( )yf x ( )yf x 一致收敛的几何直观一致收敛的几何直观 例2 1 0 lim(d). n n
6、 fxx 所以 1 x y xO 2 x 1 1 3 x 函数列一致收敛的要求过分强. 1 0 (dim)l n n fxx 123 123 1, , , , ( ),1,2,3, 0,0,1 , , , n n n xr r rr fxn xr r rr 例3 设rn为0,1中全体有理数(因为其为可数集, 故可把它排成序列), 构造0,1上的函数列 1,0,1 lim( )( ) 0,0,1 n n x fxD x x 不R可积. 可积函数列的极限函数(逐点收敛)未必可积. ( )0,1R, n fx则在上可积 但 (3)关于微积分基本定理 ( ), ( ), a fxa b b fxa b
7、 假设在上是可微的 条件1 在上是连续的. 1821年柯西 (Cauchy, 法, 17891857) ( )d( )( ), , x a fttf xf axa b ( ), ( ), a fxa b b fxa b 假设在上是可微的 条件2 在上是可积的. 1875年达布 (Darboux, 法, 18421917) 在满足以下条件之一下是成立的: ,f xa bfx假设在上是可微的 且是有界的 ？ ( )d( )( ), , . x a fttf xf axa b 1881年沃尔泰拉 (Volterra, 意, 18601940) 为了扩充可积函数类, 拓宽积分与其它运算交换 的条件, 需要将传统的黎曼积分定义推广. 做出了一个可微函数, 其导函数有界, 但导函数 不是R可积的. 假设 (b)的必要性？ 问题 感谢大家的聆听！