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1、关关于等差数数列的前项项求和公式第一页，讲稿共十七页哦复习复习1、等差数列的通项公式2、等差数列的性质数列a中m+n=p+q，则am+an=ap+aq若a1为首项，d为公差，则an=a1+(n-1)d zn当p=q时，m+n=2p，则am+an=2ap，称ap为等差中项第二页，讲稿共十七页哦 分析：高斯是如何很快的解出其结果的呢？问题：问题：123100？引入引入首项与末项的和：1+100=101，第2项与倒数第2项的和：2+99=101，第3项与倒数第3项的和：3+98=101，第50项与倒数第50项的和：50+51=101，于是所求的和是：50502100101高斯算法高斯算法第三页，讲稿
2、共十七页哦高斯的问题，可以看成是求等差数列高斯的问题，可以看成是求等差数列 1 1，2 2，3 3，n n，的前的前100100项的和，求项的和，求:1+2+3+4+n=?:1+2+3+4+n=?如果令如果令 Sn=1+2 +3 +.+（n-2）+（n-1）+n颠倒顺序得颠倒顺序得 Sn=n+(n-1)+(n-2)+.+3 +2 +1则则 1nn2Sn21nnSn将两式相加将两式相加 2S 2Sn n=（1+n1+n）+（2+n-12+n-1）+.+.+（n+1n+1）第四页，讲稿共十七页哦推导推导下面对对等差数数列前n项项公式进进行推导导设等差数列设等差数列 a1,a2,a3,它的前它的前n
3、 项和是项和是 Sn=a1+a2+an-1+an (1)若把次序颠倒是若把次序颠倒是 Sn=an+an-1+a2+a1 (2)由由(1)+(2)得得 2Sn=(a1+an）+(a2+an-1）+(a3+an-2)+.由等差数列的性质由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=由由(1)+(2)得得 2Sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+.即即 Sn=n(a1+an)/2 第五页，讲稿共十七页哦如果代入等差数列的通项公式如果代入等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，S Sn n也可也可以用首项以用首项a a1 1和公差和公差d d表示，即表示，即 Sn=
4、na1+n(n-1)d/2 所以，等差数列的前n项求和公式是或2naaSn1nd21nnnaS1n第六页，讲稿共十七页哦例题例题例例1 1 等差数列-10，-6，-2，2，前多少项的和是54？例例2 2 已知一个等差数列an的前10项的和是310，前20项的和是1220.求等差数列的前n项和的公式例例3 3 求集合M=m|m=7n,n是正整数,且m100的元素个数,并求这些元素的和.第七页，讲稿共十七页哦解解：将题中的等差数列记为an，Sn代表该数列的前n项和，则有a1=10,d=6(10)=4设数列的前n项和为54，即Sn=54根据等差数列的前n项求和公式d21nnnaS1n代入Sn=54，
5、a1=10，d=4整理得，n26n27=0解得n1=9,n2=3(舍去)因此，等差数列10,6,2,2，前9项的和是54.第八页，讲稿共十七页哦解解:由题，等差数列的前10项和S10=310，前20项和S20=1220根据等差数列的前n项求和公式得d21nnnaS1n1220d21202020310d21-101010aSaS120110解得 a1=4，d=6因此，等差数列的前n项和的公式是n3nS2n将此结果代入上面的求和公式，得Sn=4n+n(n-1)3=3n2+n第九页，讲稿共十七页哦解解:根据题意，由7n100 得 n1007由于满足它的正整数n共有14个,所以集合M中的元素共有14个
6、.即7,14,21,91,98这是一个等差数列,各项的和是因此，集合M中的元素共有14个,它们的和为735.2)987(1414S=735第十页，讲稿共十七页哦由于 Sn=n(a1+an)/2 整理可得 Sn=d/2n2+(a1-d/2)，其中a1、d均为已知数若令A=d/2,B=a1-d/2，则 S=An2+Bn将等差数列的前将等差数列的前n项和公式写成上项和公式写成上述形式述形式,有利于求其前有利于求其前n项和的极值项和的极值:a10 a10,d0极大值 无 有极小值 有 无nsnnsna10,极小值极小值 a10,d0,S0,S11110,0,则求使则求使a an n00的的n n的最小值的最小值第十四页，讲稿共十七页哦总结总结 1.推导等差数列前推导等差数列前 n项和公式的方法项和公式的方法-倒序相加法倒序相加法2.公式的应用中的数学思想公式的应用中的数学思想.-方程、函数思想方程、函数思想3.公式中五个量公式中五个量a1,d,an,n,sn,已知已知 其中三个量，可以求其余两个其中三个量，可以求其余两个-知三求二知三求二第十五页，讲稿共十七页哦A A组组2 2、4 4、5 5第十六页，讲稿共十七页哦感谢大家观看感谢大家观看第十七页，讲稿共十七页哦