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1、第六章 非平衡态统计物理非平衡态物理现象l 动力学驰豫过程例如，t0，体系处于高温态；t 0, 体系淬火到低温态。在这一过程，体系的性质和物理量显然与时间相关。l 动力学输运过程体系处于稳态，但存在“流动”，如粒子流，电流和能量流等。这样的系统需要动力学方程描述。其他一些现象也纳入非平衡态物理研究范畴。例如，体系不断受到外力打击，这些外力是宏观的，或者没法简单用Hamiltonian表达，等等。平衡态的动力学涨落也可以属非平衡态物理研究范畴。第一节玻尔兹曼方程全同粒子，近独立体系，粒子数不变。单粒子微观状态用（）描述，（）张开的空间称空间。平衡态系统的微观状态可用分布函数描述为单粒子能量处于（
2、）处的粒子数的密度分布。思考题：与正则系综理论的关系，例如，如何写出配分函数。非平衡态粒子数密度与时间t有关关键：如何求f ？ 显然，如果t是微观时间，求解的难度和解微观运动方程差不多。所以，t一般是某种介观时间或宏观时间。先试图写下f的运动方程再讨论如何求解如果粒子不受外力，没有粒子间的碰撞，我们有粒子流守恒方程如何来的？对积分 左边： 中单位时间粒子数的增加右边： 单位时间流入的粒子数。 注意：的方向为向外的，至少在局部是常数，所以，是从dS流入的粒子数，因为 另一方法：没有外力，至少在局部是常数。时刻处于处的粒子 t时刻处于的粒子因为在内粒子移动 如果粒子受外力，但互相不碰撞如果粒子相互
3、碰撞为由粒子碰撞引起的粒子数密度的变化这便是玻尔兹曼方程。原则上可以求解近独立子系的所有非平衡态动力学行为。假设只有两体碰撞边界条件不重要外力只对单粒子运动起作用，不影响碰撞不同相空间点的f没有关联时间标度远大于分子碰撞时间 空间标度远大于分子尺度二体碰撞 入射 出射 能量守恒动量守恒逆过程也类似 出射 入射 能量守恒动量守恒在处，t时刻由产生的概率为在处增加的粒子数为在t时刻，在处减小的粒子数为注意：这里我们假设t是介观时间，已略去分子碰撞细节。习题：假设，计算出中对的积分第二节 玻尔兹曼方程的简单例子1、平衡态“平衡”（这似乎是充分条件）设即为平衡态的解的形式, 还必须受到限制，如等。思考
4、题：为什么？（因为 ）2、没有碰撞，没有外力解为为t0时粒子数分布例如：t0时，温度为T的气体凝聚于原点。即 归一化常数思考题：为什么取这样的形式？注意：原点为宏观原点，微观粒子还在运动 是Boltzmann分布计算t时刻的粒子数分布因为对粒子系统，单粒子积分限可取为 粒子随时间扩散，经t时间后，处粒子由t0时动量为的粒子而来。第三节 单自由度的Langevin方程和Fokker-Planck方程Langevin方程对固定 这里的 t 通常也是介观时间。 如果没有随机力，平衡态为，即能量取极小值。如果存在随机力，体系会被推离能量极小，处于某种能量较高的平衡态。 例如：布朗运动 花粉在液体中的运
5、动 一维解 如 ，这便是随机行走。由于随机力的存在，Langevin方程有他的复杂性，因为我们必须考虑对随机力平均带来的奇异性。为了简单起见，我们对时间分立化在数值模拟中应用较直观，Z =Langevin方程令 方程的解 是随机变量，在数值模拟中给定初始值还不确定，与随机力有关。也就是说，在t时刻，x 遵从一个分布。物理量的平均值问题：的含义？答：必须对t之前的所有随机力做平均。 又 这里做分步积分时，假设另一方面Fokker-Planck方程显然 思考题：试讨论为平衡态的条件多自由度的Langevin方程是单自由度的直接推广。Langevin方程的适用范围不是很清楚，一般只能求解动力学驰豫过
6、程相关物理问题，以及平衡态问题。第四节 Ising 模型的Monte Carlo模拟Langevin方程既适用于理论研究，也可以应用于数值模拟。Langevin方程既模拟动力学行为，也提供平衡态的正则分布。但是，在平衡态研究方面，Langevin方程有局限性。例如，引起的误差难以控制；动力学变量必须是连续变量等。Monte Carlo 算法给出另一种动力学。一般认为，Monte Carlo动力学和Langevin动力学属于同一普适类，即两者的大范围长时间标度的动力学性质是一致的。Monte Carlo 算法简单有效，但较难进行理论研究。Ising model称之为哈密顿量，代表能量；置于格点上
7、，例如正方格点为外磁场 对 随机状态 有序状态 极小当体系和大热源接触达到“平衡”时，遵从正则分布物理量的平均值 归一化常数 配分函数对Monte Carlo模拟，必须给予概率分布的意义。引入恰当随机过程，产生一系列自旋构形 当足够大时，遵从分布 例格点尺度关键：构造算法各态历经 这是显然的细致平衡 这是充分条件单自旋翻转法每次只试图改变一个自旋的值，称迭代顺序扫描法按规则依次迭代点阵上所有自旋Heat-bath algorithm选定，取注意：这一算法的跃迁概率与的值无关！的能量的能量由于每次只迭代一个自旋，与无关的自旋的能量不必计算。设 各态历经是显然的。细致平衡练习：构造二自旋迭代的Heat-bath算法 Monte Carlo算法给出正则分布，同时，动力学也可以有物理意义，一般认为与Langevin动力学处于同一普适类。在计算机上实现Heat-bath的算法 选定计算 产生随机数，均匀分布如果否则 01 概率