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1、关于等差数列的通项公式上课第一页，讲稿共三十一页哦一般地，如果一个数列 a a1 1,a,a2 2,a,a3 3，a an n 从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d，a a2 2 a a1 1=a a3 3-a-a2 2=a=an n-a-an-1 n-1=d=d 那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等差数列的公差。知识回顾知识回顾an+1-an=d(nN*)第二页，讲稿共三十一页哦通通 项项 公公 式式 的的 推推 导导1 1（归纳猜想）（归纳猜想）设一个等差数列设一个等差数列 an n 的首项是的首项是a1 1,公差是公差是d,d,则有：则有：a2-a1=d,a3-a2=d
2、,a4-a3=d,所以有：所以有：所以等差数列的通项公式是：所以等差数列的通项公式是：an=a1+(n-1)d（nN*）问问an=?=?通过观察：通过观察：a2，a3，a4都可以都可以用用a1与与d 表示出来；表示出来；a1与与d的系数的系数有什么特点？有什么特点？a1 1、an n、n、d知三求知三求一一a2=a1+d,a3=a1+2d,a4=a1+3d,an=a1+(n-1)da2=a1+d,a3=a2+d =(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d =(a1+2d)+d=a1+3d第三页，讲稿共三十一页哦21aad32aad43aad12nnaad1nnaad叠加得叠加得1(1)naa
3、nd等差数列的通项公式推导等差数列的通项公式推导2（叠加）（叠加）dnaan)1(1第四页，讲稿共三十一页哦例例1.在等差数列在等差数列an中中,已知已知a3=10,a9=28,求求a12。推广：推广：等差数列等差数列an中中，am,an(nm)等差数列的通项公式一般形式等差数列的通项公式一般形式:an=am+(nm)d.解：由题意得解：由题意得a1+2d=10a1+8d=28所以所以a12=4+(12-1)3=37注注:a12=a1+11d=+(12-3)d=+(12-3)d =+(12-9)d=+(12-9)d解得：解得：a1=4 d=3练一练练一练：已知：已知a5=11,a8=5,求等差
4、数列求等差数列an的通项公式的通项公式.第五页，讲稿共三十一页哦练习练习1 1、填空题：、填空题：(1)(1)已知等差数列已知等差数列3 3，7 7，1111，则，则a11=(2)(2)已知等差数列已知等差数列1111，6 6，1 1，则，则an =(3)(3)已知等差数列已知等差数列1010，8 8，6 6，中，中，-10是第（是第（）项）项43-5n+1611第六页，讲稿共三十一页哦练习练习2.已知等差数列已知等差数列an的通项公式为的通项公式为an=2n 1.求首项求首项a1和公差和公差d.变式引申变式引申:如果一个数列如果一个数列an的通项公式的通项公式an=kn+d,其中其中k,b都
5、是常数都是常数,那么这个数列一定是等差数列吗那么这个数列一定是等差数列吗?语言描述这种现象语言描述这种现象想一想！想一想！第七页，讲稿共三十一页哦性质一、性质一、思考：思考：1.若在若在a,b中插入一个数中插入一个数A，使，使a，A，b成成等差数列，那么等差数列，那么A应该满足什么条件？应该满足什么条件？2baAbaAbAa的等差中项且，为则为等差，2.在在-1与与9之间顺次插入之间顺次插入a，b，c三个数，使这五个三个数，使这五个数成等差数列，求插入的三个数和等差数列的公数成等差数列，求插入的三个数和等差数列的公差？差？第八页，讲稿共三十一页哦解：a2、b2、c2成等差数列，b212(a2c
6、2)1bc1abac2bbcabac2babbccab2 ac2babbcca12a2c22ac2bac2bac 2ac.1bc，1ca，1ab成等差数列 第九页，讲稿共三十一页哦1a111(1)(1)2(2)mnaaamdandamndmnpq mnpqaaaad na Nqpnm,qpnmqpnmaaaa 在等差数列在等差数列中，中，为公差，若为公差，若且且求证：求证：证明：证明：设首项为设首项为，则，则例例4.111(1)(1)2(2)pqaaapdaqdapqd 等差数列的性质二等差数列的性质二第十页，讲稿共三十一页哦注意：上面的命题的逆命题注意：上面的命题的逆命题 是不一是不一定成立
7、定成立 的；的；上面的命题中的等式上面的命题中的等式两边有两边有 相相 同同 数数 目目 的项，否则不成立。如的项，否则不成立。如a a1 1+a a2 2=a a3 3 成成立吗？立吗？第十一页，讲稿共三十一页哦 N1.,2,2.33 在在等等差差数数列列中中，若若 则则 探探 特特别别地地：若若则则思思考考：若若，则则成成立立吗吗究究点点1 1 等等差差数数列列质质？的的性性nmnpqmnppqnmamnpq m n p qaaaamnpaaapqnmaaaa 第十二页，讲稿共三十一页哦在等差数列在等差数列an中，已知中，已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求求a14及公
8、差及公差d.【解析解析】a a4 4+a+a5 5+a+a6 6+a+a7 7=56=56，所以，所以a a4 4+a+a7 7=28=28，又又a a4 4a a7 7=187=187，联立解得联立解得a a4 4=17=17，a a7 7=11=11，a a4 4=11=11，a a7 7=17=17，或或所以所以d=-2d=-2或或2,2,从而从而a a1414=-3=-3或或31.31.例题分析例题分析第十三页，讲稿共三十一页哦练习练习.在等差数列在等差数列an中中(1)已知已知 a6+a9+a12+a15=20，求，求a1+a20(2）已知）已知 a3+a11=10，求，求 a6+a
9、7+a81 10 01 18 81 13 38 81 1n n求求a a1 10 00 0,a aa aa aa a 为为等等差差数数列列，：已已知知 a a3 3）（第十四页，讲稿共三十一页哦等差数列的单调性等差数列的单调性由等差数列的定义知由等差数列的定义知 an1and，当当 d0 时时，an1an 即即an为递增数列；为递增数列；当当 d0 时，时，an1an 即即an为常数列；为常数列；当当 d0 时，时，an1an 即即an为递减数列为递减数列第十五页，讲稿共三十一页哦第十六页，讲稿共三十一页哦（2）四个数成递增等差数列，中间两个数和为）四个数成递增等差数列，中间两个数和为2，首末
10、两项的积为，首末两项的积为-8，求这四个数。，求这四个数。练习：（练习：（1）三个数成等差数列，和为）三个数成等差数列，和为6，积为，积为-24，求这三个数。，求这三个数。第十七页，讲稿共三十一页哦性质四、性质四、已知一个等差数列的首项为已知一个等差数列的首项为a1，公差为，公差为da1，a2，a3，an（1）将前）将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数列项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？am+1，am+2，an是等差数列是等差数列首项为首项为am+1，公差为，公差为d，项数为，项数为n-m第十八页，讲稿共三十一页
11、哦性质四、性质四、已知一个等差数列的首项为已知一个等差数列的首项为a1，公差为，公差为da1，a2，a3，an（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？如果是，他的首项与公差分别是多少？a1，a3，a5，是等差数列是等差数列首项为首项为a1，公差为，公差为2d取出的是所有偶数项呢？取出的是所有偶数项呢？a2，a4，a6，是等差数列是等差数列首项为首项为a2，公差为，公差为2d第十九页，讲稿共三十一页哦性质四、性质四、已知一个等差数列的首项为已知一个等差数列的首项为a1，公差为，公差为da1，
12、a2，a3，an（3）取出数列中所有项是）取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个数列，是等差数的倍数的各项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？a7，a14，a21，是等差数列是等差数列首项为首项为a7，公差为，公差为7d取出的是所有取出的是所有k倍数的项呢？倍数的项呢？ak，a2k，a3k，是等差数列是等差数列首项为首项为ak，公差为，公差为kd第二十页，讲稿共三十一页哦性质四、性质四、已知一个等差数列的首项为已知一个等差数列的首项为a1，公差为，公差为da1，a2，a3，an（4）数列）数列a1+a2，a3+a4，a5+
13、a6，是等差数列吗？公差是等差数列吗？公差是多少？是多少？a1+a2，a2+a3，a3+a4，是等差数列，公差为是等差数列，公差为2d 数列数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5是是等差数列吗？公差是多少？等差数列吗？公差是多少？a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5是等差数列，是等差数列，公差为公差为3d。第二十一页，讲稿共三十一页哦例：例：963852741aaa,13aaa19,aaa求等差数列中，第二十二页，讲稿共三十一页哦性质五、性质五、1、若数列、若数列an为等差数列，公差为为等差数列，公差为d，则，则kan也为也为等差数列，公差为等差数列，公差为k
14、d。2、若数列、若数列an与与bn都为等差数列，则都为等差数列，则an+bn也为也为等差数列，等差数列，an-bn也为等差数列也为等差数列，pan+qbn也为也为等差数列。等差数列。第二十三页，讲稿共三十一页哦20182018989811nnba,15b,85a,66b,34aba求中，和例：等差数列第二十四页，讲稿共三十一页哦1.1.等差数列等差数列 an 的前三项依次为的前三项依次为 a-6-6，2 2a-5-5，-3-3a+2 2，则，则 a 等于（等于（)A.-1 .-1 B.1 .1 C.-2 .-2 D.2B2.在数列在数列an中中a1=1，an=an+1+4，则，则a10=2(2
15、a-5)=(-3a+2)+(a-6-6)提示提示1:提示：提示：d=an+1an=4-353.在等差数列在等差数列an中中 (1)若若a59=70，a80=112，求，求a101；(2)若若ap=q，aq=p(pq)，求，求ap+qd=2,a101=154d=-1,ap+q=0课堂练习课堂练习第二十五页，讲稿共三十一页哦 13746211,101252,12,4.(3)9418nnadaaaaaa 练习题（）等差数列第项大于，求公差 的范围（）已知等差数列满足求数列的通项公式四个数成等差数列，其中四个数的平方和为，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少，求这四个数。15253533,
16、66,aaa在等差数列中，求的值(4)第二十六页，讲稿共三十一页哦o 例31121,2nnnnnaaaaa已知数列的各项均为正数，且满足a，求第二十七页，讲稿共三十一页哦练习练习已知已知 ，求，求 的值。的值。)(21)(2)1(,2)1(*Nnnfnff)2007(f100523200721)2007(2321)(212)(21)()1(1)(2)1(2fnnfnfnfnfnfnf即的等差数列，公差为是首项为解解:第二十八页，讲稿共三十一页哦小结小结掌握等差数列的通项公式，并能运用公式解决一掌握等差数列的通项公式，并能运用公式解决一些简单的问题些简单的问题an=a1+(n1)d 提高观察、归
17、纳、猜想、推理等数学能力提高观察、归纳、猜想、推理等数学能力第二十九页，讲稿共三十一页哦a amm+a an n=a ap p+a aq q【说明说明】3.3.更一般的情形，更一般的情形，a an n=，d d=1.1.a an n 为等差数列为等差数列 2.2.a a、b b、c c成等差数列成等差数列 a an n+1+1-a an n=d=da an n+1+1=a=an n+d+da an n=a a1 1+(n-n-1)1)d da an n=kn +bkn +b（k k、b b为常数）为常数）a amm+(n n-mm)d dmnaamnb b为为a a、c c 的等差中项的等差中项2cab 2 2b=a+cb=a+c4.4.在等差数列在等差数列 a an n 中，由中，由 m+n=p+q m+n=p+q 等差数列的性质等差数列的性质5.5.在等差数列在等差数列 a an n 中中a a1 1+a an n a a2 2+a an-n-1 1 a a3 3+a an-n-2 2 =第三十页，讲稿共三十一页哦感谢大家观看第三十一页，讲稿共三十一页哦