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1、 1 随机信号实验报告信号通过线性与非线性系统的分析小组成员：一目的与背景了解随机信号自身的特性，包括均值（数学期望）、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度等。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 16 页 -2 研究随机信号通过线性系统和非线性系统后的均值、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度有何变化，分析线性系统和非线性系统受随机信号激励后的响应。掌握随机信号的分析方法。二实验原理随机信号的分析方法在信号系统中，我们可以把信号分成两大类确知信号和随机信号。确知信号具有一定的变化规律，因而容易分析，而随机信号无确知的变化规律，需要用统计特性
2、进行分析。我们在这里引入了随机过程的概念。所谓随机过程，就是随机变量的集合，每个随机变量都是随机过程的一个取样序列。随机过程可分为平稳的和非平稳的、遍历的和非遍历的。如果随机信号的统计特性不随时间的推移而变化，则随机信号是平稳的。如果一个平稳的随机过程它的任意一个样本都具有相同的统计特性，则随机过程是遍历的。我们下面讨论的随机过程都认为是平稳的遍历的随机过程，因此，我们可以取随机过程的一个样本来描述随机过程的统计特性。随机过程的统计特性一般采用随机过程的分布函数和概率密度来描述，它们能够对随机过程作完整的描述。但是由于在实践中难以求得，在工程技术中，一般采用描述随机过程的主要平均统计特性的几个
3、函数，包括均值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度等来描述它们。以下算法都是一种估计算法，条件是 N要足够大。随机过程的均值（数学期望）：均值Ex(t)()表示集合平均值或数学期望值。基于随机过程的各态历经性，可用时间间隔 T内的幅值平均值表示，即：10/)()(NtNtxtxE均值表达了信号变化的中心趋势，或称之为直流分量。随机过程的均方值：信号x(t)的均方值 Ex2(t)(2)，或称为平均功率，其表达式为：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 16 页 -3 NtxtxENt/)()(1022均方值表达了信号的强度，其正平方根值，又称为有效值，也是信号的平
4、均能量的一种表达。随机信号的方差：信号x(t)的方差定义为：NtxEtxNt/)()(10222称为均方差或标准差。可以证明，222其中：2描述了信号的波动量；2描述了信号的静态量，方差反映了信号绕均值的波动程度。在已知均值和均方值的前提下，方差就很容易求得了。4 随机过程的自相关函数：信号的相关性是指客观事物变化量之间的相依关系。对于平稳随机过程X(t)和Y(t)在两个不同时刻 t 和t+的起伏值的关联程度，可以用相关函数表示。在离散情况下，信号 x(n)和y(n)的相关函数定义为：101NtxyN/)t(y)t(x),t(NR,t=0,1，2,N-1。但 是，相 关函 数 与x)t(x和y
5、)t(y的 强 度有 关，若x)t(x或y)t(y（x为均值）很小，即使两者的相关程度较强（当时间差 较小时），则相关函数也不会大，所以相关函数并不能准确地表示关联程度的大小。为了消除起伏值对相关函数的影响，需要对相关函数做归一化处理，所以引入了相关系数的概念。平稳随机过程的相关系数由下式定义：yxyxxyx)(R)(r相关系数又称为规一化相关函数，它确切表征了平稳随机过程在两个不同时刻的起伏值之间的线性关联程度。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 16 页 -4 随机过程的频谱：信号频谱分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号)(fx，从而帮助人们从另一
6、个角度来了解信号的特征。时域信号x(t)的傅氏变换为：-j2 f t()()xfx t edt 随机过程的功率谱密度：随机信号的功率普密度是随机信号的各个样本在单位频带内的频谱分量消耗在一欧姆电阻上的平均功率的统计均值，是从频域描述随机信号的平均统计参量，表示X(t)的平均功率在频域上的分布。它只反映随机信号的振幅信息，而没有反映相位信息。随机过程的功率普密度为：2|)(|lim)(2TXExGTiT 随机信号的平均功率就是随机信号的均方值。随机信号功率谱密度的性质：功率谱密度为非负值，即功率谱密度大与等于0。功率谱密度是 的实函数。对于实随机信号来说，功率谱密度是的偶函数，即 Sx()=Sx
7、(-)。功率谱密度可积。功率谱密度曲线下的总面积（即随机信号的全部功率）等于随机信号的均方值。随机信号的功率谱与它的自相关函数构成一对傅里叶变换对。线性系统线性系统的输入 x(t)和输出 y(t)之间的关系可以用常系数线性微分方程来描述：any(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(0)(t)=bmx(m)(t)+bm-1x(m-1)(t)+b1x(1)(t)+b0 x(0)(t)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 16 页 -5 其中a0，a1，an和b0，b1，bm均为常数，则称该系统为线性定常系统，线性定常系统有下面的一些重要性质：
8、叠加性系统对各输入之和的输出等于各单个输入所得的输出之和，即若 x1(t)y1(t)，x2(t)y2(t)则 x1(t)x2(t)y1(t)y2(t)比例性常数倍输入所得的输出等于原输入所得输出的常数倍，即若 x(t)y(t)则 kx(t)ky(t)微分性系统对原输入信号的微分等于原输出信号的微分，即若 x(t)y(t)则 x (t)y (t)积分性当初始条件为零时，系统对原输入信号的积分等于原输出信号的积分，即若 x(t)y(t)则 x(t)dt y(t)dt 频率保持性若系统的输入为某一频率的谐波信号，则系统的稳态输出将为同一频率的谐波信号，即若 x(t)=Acos(t+x)。则 y(t)
9、=Bcos(t+y)当输入离散信号为双侧平稳随机信号时，信号经过线性系统后的统计特性：输出过程的均值为：)()()()()(0tmthdtmhtmxxy其中ym是信号经线性系统后的均值，xm是输入信号的均值。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 16 页 -6 输出过程的自相关函数为)(*)()(*)(*)()(mhmRmhmhmRmRxyxy线性系统输出的自相关是输入的自相关同系统冲击响应的自相关的卷积。输出过程的互相关函数为)(*)()(mRmhmRxxy输出信号的均方值（平均功率）为；)()()()(002jkRjhkhnYEkjx输出的均值为常数，输出自相关函数
10、只是 m 的函数。输出信号的功率谱密度：频域分析：)(|)(|)(2xySHS非线性系统在一般电子设备中，除了线性电路之外，通常还包括一些非线性电路，例如检波器、限幅器、鉴频器等。非线性电路具有下述特点：叠加原理已不适用，当信号与噪声共同通过非线性电路时，不能像线性电路那样将它们分开研究。会发生频谱变换，产生出输入电路中不含有的新频谱分量，例如输入信号的各次谐波。四实验设计与实现1.白噪声的研究输入信号x=sin(2000 错误！未找到引用源。t)+sin(4000 错误！未找到引用源。t)+sin(6000错误！未找到引用源。t)+n(t)；通过 matlab，得出它的时域和频谱波形如下图：
11、时域波形名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 16 页 -7 频域波形从中提取出高斯白噪声，求出它的时域，频谱和功率谱密度波形：时域波形频谱功率谱可以求的白噪声的均值为0.00059，均方值为0.0104，方差为0.0104 因为高斯白噪声是一个正态分布，所以可以求出其概率密度分布图：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 16 页 -8 可以求得高斯白噪声的自相关函数如下2.信号通过线性滤波器输入信号为 x=sin(2000错误！未找到引用源。t)+sin(4000错误！未找到引用源。t)+sin(6000错误！未找到引用源。t)+n(t)所以可
12、知输入信号有三个频率，1000Hz，2000Hz,3000Hz 现在需要设计一个滤波器使信号只保留2000Hz 频率，所以滤波器为一个带通信号，将其设计成一个门函数，门宽度为 1000Hz，中心频率是2000Hz和-2000Hz，滤波器的函数是 h（t）=500*sin(500*pi*t)/(500*pi*t)*cos(4000*pi*t)先得出输入信号的时域和频谱波形为：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 16 页 -9 图4 可以从频谱图中看出，输入信号有三个频率值对输入信号和h（t）卷积得出输出信号y，画出输出信号的时域和频谱波形：可以得出，经过线性滤波器后，输
13、出信号只剩下了2000Hz 的频率，实现了滤波。3.信号通过非线性系统选取平方律器件i=bu2,此处令 b=1 进行仿真输入信号还为2中的 x（t）信号，所以可以参考图4，让信号通过平方律器件i=u2，得到输出信号 y（t），得出输出信号的时域和频谱波形：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 16 页 -10 可以看出，输出信号的时域值全部都大于0，而频谱多了一些其他的频率成分4.信号通过并行线性系统和非线性系统输入信号为：x=sin(2000错误！未找到引用源。t)+sin(4000错误！未找到引用源。t)+n(t)两个线性滤波器分别为h1（t）h2（t）h1（t）是
14、滤波得到1000Hz的信号，h2（t）是滤波得到2000Hz 的信号，所以可以分别设计为h1=500*sin(500*pi*t)/(500*pi*t)*cos(2000*pi*t);h2=500*sin(500*pi*t)/(500*pi*t)*cos(4000*pi*t);对于 h3（t）非线性系统平方律器件，取b=1.首先画出输入信号的时域和频谱波形：可以看出信号有两个频率1000Hz 和2000Hz。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 16 页 -11 然后通过系统后的输出信号为：y=conv(x，h1）+conv(x,h2)+x2得出输出信号的时域和频谱图：
15、x(t)的均值、均方值、方差分别为0.0090,1.1649,1.1659 X1(t)的均值、均方值、方差分别为-0.000018,0.7310,0.7314 X2(t)的均值、均方值、方差分别为-0.000018,0.7133,0.7136 x3(t)的均值、均方值、方差分别为1.1649,3.2194,1.8643 y(t)的均值、均方值、方差分别为0.5827,3.0691,2.7310 由于通过平方律器件后信号振幅相当于取平方，所以输出信号的振幅波形大体与通过平方律器件后的波形。而通过系统h1 后，信号频率只剩1000Hz，通过 h2 后，信号频率只剩2000Hz，二者相加，两个频率又
16、都出现，再加上通过非线性系统，所以输出信号的频谱有多个频率成分。五实验结论随机信号经过线性系统后，不会增加新的频率分量。经过滤波器滤波后，可以从调制信号中得到特定频率范围内的信号，从而提取消息信号。这是提取消息信号的有效方法。随机信号经过非线性系统，不但含有基频，而且产生了谐波分量。平方率检波的输出与输入载波电压幅度的平方成正比（即输入信号的功率），因而，在无线电测量仪表中得到较为广泛的应用。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 16 页 -12 六参考文献随机信号分析与应用（科学出版社）Matlab7.x 程序设计语言（西电出版社）信号与现行系统分析（高等教育出版社
17、）七附件程序 1：输入信号的时域频谱波形及高斯白噪声特性研究%输入原始信号，添加高斯白噪声，生成信号的时域、频域波形，高斯白噪声的时域、频域波形与功率谱密度。%求出高斯白噪声的均值、均方值、方差、概率密度clc;t=0:0.00001:0.01;%1000 个采样点s=sin(2*pi*1000*t)+sin(2*pi*2000*t)+sin(2*pi*3000*t);%原始信号x=awgn(s,20);%加入高斯白噪声，信噪比20dBN=1000;%1000 个采样点y=fft(s,N);%叠加噪声后的信号求频谱mag=abs(y);f=(0:999)*100000/1000;figure(
18、1);subplot(2,1,1);plot(t,x);%时域波形grid on;title(输入信号 );ylabel(幅值（V）);xlabel(时间 );subplot(2,1,2);plot(f,mag);%频域波形ylabel(幅值（V）);grid on;xlabel(频率/Hz);figure(2);subplot(3,1,1);plot(t,x-s);%高斯白噪声时域波形grid on;title(高斯白噪声 );ylabel(幅值（V）);xlabel(时间 );subplot(3,1,2);z=fft(x-s,N);%噪声的傅里叶变换名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心
19、整理-第 12 页，共 16 页 -13 mag=abs(z);plot(f,z);ylabel(幅值（V）);grid on;xlabel(频率/Hz);subplot(3,1,3);plot(f,mag.2);%噪声功率谱密度ylabel(幅值（V）);grid on;xlabel(频率/Hz);m=x-s;ave=mean(m);%噪声均值ave2=mean(m.2);%噪声均方值d=var(m);%噪声方差t=-2:1*10-5:2;fx=1/sqrt(2*pi*d)*exp(-(t-ave).2/2/d);%噪声概率密度figure(3);plot(t,fx);grid on;xla
20、bel(时间 );ylabel(高斯白噪声的概率密度);r,s=xcorr(m);%高斯白噪声的自相关函数figure(4);plot(s*10-5,r);程序 2：输入信号通过线性系统的分析clc;t=0:0.00001:0.01;s=sin(2*pi*1000*t)+sin(2*pi*2000*t)+sin(2*pi*3000*t);%原始信号x=awgn(s,20);%加入高斯白噪声，信噪比20dBh=500*sin(500*pi*t)/(500*pi*t)*cos(4000*pi*t)/pi/120;%中 心 频 率 为2kHz 的带通滤波器N=1000;y=fft(x,N);f=(0
21、:999)*100000/1000;figure(1);subplot(2,1,1);A=conv(x,h);%信号卷积带通滤波器函数plot(f,mag);%滤波后的频谱grid on;名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 16 页 -14 title(滤波后信号 );ylabel(幅值（V）);xlabel(时间 );subplot(2,1,2);t=(0:length(A)-1)*2*10-5;plot(t,A);%滤波后的波形ylabel(幅值/V);grid on;xlabel(t);程序 3：信号通过非线性系统的分析%平方律器件 i=u2clc;t=0:0
22、.00002:0.02;%1000 个采样点s=sin(2*pi*1000*t)+sin(2*pi*2000*t)+sin(2*pi*3000*t);%原始信号x=awgn(s,10);%加入高斯白噪声，信噪比10dBy=x.2;N=1000;f=(0:999)*50000/1000;Y=fft(y,N);figure(1);title(通过非线性系统后的信号频谱与波形);subplot(2,1,1);plot(t,y);xlabel(t);ylabel(幅值（V）);subplot(2,1,2);plot(f,abs(Y);xlabel(频率/Hz);ylabel(幅值（V）);程序 4：信
23、号并行通过线性和非线性系统的分析clc;N=1000;t=0:0.00002:0.02;%1000 个采样点s=sin(2*pi*1000*t)+sin(2*pi*2000*t);%原始信号x=awgn(s,10);%加入高斯白噪声，信噪比10dBh1=500*sin(500*pi*t)/(500*pi*t)*cos(2000*pi*t)/pi/120;h2=500*sin(500*pi*t)/(500*pi*t)*cos(4000*pi*t)/pi/120;X=fft(x,N);mag=abs(X);f=(0:999)*50000/1000;figure(1);subplot(2,1,1);
24、名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 16 页 -15 plot(t,x);grid on;title(输入信号 );ylabel(幅值（V）);xlabel(时间 );subplot(2,1,2);plot(f,mag);%频域波形ylabel(幅值（V）);grid on;xlabel(频率/Hz);t=0:0.00001:0.02;a=conv(h1,x);b=conv(h2,x);c=x.2;d=c,zeros(1,length(a)-length(c);y=a+b+d;figure(2);Y=fft(y,N);mag=abs(Y);subplot(2,1,1
25、);plot(t,y);grid on;title(输出信号 );ylabel(幅值（V）);xlabel(时间 );subplot(2,1,2);plot(f,mag);%频域波形ylabel(幅值（V）);grid on;xlabel(频率/Hz);%测试各种均值、均方值、方差、自相关函数a1=mean(x);a12=mean(x.2);d1=var(x);a2=mean(a);a22=mean(a.2);d2=var(a);a3=mean(b);a32=mean(b.2);d3=var(b);名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 16 页 -16 a4=mean(c);a42=mean(c.2);d4=var(c);a5=mean(y);a52=mean(y.2);d5=var(y);r,s=xcorr(y);%高斯白噪声的自相关函数figure(3);plot(s*10-5,r);名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 16 页 -