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1、1 专题突破提升练(四)直线、圆与圆锥曲线的交汇问题命题点一直线与圆问题题型：选择、填空题难度：中、低命题指数：1.已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y2 2y3，直线l经过点(1,0)且与直线xy10 垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则OAB的面积为()A1 B.2 C2 D22【解析】圆C的圆心为(0，1)，半径为 2，直线l过点(1,0)且斜率为 1，故其方程为xy10，所以圆心到直线l的距离为d|0 11|22，弦长|AB|2r2d222，又坐标原点O到AB的距离为12，所以OAB的面积为1222121.【答案】A 2设直线过点(0，a)，其斜率为 1，且与圆x2y22
2、 相切，则a的值为 _【解析】由题意得直线方程为yxa，由直线与圆相切的性质得，|a|22，a2.【答案】23在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使|MA|2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为_【解析】设点M(x，y)，由|MA|2|MO|知，x2y22x2y2，化简得x2(y1)24，所以点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2 为半径的圆D，又点M在圆C上，故 圆C与 圆D相 交 或 相 切，所 以1|CD|3，而CDa2a2，所 以1a2a23，解得0a125.【答案】0，125命题点二直线与圆锥曲线问题题型：选择、
3、填空、解答题难度：中、高命题指数：1.抛物线yx2上的点到直线4x3y80 距离的最小值是()A.43 B.75 C.85 D3【解析】设与直线 4x3y80 平行且与抛物线相切的直线方程为4x3yt0，与抛物线yx2联立得 3x24xt0，由 1612t0 得t43，两条平行线间的距名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 7 页 -2 离即为所求最小距离，由两平行线的距离公式得d43.【答案】A 2双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，点P在第一象限内且在l1上若l2PF1，l2PF2，则双曲线的离心率是()A.5
4、B2 C.3 D.2【解析】双曲线的左焦点F1(c,0)，右焦点F2(c,0)，渐近线l1：ybax，l2：ybax.因为点P在第一象限内且在l1上，所以设P(x0，y0)，x00.因为l2PF1，l2PF2，所以PF1PF2，即|OP|12|F1F2|c，即x20y20c2.又因为y0bax0，代入得x20bax02c2，解得x0a，y0b，即P(a，b)，所以kPF1bac.l2的斜率为ba，因为l2PF1，所以bac ba 1，即b2a(ac)a2acc2a2，所以c2ac2a20，所以e2e20，解得e2，所以双曲线的离心率e2，故选 B.【答案】B 3抛物线C的顶点在原点，焦点F与双
5、曲线x23y261 的右焦点重合，过点P(2,0)且斜率为 1 的直线l与抛物线C交于A，B两点，则弦AB的中点到抛物线准线的距离为_【解析】设抛物线方程为y22px(p0)，因为焦点F与双曲线的右焦点重合，故F(3,0)，所以p23，p6，抛物线方程为y212x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点P(2,0)且斜率为1 的直线方程为yx2，代入抛物线方程得x216x40，x1x216，弦中点到抛物线准线的距离为x1x2p211.【答案】11 4(2015百校联盟模拟)已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，短轴端点到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B
6、为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OAOB.()求证原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值；()任取以椭圆C的长轴为直径的圆上一点P，求PAB面积的最大值【解】(1)由题意知，eca32，b2c22，又a2b2c2，所以a2，c3，b名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 7 页 -3 1，所以椭圆C的方程为x24y21.(2)()当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x255，此时，原点O到直线AB的距离为255.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由x24y21，ykxm，得(1 4k2)x28kmx4m24
7、0.则 (8km)24(1 4k2)(4m2 4)16(1 4k2m2)0，x1x28km14k2，x1x24m2414k2，则y1y2(kx1m)(kx2m)m24k214k2，由OAOB得kOAkOB1，即y1x1y2x2 1，所以x1x2y1y25m244k214k20，即m245(1k2)，所以原点O到直线AB的距离为|m|1k2255.综上，原点O到直线AB的距离为定值255.()当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x255，结合椭圆C的方程可得|AB|455.当直线AB的斜率存在时，由()可 得|AB|1k2|x1x2|k2x1x224x1x2 4519k216k48k21，
8、当k0时，|AB|451916k281k25，当且仅当k12时等号成立当k0 时，|AB|455.所以|AB|的最大值为5，又点P到直线AB的最大距离为2552.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 7 页 -4 所以SPAB的最大值为125255215.5(2015石家庄一模)已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率e12，点A为椭圆上一点，F1AF260，且SF1AF23.(1)求椭圆C的方程；(2)设动直线l：ykxm与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线x4 相交于点Q.问：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过定点M？若存在，求出点M的坐标；
9、若不存在，说明理由【解】(1)由e12可得a24c2，SF1AF212|AF1|AF2|sin 603，可得|AF1|AF2|4，在F1AF2中，由余弦定理可得|F1A|2|F2A|22|F1A|F2A|cos 60 4c2，又|AF1|AF2|2a，可得a2c23，联立得a24，c21.b23，椭圆C的方程为x24y231.(2)设点P(x0，y0)，由ykxm，x24y231，得(4k23)x28kmx4m2120，由题意知 64k2m24(4k23)(4m212)0，化简得 4k2m230，x04km4k234km，y03m，P4km，3m.由ykxm，x4，得Q(4,4km)，假设存在
10、点M，坐标为(x1,0)，则MP 4kmx1，3m，MQ(4x1,4km)以PQ为直径的圆恒过M点，MPMQ0，即16km4kx1m4x1x2112km30，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 7 页 -5(4x14)kmx214x130 对任意k，m都成立则4x140，x214x130，解得x11，故存在定点M(1,0)符合题意命题点三直线、圆与圆锥曲线问题题型：选择、填空、解答题难度：中、高命题指数：1.若圆x2y24x90 与y轴的两个交点A，B都在双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为()A.y29x2721 B.x29y27
11、21 C.x216y2811 D.y281x2161【解析】解方程组x2y24x90，x0，得x0，y3或x0，y 3，因为圆与y轴的两个交点A，B都在双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，所以A(0，3)，B(0,3)，a3,2c18，b272，即双曲线方程为y29x2721.【答案】A 2直线 3x4y40 与抛物线x24y和圆x2(y1)21 从左到右的交点依次为A，B，C，D，则ABCD的值为 _【解析】由3x4y40，x24y，得x23x40，所以xA 1，xD4，所以yA14，yD4，直线 3x4y40 恰过抛物线的焦点F(0,1)，所以AFyA154，DFyD15，A
12、BCDAF1DF1116.【答案】1163过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点F作圆x2y2a24的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P.若E为PF的中点，则双曲线的离心率为_【解析】E为PF的中点，OE12(OFOP)，令右焦点为F2，则O为FF2的中点，则PF22OEa，E为切点，OEPF，PF2PF，PFPF22a，PFPF22a3a，在 RtPFF2中，PF2PF22FF22，即 9a2a24c2，离心率e102.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 7 页 -6【答案】1024已知椭圆E：x2a2y2b21(ab0)，F1(c,0)，F2(c
13、,0)为椭圆的两个焦点，M为椭圆上任意一点，且|MF1|，|F1F2|，|MF2|构成等差数列，点F2(c,0)到直线l：xa2c的距离为3.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OAOB？若存在，写出该圆的方程；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下，求证：1|OA|21|OB|2为定值【解】(1)由题意知，2|F1F2|MF1|MF2|，即 22c2a，得a2c，e12.又由a2cc3，解得c1，a2，b3.椭圆E的方程为x24y231.(2)假设存在以原点为圆心，r为半径的圆满足条件若圆的切线的斜率存在，并设其方程为
14、ykxm，则r|m|k21，r2m2k21.由x24y231，ykxm，消去y，整理得(3 4k2)x28kmx4(m23)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x28km34k2，x1x2m234k2.又OAOB，x1x2y1y20，4(1k2)(m23)8k2m23m24k2m20，化简得m2127(k21)，r2127，所求圆的方程为x2y2127.若直线AB的斜率不存在，则A(x1，y1)，B(x1，y1)由OAOB0，得x21y210，x21y21，代入x214y2131，得x21127.此时仍有r2|x21|127.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 7 页 -7 综上，总存在以原点为圆心的圆：x2y2127满足题设条件(3)证明：点A在椭圆上，故设A(|OA|cos，|OA|sin)，代入椭圆方程，得1|OA|2cos24sin23.又由于OAOB，可设B|OB|cos2，|OB|sin2，同理，得1|OB|2sin24cos23.1|OA|21|OB|2sin2cos24sin2cos231413712为定值名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 7 页 -