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1、关于三角函数模型的简单应用第1页，讲稿共28张，创作于星期一问题提出问题提出 1.1.函数函数 的最小正周期是的最小正周期是 ，且，且 ，能否，能否确定函数确定函数f(x)f(x)的图象和性质？的图象和性质？()2sin(),(0,)2f xxxR其中(0)3f2.2.三角函数的应用十分广泛，三角函数的应用十分广泛，对于与角有对于与角有关的实际问题，我们可以建立一个三角函数关的实际问题，我们可以建立一个三角函数，通过研究其图象和性质或进行定量分析，通过研究其图象和性质或进行定量分析，就能解决相应问题就能解决相应问题.这是一种数学思想，需这是一种数学思想，需要结合具体问题的研究才能领会和掌握要结
2、合具体问题的研究才能领会和掌握.第2页，讲稿共28张，创作于星期一第3页，讲稿共28张，创作于星期一学点一：建立三角函数模型求临界值学点一：建立三角函数模型求临界值【背景材料背景材料】如图，设地球表面某地正午太如图，设地球表面某地正午太阳高度角为阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值为该地的纬度值.当地夏半年当地夏半年取正值，冬半取正值，冬半年年取负值取负值.如果在北京地区（纬度数约为如果在北京地区（纬度数约为北纬北纬4040）的一幢高为）的一幢高为h h0 0的楼房北的楼房北面盖一新楼，要使新面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮
3、年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应挡，两楼的距离不应小于多少？小于多少？太阳光太阳光-第4页，讲稿共28张，创作于星期一思考思考1 1：图中图中、这三个角这三个角之间的关系是什之间的关系是什么？么？=90 .思考思考2 2：当太阳高度角为当太阳高度角为时，设高为时，设高为h h0 0的楼房在地面上的投影长为的楼房在地面上的投影长为h h，那么，那么、h h0 0、h h三者满足什么关系？三者满足什么关系？h=h0 tan.太阳光太阳光-第5页，讲稿共28张，创作于星期一思考思考3 3：根据地理知识，北京地区一年中根据地理知识，北京地区一年中,正午太阳直射什么纬度位置时正午太阳直射什么纬度位置
4、时,物体的影物体的影子最短或影子最长？子最短或影子最长？太阳直射北回归线时物体的影子最短太阳直射北回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长，直射南回归线时物体的影子最长.第6页，讲稿共28张，创作于星期一思考思考4 4：如图，如图，A A、B B、C C分别为太阳直射北回分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点影点.要要使新楼一层正午使新楼一层正午的太阳全年不被的太阳全年不被前面的楼房遮挡，前面的楼房遮挡，两楼的临界距离两楼的临界距离应是图中哪两点应是图中哪两点之间的距离？之间的距离？-2326 02326 40MACBh0
5、第7页，讲稿共28张，创作于星期一思考思考5 5：右图中右图中C C的度数是多少？的度数是多少？MCMC的长度如何计算？的长度如何计算？思考思考6 6：综上分析，要使新楼一层正午的太综上分析，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？应小于多少？-2326 02326 40MACBh000002tantan26 34hhMChC第8页，讲稿共28张，创作于星期一 某市的纬度是北纬某市的纬度是北纬21213434，小王想在某住，小王想在某住宅小区买房，该小区的楼高宅小区买房，该小区的楼高7 7层，每层层，每层3 3米，楼与楼之间米
6、，楼与楼之间相距相距1515米，要使所买楼房米，要使所买楼房在一年四季正午的太阳不在一年四季正午的太阳不被前面的楼房遮挡，最低被前面的楼房遮挡，最低应该选择第几层的房？应该选择第几层的房？15156三楼三楼21第9页，讲稿共28张，创作于星期一学点二学点二 应用数学模型解决物理学问题应用数学模型解决物理学问题游乐场中的摩天轮匀速旋转，其中心游乐场中的摩天轮匀速旋转，其中心O距离距离地面地面40.5m，半径，半径40m.若从最低点处登上摩天轮若从最低点处登上摩天轮，从你登上摩天轮开始计时，那么你与地面的距，从你登上摩天轮开始计时，那么你与地面的距离离h将随时间将随时间t变化，已知变化，已知5mi
7、n后到达最高点后到达最高点.（1）求出）求出h与与t之间的之间的函数关系式；函数关系式；（2）当你第）当你第1次距离地面次距离地面 20.5m时，用了多少时间？时，用了多少时间？第10页，讲稿共28张，创作于星期一【分析分析】经过经过tmin后，后，P点的位置发生变化，设到点的位置发生变化，设到P1点点，则则OPP1中，中，h与与t关系可建立关系可建立.【解析解析】（1）如图，设经过）如图，设经过tmin后由后由P旋转到旋转到P1，则，则 P1OP=t.由图可知，由图可知，h=P1M=ON-OQ=40.5-OP1cosP1OP,即即h=40.5-40cos =40sin（）+40.5.所以所以
8、h与与t之间的函数关系式为之间的函数关系式为h=40sin（）+40.5.（2）由）由h=40sin（）+40.5=20.5，得，得Sin（）=,解得解得 =,即即t=min.所以当你第所以当你第1次距离地面次距离地面20.5m时，用了时，用了 min.55t25t25t25t2125t6353525t第11页，讲稿共28张，创作于星期一如图所示，单摆从某点给一个作用力后开始来回摆动，如图所示，单摆从某点给一个作用力后开始来回摆动，离开平衡位置离开平衡位置O的距离的距离s厘米和时间厘米和时间t秒的函数关系为秒的函数关系为s=6sin（2t+）（1）单摆摆动）单摆摆动5秒时，离开平衡位置秒时，离
9、开平衡位置 多少厘米？多少厘米？（2）单摆摆动时，从最右边到最左）单摆摆动时，从最右边到最左 边的距离为多少厘米？边的距离为多少厘米？（3）单摆来回摆动）单摆来回摆动10次所需的时间次所需的时间 为多少秒？为多少秒？6第12页，讲稿共28张，创作于星期一（1）将将t=5代入已知函数式，则代入已知函数式，则s=6sin(25+)=6sin =3.所以单摆摆动所以单摆摆动5秒时，离开平衡位置秒时，离开平衡位置3厘米厘米.（2）单摆摆动时，从最右边到最左边的距离为单摆摆动时，从最右边到最左边的距离为2A,即即12厘米厘米.（3）由由T=,所以单摆来回摆动所以单摆来回摆动10次所需的次所需的时间为时间
10、为10秒秒.661222第13页，讲稿共28张，创作于星期一 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.时时 刻刻水深水深/m时时 刻刻水深水深/m时时 刻刻水深水深/m0:005.09:002.518:005.03:007.512:005.021:002.56:005.
11、015:007.524:005.0学点三学点三 应用三角函数模型解决气象等问题应用三角函数模型解决气象等问题第14页，讲稿共28张，创作于星期一 选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似值；的函数关系，并给出在整点时的水深的近似值；一条货船的吃水深度一条货船的吃水深度(船底与水面的距离船底与水面的距离)为为4m，安全条，安全条例规定至少要有例规定至少要有1.5m的安全间隙的安全间隙(船底与海底的距离船底与海底的距离)，该船，该船何时能进入港口？何时能进入港口？若船的吃水深度为若船的吃水深度为4m，安全间隙
12、为，安全间隙为1.5m，该船在，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时开始卸货，吃水深度以每小时0.3m的速度减少，那么该的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？第15页，讲稿共28张，创作于星期一解解:（1）以时间为横坐标，）以时间为横坐标，水深为纵坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图，根在直角坐标系中画出散点图，根据图象，可以考虑用函数据图象，可以考虑用函数来刻画水深与时间之间的对应关系来刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出：从数据和图象可以得出：sin()yAxh第16页，讲稿共28张，创作于星
13、期一A=2.5,h=5,T=12,=0;由由 ，得，得2 2 T T=1 12 2 =.6 6所以，这个港口的水深与时间的关系可以近似所以，这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为：描述为：y y=2 2.5 5 s si in nx x+5 56 6由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：第17页，讲稿共28张，创作于星期一（2 2）货船需要的安全水深为）货船需要的安全水深为 4+1.5=5.54+1.5=5.5（米），（米），所以当所以当y5.5y5.5时就可以进港时就可以进港.令令化简得化简得 s si in nx x=0 0.2 26 6 2
14、.5sinx+5=5.52.5sinx+5=5.56 6第18页，讲稿共28张，创作于星期一由计算器计算可得由计算器计算可得 x x 0 0.2 20 01 14 4,或或 -x x 0 0.2 20 01 14 46 66 60.3848,5.6152ABxx0,24x因为因为 ，所以由函数周期性易得，所以由函数周期性易得12 0.3848 12.3848,12 5.6152 17.6152.CDxx解得解得因此，货船可以在凌晨因此，货船可以在凌晨零时零时30分左右进港，早晨分左右进港，早晨5时时30分左右出港；或在中午分左右出港；或在中午12时时30分左右进港，下午分左右进港，下午17时时
15、30分左右出港，每次可以在港口停留分左右出港，每次可以在港口停留5小时左右。小时左右。第19页，讲稿共28张，创作于星期一（3）设在时刻）设在时刻x船舶的安全水船舶的安全水深为深为y，那么，那么y=5.5-0.3(x-2)(x22),在同一坐标系内作出这在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在两个函数的图象，可以看到在6时到时到7时之间两个函数图象有时之间两个函数图象有一个交点一个交点.第20页，讲稿共28张，创作于星期一 通过计算可得在通过计算可得在6时的水深约为时的水深约为5米，此时米，此时船舶的安全水深约为船舶的安全水深约为4.3米；米；6.5时的水深约为时的水深约为4.2米，此时
16、船舶的安全水深约为米，此时船舶的安全水深约为4.1米；米；7时时的水深约为的水深约为3.8米，而船舶的安全水深约为米，而船舶的安全水深约为4米，因此为了安全，船舶最好在米，因此为了安全，船舶最好在6.5时之前停时之前停止卸货，将船舶驶向较深的水域。止卸货，将船舶驶向较深的水域。第21页，讲稿共28张，创作于星期一日期日期1月月1日日2月月28日日3月月21日日4月月27日日5月月6日日6月月21日日8月月13日日9月月20日日10月月25日日12月月21日日日期位日期位置序号置序号x15980117126172225263298355白昼时白昼时间间y(小小时时)5.610.2 12.4 16
17、.4 17.3 19.4 16.4 12.48.55.4(1)以日期在以日期在1年年365天中的位置序号为横坐标，描出这些数天中的位置序号为横坐标，描出这些数据的散点图；据的散点图；(2)确定一个满足这些数据的形如确定一个满足这些数据的形如yAcos(x)t的函数；的函数；(3)用用(2)中的函数模型估计该地中的函数模型估计该地7月月3日的白昼时间日的白昼时间第22页，讲稿共28张，创作于星期一【解】【解】(1)散点图如图所示：散点图如图所示：日期日期1月月1日日2月月28日日3月月21日日4月月27日日5月月6日日6月月21日日8月月13日日9月月20日日10月月25日日12月月21日日日期
18、位日期位置序号置序号x15980117126172225263298355白昼时白昼时间间y(小小时时)5.610.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.48.55.4第23页，讲稿共28张，创作于星期一第24页，讲稿共28张，创作于星期一第25页，讲稿共28张，创作于星期一解决实际问题的步聚解决实际问题的步聚:实际问题实际问题读懂问题读懂问题抽象慨括抽象慨括数学建模数学建模推理推理演算演算数学模型的解数学模型的解还原说明还原说明实际问题的解实际问题的解读懂概念丶字母读懂概念丶字母读出相关制约读出相关制约.在抽象、简化、明确变量在抽象、简化、明确变量和参数的基础上建立一个
19、和参数的基础上建立一个明确的数学关系明确的数学关系.审题审题 关键关键课堂小结课堂小结:第26页，讲稿共28张，创作于星期一三角函数应用问题研究模式有哪些？三角函数应用问题研究模式有哪些？在现实生活中，许多变化的现象都具有周期性，因此，可以用在现实生活中，许多变化的现象都具有周期性，因此，可以用三角函数模型来描述三角函数模型来描述.如：气象方面有温度的变化，天文学方面如：气象方面有温度的变化，天文学方面有白昼时间的变化，物理学方面有各种各样的振动波，生理方有白昼时间的变化，物理学方面有各种各样的振动波，生理方面有人的情绪、智力、体力等面有人的情绪、智力、体力等.研究这些应用问题，主要有以下研究
20、这些应用问题，主要有以下三种模式：三种模式：一一.是给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，是给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；结合三角函数的性质，解决一些实际问题；二二.是给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型是给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题；，再解决其他问题；三三.是搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通是搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决相应的实际问题一步用函数模型来解决相应的实际问题.第27页，讲稿共28张，创作于星期一感谢大家观看感谢大家观看第28页，讲稿共28张，创作于星期一