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1、三角函数教学教案资料三角函数 一、周期性 周期函数：函数f(x)，在x?R上，f(x+T)=f(x)，则函数f(x)为周期函数。 T为周期 最小正周期：T大于0的最小正数。 例1：若f(x)是R上周期是5的奇函数，且满足f(x)=1，f(2)=2，则f(3)-f(4)=-1 例2：已知函数f(x)定义域R，f(x)为奇函数且满足f(-x)=f(2+x)，则方程f(x)=0在区间-4，4上的解最少有几个？ T=4，5个 二、角的推广 1. 角的定义：一条射线OA原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角。其中射线OA叫角的始边，射线OB叫角的终边，O叫角的顶点。 2.
2、 正角：按逆时针方向旋转所形成的角； 负角：按顺时针方向旋转所形成的角； 零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。 3. 象限角：角?的顶点及原点重合，角的始边及x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称?为第几象限角。 第一象限角的集合为：?k?360?k?360?90?,k? 第二象限角的集合为：第三象限角的集合为：1 ? 第四象限角的集合为：4. 轴上角：角?的顶点及原点重合，角的始边及x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称?为第几象限角。 终边在x轴正半轴上的角的集合为：终边在x轴负半轴上的角的集合为：终边在x轴上的角的集合为：?k?180?,k? 终边在y轴正半
3、轴上的角的集合为：终边在y轴负半轴上的角的集合为：终边在y轴上的角的集合为：终边在坐标轴上的角的集合为：例1：如图，终边落在OA位置时的角的集合是_； 终边落在OB位置，且在 内的角的集合是_ ； ?终边落在阴影部分的角的集合是_。 例2：若?是第二象限角，则2?，?分别是第几象限的角？ 2三、弧度制 1. 角?的弧度数的绝对值 ?l； r2. 若扇形的圆心角为?为弧度制?，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则l?r?，C?2r?l，11S?lr?r2。 222 例1：已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的圆心角是1弧度，求该扇形的面积？2 例2：一扇形的周长为20，当扇形的圆心角为多少
4、弧度时，扇形的面积最大？并求出此面积？ 2，25 例3： 在扇形AOB中，AOB=900，弧AB长为l，求此2扇形内切圆的面积？ r?2(2?1)?l，r?12?82?l2 例4：圆周上点A按逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A在1分钟转过，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来位置，求？45?或? 77例5：在时钟上，自零时开始到分针及时针再一次重合，求分针所转过的弧度？24? 11四、三角函数 1. 在直角坐标系中，设?是一个任意大小的角，?的终边上任意一点?的坐标是?x,y?，它及原点的距离是rr?x2?y2?0，则： sin?yxy，cos?，tan?x?0? rrx3 ? 2. 在单位
5、圆中，三角函数线：正弦线sin?，余弦线cos?，正切线tan?。 3. 三角函数各象限的符号： 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sinxcosxtanx4. 特殊角的三角函数值： 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600 SinxCosxtanx例1：已知角的终边经过点P(2,?3)，求的三角函数值？ 例2：已知角的终边过点(a,2a)(a?0)，求的三角函数值？a0时： a例3：sin(-116?)+cos125?sin3?12 4 例4：求下列函数的定义域： 1. y=lgsin2x+9-x22. y=lg(3-4sin2x) 例
6、5：已知终边上一点p，且cos= 10x，求sin? 10?例6：已知x?(0,)，试比较sinx，x和tanx的大小？sinx2五、诱导公式 ?1?sin?2k?sin?，cos?2k?cos?，tan?2k?tan?k? ?2?sin?sin?，cos?cos?，tan?tan? ?3?sin?sin?，cos?cos?，tan?tan? ?4?sin?sin?，cos?cos?，tan?tan? ?，5sin?cos?cos?sin?6sin?cos?cos?sin? ?2?2?2?2?利用已知角和未知角之间的关系： ?5?2?)，sin(?)？ -m，m 例1：已知cos(?)?m，求
7、cos(663例2：函数f(x)=asin(?x?)+bcos(?x?)，已知f(2011)=1，求f(2012)? -1 5 ?3例3：已知f(x?)?sin2x，则f()=先求f(x)， ?622 例4：f(x)=asinx+bx+c，选取a,b,c一组值计算f(1)和f(-1)，所得出的结果一定不可能的是 D A. 4和6 B. 3和1 C. 2和4D. 1和2例5：在ABC中，sinA?B?CA2=sin-B?C2，判断ABC的形状？公式：sin(n?)?(?1)nsin?；cos(n?)?(?1)ncos?(n?Z) 例6：设k?Z，化简sin(k?)?cos(k?1)?sin(k?
8、1)?cos(k?)-1 6 六、正弦、余弦、正切函数 函数 定义域 值域 单调区间 对称中心 对称轴 y=sinx R?1,1 y=cosx R?1,1 y=tanx ?|?2?k?,k?ZR 三角函数作图方法：五点作图法 求三角函数定义域 例1：求函数y?sinx?25?x2的定义域？求三角函数值域 例2：求函数y?sin2x?sinx?1的值域？例3：求函数y?sinx?2sinx?1的值域？ 例4：求函数y?2sinx?2cosx?3的值域？ 含参数的三角函数问题： 例5：已知函数y?sin2x?sinx?a，x?R。 当f(x)=0有实数解时，求a的取值范围？若1?f(x)?174，
9、求a的取值范围？ 奇偶性 0,32 -14,2 3,4 7 53?3例6：是否存在实数a，使得y?sin2x?acosx?a?在0,上的最大值是1？822 单调性： 例7：画出y?2sin(2x?3)的函数图像，求函数的单调增区间？例8：已知函数f(x)?log?22sin(2x?3)。 求函数的定义域？求满足f(x)=0的x取值范围？求函数的单调递减区间？对称性问题： 例：求函数y?sin(2x?3)的对称轴和对称中心？ 2 x?k?724?或x?k?1324? k?5?12,k?23?x?k2?12， 8 七、三角函数公式 1. 同角三角函数公式： ?1?sin2?cos2?1； ?2?s
10、in?tan?。 cos?例：已知sin? 12，并且?是第二象限角，求cos?,tan?,cot?？ 134已知cos?，求sin?,tan?？ 5 sin+cos, sin-cos, sin?cos三者之间的关系： 1例1：已知sin+cos=，?(0,?)，求：sin-cos，sin?cos？ 5 例2：化简1-2sin4?cos4齐次式弦化切： 当分子，分母都含有关于sin,cos的n次方相同的式子，分子、分母此时同时除以cos的n次方，从而得到关于tan的式子： asinn?bcosn?atann?b= csinn?dcosn?ctann?d例1：已知tan=2,求： 12sin2?
11、3cos2?224sin?3sin?cos?5cos? 22sin?cos?4sin?9cos? 9 例2：已知f(tan?)? 1，求f(x)？ sin2?cos2?2. 两角和及差的正弦、余弦和正切公式： cos?cos?cos?sin?sin?； cos?cos?cos?sin?sin?； sin?sin?cos?cos?sin?；sin?sin?cos?cos?sin?； tan?tan?tan?tan?tan?tan? 1?tan?tan?1?tan?tan?1 2例1：求sin163o?sin223o?sin253o?sin313o的值？例2：已知、都是锐角，sin=113，cos
12、=，则cos= 222辅助角公式：asinx+bcosx=a2?b2sin(x?)。 对于形如y=asinx+bcosx的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx?a2?b2(sinxaa2?b2ba2?b2aa?b22?cosxba?b22)，于上式中的aa?b22及ba?b22的平方和为1，故可记=cos，=sin，则y?a2?b2(sinxcos?cosxsin?)?a2?b2sin(x?)。 此我们得到结论：asinx+bcosx=a2?b2sin(x?)，其中12aa?b22?cos?,ba?b22?sin?来确定。 例1：已知函数y?cos2?3sinxcosx?1,x?R
13、。该函数的图象可y?sinx(x?R)的图象经过怎样的平2移和伸缩变换得到？ 1?5sin2(x?)? 26410 例2：已知函数f(x)=?3sin2x+sinxcosx。设，f(3?1)=?，求sin的值。 242f(x)=sin(2x?)? 例3：已知函数f(x)?3sinxx?cos。 22?331?35， 28求f(x)的对称中心、对称轴、最小正周期、递增区间？ 当x?0,?时，求f(x)的值域？ 1,23. 二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin2?2sin?cos?； cos2?costan2?2?sin2?2cos2?1?1?2sin2?； 2tan? 21?tan?sin23
14、5o?12 ?1 2sin20o例1：化简 例2：已知是第二象限角，化简1?sin?1?sin?？?上的最大值为6。 2求m?3 ?作f(x)关于y轴对称函数f1(x)，再把f1(x)向右平移个单位得到f2(x)，求f2(x)的递减区间？ 4?7k?,k? 1212例3；若函数f(x)?3sin2x?2cos2x?m在区间0，11 例2：已知函数f(x)=?3sin2x+sinxcosx。设，f(3?1)=?，求sin的值。 242f(x)=sin(2x?)? 例3：已知函数f(x)?3sinxx?cos。 22?331?35， 28求f(x)的对称中心、对称轴、最小正周期、递增区间？ 当x?0,?时，求f(x)的值域？ 1,23. 二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin2?2sin?cos?； cos2?costan2?2?sin2?2cos2?1?1?2sin2?； 2tan? 21?tan?sin235o?12 ?1 2sin20o例1：化简 例2：已知是第二象限角，化简1?sin?1?sin?？?上的最大值为6。 2求m?3 ?作f(x)关于y轴对称函数f1(x)，再把f1(x)向右平移个单位得到f2(x)，求f2(x)的递减区间？ 4?7k?,k? 1212例3；若函数f(x)?3sin2x?2cos2x?m在区间0，11 第 3 页