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1、1,第七节 斯托克斯(stokes)公式 环流量与旋度,斯托克斯公式,物理意义-环流量与旋度,小结 思考题 作业,circulation,curl,第十章 曲线积分与曲面积分,2,本节介绍空间曲面积分与曲线积分,并同时介绍向量场的两个重要概念,斯托克斯公式.,环量与旋度.,之间的关系,3,一、斯托克斯(Stokes)公式,斯托克斯公式,定理,为分段光滑的空间有向闭曲线,是以,为边界的分片光滑的有向曲面,具有一阶连续偏导数,则有公式,4,即有,其中,方向余弦.,是指定一侧的法向量,5,的正向与的侧符合右手规则:,当右手除拇指外的四指依 的绕行方向时,是有向曲面 的 正向边界曲线,右手法则,拇指所
2、指的方向与上法向量的指向相同.,是有向曲面的正向边界曲线.,称,6,(3) 在坐标面上,应用格林公式把(2)得到的平面闭曲线积分化为二重积分.,因此斯托克斯公式是格林,证明思路,(1) 把曲面积分化为坐标面上投影域的二重积分;,(2) 把空间闭曲线上的曲线积分化为坐标面上的闭曲线积分;,分三步,当为 xOy 坐标面上的平面区域时,斯托克,斯公式就是格林公式,公式在曲面上的推广.,7,另一种形式,便于记忆形式,8,Stokes公式的实质,表达了有向曲面上的曲面积分与其,边界曲线上的曲线积分之间的关系.,9,解,法一,按斯托克斯公式,计算曲线积分,例,其中,被三坐标面所截成的,三角形的整个边界,它
3、的正向与这个三角形上侧,的法向量之间符合右手规则.,有,10,对称性,11,按斯托克斯公式,法二,有,12,解,则,计算曲线积分,例,其中,截立方体:,的表面所得的截痕,若从Ox,轴的正向看去,取逆时针方向.,取为平面,的上侧被所围成的部分.,在xOy面上的投影为,13,即,14,1.环流量的定义,circulation,curl,环流量.,二、物理意义-环流量与旋度,设向量场,15,利用Stokes公式,环流量,16,2. 旋度的定义,17,解,例,18,斯托克斯公式的又一种形式,其中,19,斯托克斯公式的向量形式,其中,20,Stokes公式的物理解释,环流量,旋度为零向量的向量场称为无旋
4、场或有势场或保守场.,无源且无旋的场称为调和场.,21,斯托克斯Stokes公式,斯托克斯公式的物理意义环流量与旋度,三、小结,Stokes公式的实质,表达了有向曲面上的曲面积分与其,边界曲线上的曲线积分之间的关系.,(注意使用的条件),22,计算 其中,是球面,(1) 用对面积的曲面积分;,(2) 用对坐标的曲面积分;,(3) 用高斯公式;,(4) 用斯托克斯公式.,的上半部上侧,是它的边界.,思考题,23,解答,(1) 原式=,24,(2)原式=,(3) 补平面,原式=,方向朝下,与构成封闭曲面.,特别注意两类曲面积分的区别,25,将写成参数方程:,原式=,原式=,(4) 边界曲线:z = 0 平面内一圆,由斯托克斯公式,26,作 业,习题10-7 (183页),1.(1) (3) 2.(1) (3) 3.(1) 4. (1) 6.,