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1、第二节两个自变量的二阶线性偏微分方程第1页，此课件共10页哦Step2:化方程为标准型，求其通解。Step3:将第二步所求通解中的变量,换成yx,的函数即可。评点该方法：化标准型的过程很麻烦，很容易出错。但是对于一些特殊方程，它们的标准型有一定的规律，给求解带来很大的方便。三、的的通通解解求求法法0yyxyxxCuBuAu)2(0yyxyxxCuBuAu第2页，此课件共10页哦分析：)3(0uEuDuCuBuA等价变形为：等价变形为：，引入变量引入变量)2(,yyxyxxyyxyxxyyxxyyxyyxxxyyxxCBAECBADCBACCBABCBAA22222202CdxdyBdxdyA特
2、特征征方方程程：第3页，此课件共10页哦：时，时，042ACBybxaybxacybxacybxa2211222111,引入变量引入变量求出特征线：求出特征线：0,0BEDCA显显然然标准型为：标准型为：:)3(的通解为的通解为故原方程故原方程)()(),(),(),(2211ybxagybxafyxgyxfyxu任任意意函函数数通通解解为为gfgfu,),()(),(0u第4页，此课件共10页哦：时，时，042ACByxyxcyxcyx2211222111,引引入入变变量量求求出出特特征征线线：为为复复数数，其其中中21210,0BEDCA显显然然:)3(的通解为的通解为故原方程故原方程)(
3、)(),(),(),(2211yxgyxfyxgyxfyxu标准型为：标准型为：0u任任意意函函数数通通解解为为gfgfu,),()(),(第5页，此课件共10页哦：时，时，042ACBeydxbyaxcbyax引引入入变变量量求求出出特特征征线线：,0,Jed的选取保证的选取保证0,0CEDBA显显然然标准型为：标准型为：任意函数任意函数通解为通解为gfgfu,),()(),(0u:)3(的通解为的通解为故原方程故原方程)()(),(),(),(),(byaxgbyaxfeydxyxgyxfyxyxu第6页，此课件共10页哦总结：0yyxyxxCuBuAu对对于于方方程程:,00.1原原方方
4、程程的的通通解解为为时时，标标准准型型都都为为当当u),(),(),(yxgyxfyxu:,00.2原方程的通解为原方程的通解为时，标准型都为时，标准型都为当当u),(),(),(),(yxgyxfyxyxu注意：。就是特征线的左端函数就是特征线的左端函数),(),(yxyx注意：是任取是任取是特征线的左端函数是特征线的左端函数),(,),(yxyx的的二二元元一一次次函函数数。),(yx第7页，此课件共10页哦例1：03103yyxyxxuuu031032dxdydxdy特特征征方方程程：解：2133CyxCyx特征线：特征线：)3()3(),(yxgyxfyxu例2：044yyxyxxuu
5、u解：0442dxdydxdy特征方程：特征方程：第8页，此课件共10页哦xyxcyx),(,2取取特特征征线线：)2()2(),(yxgyxxfyxu例3：0yyxxuu解：012dxdy特特征征方方程程：21CyixCyix特征线：特征线：)()(),(yixgyixfyxu第9页，此课件共10页哦四、的通解求法的通解求法),(yxDCuBuAuyyxyxx)5(),(yxDCuBuAuyyxyxx(5)是非齐次线性方程，易得到(5)的通解等于它所对应的齐次方程(2)的通解与(6)的特解之和。例4：yyyxyxxeuuu44解：代代入入方方程程得得到到：设设原原方方程程的的特特解解为为),(yu,4yyyeu可以找到一个特解为4yeu:设设原原方方程程的的通通解解为为4)2()2(),(yeyxgyxxfyxu第10页，此课件共10页哦