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1、贵州大学 2007-2008 学年第二学期考试试卷（标准答案）A 信息安全数学基础注意事项：1.请考生按要求在试卷装订线内填写姓名、学号和年级专业。2.请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。3.不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。4.满分 100 分，考试时间为120 分钟。题号一二三四五六七八总 分统分人得分一、设 a,b 是任意两个不全为零的整数，证明：若m是任一整数，则am,bm=a,bm.(共 10 分)解：22,(3(,)(3(,)(2(,),(2abmam bmam bmabma b mabma ba b m分）分）分）分）=二、设n=pq,其中p,q
2、是素数.证明：如果22=(mod),abn nab nab宎宎则(,)1,(,)1n abn ab（共 10 分）证明：由2222=(mod),|-,|()()abnn a bnab ab得即aa(2分）又npq，则|()(),|()|(),pqab abppabpab因为是素数，于是或aaa(2分）同理，|()|()qabqab或aa(2分）由于,nab nab宎?，所以如果|()paba，则|()qaba，反之亦然.(2分）由|()paba得(,)1n abp(1分）由|()qaba得(,)1n abq(1分）三、求出下列一次同余数的所有解.(共 10 分)32(mod 7)x得分评分人得
3、分评分人得分评分人名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 4 页 -解：(1)求同余式31(mod7)x的解，运用广义欧几里得除法得：5(mod7)x（5 分）（2）求同余式32(mod 7)x的一个特解：10(mod 7)x（4 分）（3）写出同余式32(mod 7)x的全部解：102(mod7),0 xtt（1 分）四、求解同余式组：(共 15 分)1234(mod5)(mod 6)(mod 7)(mod11)xbxbxbxb解：令 m=5.6.7.11=2310 12346.7.11462(15.7.11385(15.6.11330(15.6.7210(1MMMM分
4、）分）分）分）分别求解同余式M1(mod),1,2,3,4iiiMmi得到：12343,1,1,1(4MMMM分）故同余式的解为：12343 462385330210(mod 2310)(2xbbbb分）五、求满足方程23:51(mod7)Eyxx的所有点.(共 10 分)解:对 x=0,1,2,3,4,5,6,分别求出 y.得分评分人得分评分人名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 4 页 -22222220,1(mod7),1,6(mod7)(21,0(mod7),(22,5(mod7),(13(mod7),(11(mod7),1,6(mod7)(25,4(mod7)
5、,2,5(mod7)(16,2(mod7),3,4(mod7)(1xyyxyxyyyyxyyxyy分）y0(mod7)分）无解分）x=3,无解分）x=4,分）分）分）六、判断同余式2137(mod 227)x是否有解.（共 15 分）解:因为 227 是素数，21379012 35253227227227227227227（分）又22271226 2288821(1)=13227（）（分）又25151 2271822522721=11322755（）（）（分）因此，13713227（分）同余式2137(mod 227)x无解.(3分)七、设1m是整数，a 是与 m 互素的整数，假如()mord
6、ast，那么()smordat.（共 10 分）解:由()mordast得：()1(mod)5ststaam（分）由()mordast知，t 是同余式()1(mod)s tam成立的最小正整数，故，()smordat.(5 分)八、证明整数环Z是主理想环.（共 10 分）得分评分人得分评分人得分评分人名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 4 页 -证：设 I 是 Z 中的一个非零理想.当aI时，有00(1)aIaaI及-.(2分)因此，I 中有正整数存在.(1 分)设 d 是 I 中的最小正整数，则()Id(1 分)事实上，对任意aI，存在整数q,r使得(1 分),0adqrrd(1 分)这样，由aI及dqI，得到radqI.(1 分)但rd以及 d 是 I 中的最小正整数.因此，r=0，()adqd.(1 分)从而()Id，(1 分)又显然()dI.故()Id，故 Z 是主理想.(1分)九、设p是素数，则()Pp是整数环Z的素理想.（共 10 分）证：对任意整数a,b，若(),|abPpp ab则.(3 分)于是|.p ap b或(3 分)因此得到，aPbP或.(3 分)因此，()Pp是整数环Z的素理想.(1分)得分评分人名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 4 页 -