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1、No.1 韶关学院学生数学建模论文集第一期（2002 年 10 月）84 钢管订购和运输的规划模型陈丹妮摘要：本文就天然气管道钢管的订购和运输问题，建立了使订购和运输总费用最小的优化模型.我们把计算分为订货和铁路，公路费用的计算及管道上运输费用的计算两个部分.对第一部分的计算，我们采用了增减约束条件的方法，避免了求解一组多分支规划的繁重的计算.对第二部分的计算，我们综合各种可能情况作出比较，从而使计算简化，并求出了最优的钢管订购和运输计划.对于第二问，我们把每个钢厂的销价及生产上限在一定范围内浮动，观察比较得出钢厂3S钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，钢厂1S钢管的产量的上限的变化对
2、购运计划和总费用的影响最大.在第三问中运用第一问的方法建立模型，同样求出了铁路，公路和管道构成网络时总费用最小的钢管订购和运输计划.一 题的重述要铺设一条1521.AAA的输送天然气的主管道.经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有721,.,SSS.连接钢厂iS（i=1,15）和)15,.,1(jAj的有铁路和公路.沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路.一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产 500 个单位.已知钢厂iS在指定期限内能生产该钢管的最大数量，钢管出厂销价及1 单位钢管的铁路运价和公路运输费.钢管不只是运到点,.,1521AAA而是管道全线.问如何制定一个主管道钢管的订购和运
3、输计划，使总费用最小；哪个钢厂的销价变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对可以计划和总费用的影响最大；如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路，公路和管道构成网络，如何建立相应的模型和如何求解.A13 2 5 810 10 31 20 12 42 70 10 88 10 70 62 70 30 20 20 30 45104 301 750 606 194 205 201 680 480 300 220 210 420 500 600 306195 202 720 690 520 170 690 462 16320 160 110 290 1151100 120
4、0 A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S1S2 S3 S4 S5 S6 S7 图一名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 9 页 -第一期（2002 年 10 月）韶关学院学生数学建模论文集 No.1 85 二 本假设与符号约定1)1km 主管道钢管称为1 单位钢管；2)假设在钢厂iS的订购货量为ix个单位；3)对于图一，铁路和公路相交的车站从左到右分别记为1721,.,ttt；4)对于图二，铁路和公路相交的车站或者铁路和管道相交的车站从左到右分别记为1821,.,ttt；5)假设钢厂iS流经jt站的钢管量为jix,个单位；6)假设jA处
5、的到货量为ja；7)假设 1 单位钢管从钢厂iS运到jA的运价为jik,；8)钢厂iS在指定期限内能生产该钢管的最大数量是iS个单位；9)钢管出厂销价1 单位钢管为iP万元；10)假设铁路运费是整段计算的（从货物上车到下车一次性收费），二不是分段计算；11)沿管道公路的运费计算与其他公路一致，且不考虑流量限制的问题.三 问题的分析从图上可以看出，各钢厂订购的钢管必先经铁路或公路运往主管道与公路的各节点iA上再沿主管道进行运输和铺设.因此，我们可以把运输的总费用分为在非管道（铁路或公路）A13 2 5 80 10 10 31 212 42 70 10 88 10 70 62 70 30 20 2
6、0 3450 104 301 750 606 194 205 201 680 480 300 220 210 420 500 600 30195 202 72690 52170 69462 160 320 160 11290 1150 1100 120A19 130 190 260 100 A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S1S2 S3 S 4 S5 S6 S7 A16 A17 A18 A20(A21)图二名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 9 页 -No.1 韶关学院学生数学建模论文集第一期（2002 年 10 月）86 上的运输
7、费用和主管道上的运输费用两部分来计算.对于非管道上的运输.由于钢厂承担制造钢管后至少生产500 个单位，所以对于每一个钢厂来说，订购量要么为0，要么就大于或等于500 个单位，这就构成一组62个的多分支线性规划问题，计算将非常复杂.但我们可以采用如下办法简化计算：对所有钢厂的产量先不设下限进行求解，若解出来的订购量都符合不小于500 个单位的情况则为可行解，若解出来的订购量中有不为0 的，但小于 500 个单位，则在约束条件中加进这个订购量的下限进行求解，直至得出符合条件的最优解.对于管道上的钢管运输铺设的费用则比较复杂，钢管从一个iA点出发，可以单纯沿管道公路进行运输，也可以一边运输一边铺设
8、，要使运输费最优是类似一次规划的非线性规划问题，由于变量多，计算量大，因此要进行一定的简化.我们现证明一重要结论：当管道上各节点的钢管量等于与节点相连接的两边管道总长度的一半时，管道上钢管的运输费最小.设运价为 y，运量为 x,y 是 x 的函数，并且有1.0dxdyk（其中路程单位为km）.假设一段长为S 的路程，量为x 的钢管从其中一端点出发，y-x 的关系如图所示：y y y kx ks kx k(x-s)0 x s x 0 s x 0 s x sxsxsx运费 g 即是图中阴影部分的面积.当 xs 时，)2(210sxksdyygs，容易看出，当 xs 时，对 g 来求导有：)24(2
9、)1)(222sxkxsxkg，推出2sx为稳定点.在0,s区间上，,41)2(,21)(,21)0(222kssgkssgksg所以当x2s时，费用是最小的，由此方法我们计算出管线上的最小运输费t=61593.275 万元.四 模型的建立和求解1,通过上面的分析，我们首先先令各钢厂订购的钢管运往各节点的铁（公）路运费和订名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 9 页 -第一期（2002 年 10 月）韶关学院学生数学建模论文集 No.1 87 购费最优，然后我们把各钢厂订购的钢管分成17 份分别运往与公路相连的火车站.由于铁路轨道成树状分布，所以这样的最优路线是确定的.
10、通过对图一的分析，我们发现，15141413111098,AAAAAAAA这四段管道路有这样的情况：1 单位钢管从这些管道路之一运过的运费，比从连结该管道路两端点的最短的公（铁）路线运过的运费要高.也就是说，与其将钢管经过这些管道路运输，不如发生“倒运”.因此，这些管道路左右两边的钢管存货应该要满足两边管道铺设的需要，而不应该经这四段管道路进行货物调送.根据前面的假设，我们列出如下以铁（公）路运费和订购费为目标函数的线性规划：17171,71minjiiijijiixpxkfs.t)1).(7,.,2,1(171,ixxijji)2.(0,jiixx712,)3.(ijiax7132,)4.(
11、iiax7143,)5.(iiax7154,)6.(iiax7165,)7.(iiax7177,6,)8.()(iiiaxx7188,)9.(iiax7199,)10.(iiax711010,)11.(iiax711111,)12.(iiax711212,)13.(iiax711313,)14.(iiax711415,14,)15.()(iiiaxx711517,16,)16.()(iiiaxx)17.(236182iia)18.(2130159iia)19.(3521102iia)20.(13501511iia)21.(4251132iia)22.(5001514iia)23.(467114
12、2iia)24.(517171iix)25.(iisx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 9 页 -No.1 韶关学院学生数学建模论文集第一期（2002 年 10 月）88 由于只对ix作非负限制时，计算出7x低于下界 500，所以需另加约束条件)26.(5007x重新求解得：f=1015556,500,740,1331,0,1000,800,8007654321xxxxxxx.这样，我们得到各节点的钢管量，然后一边运输一边铺设这些钢管，求出所需运费为q=366409.05 万元，所以这样的运输方案得到的总费用为m=1381965.05 万元.对于这个方案我们还要进行
13、调整.由上面的讨论我们知道，当管道上各节点的钢管量刚好等于与节点相连接的两边管道总长度的一半时，在管道上的运输费用最小.我们把（151413121110987654321,aaaaaaaaaaaaaaa）(0,254.5,525.5,678,400,199.5,203,440.5,580,390,260,215,315,460,250)作为约束条件加进上述规划中，解得m=13066563 万元，可见这样的运输方案更优.我们可以再考虑把各钢厂的钢管运到各节点后，再通过运输调整到运输最小时分钢量分布.调整的运输费用为151,152jjijiiahz.其中jih,是 1 单位钢管从iA到jA沿管线运
14、输的价格，jia,是从iA到jA沿管线的钢管运输量.因此我们又得到如下规划tzfFmin其中，17171,71jiiijijiixpxkfs.t（加上一规划约束条件中的（1）至（16）及（25）1511,52iia1512,5.202iia1513,5.525iia1514,678iia1515,400iia1516,5.199iia1517,203iia1518,5.440iia1519,580iia15110,390iia15111,260iia15112,215iia名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 9 页 -第一期（2002 年 10 月）韶关学院学生数学建
15、模论文集 No.1 89 15113,315iia15114,460iia15115,250iia用 Maple 软件解得：F=1203697.575,500,890,1181,0,1000,800,8007654321xxxxxxx经过比较，我们认为这个订购和运输的方案是最优的.由此可得详细的订运方案如下：（1）7 个钢厂的订购量分别为500,890,1181,0,1000,800,8007654321xxxxxxx.（2）钢厂1S的钢管分 3 批运输，第一批197 个单位运往5A，第二批 400 个单位运到6A，第三批 203 个单位直接沿公路运到7A.钢厂2S的钢管分两批运输，第一批 3
16、59.5 个单位运往4A，另一批经8t运到8A.钢厂5S的钢管也分两批运输，第一批 420个单位经,78tt456,ttt运到4A，另一批 580 个单位经9t运往9A.钢厂5S的钢管分六批运输，第一批 45 个单位运往3A,第二批 166 个单位运往4A，第三批 61 个单位运往5A，第四批 199.5个单位经6t运到7A，第五批 390 单位运到10A，第六批 260 个单位运往11A.钢厂6S的钢管分三批运输，第一批115 个单位往12A，第二批 315 个单位往13A，第三批 420 个单位直接沿公路运往14A.钢厂7S的钢管全部直接运到15A.2，根据我们建立的模型，保持其它条件不变
17、，令各个钢厂的钢管销价ip上浮或下降5，可得到总费用的变化幅度和运购计划的变化情况，如下表：项目p1 上调 5%最小值1209827 变幅6400（0.53%）x1800 x2800 x31000 x40 x51181 x6890 x7500 下调 5%1197297-6400（0.5%）800 800 1000 0 1181 890 500 P2 上调 5%1209897 6199（0.5%）800 800 1000 0 791 1280 500 下调 5%1197497 6200（5.2%）800 800 1000 0 1181 890 500 P3 上调 5%1211447 7749（6
18、.4%）800 800 1000 0 1181 890 500 下调 5%1195947-7750（6.4%）800 800 1000 0 791 1280 500 P4 上调 5%1203697 0 800 800 1000 0 790 1280 500 下调 5%1203697 0 800 800 1000 0 1181 890 500 P5 上调 5%1208322 4625（3.8%）800 800 1000 0 200 1871 500 下调 5%1208322 4625（3.8%）800 800 1000 0 200 1871 500 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-
19、第 6 页，共 9 页 -No.1 韶关学院学生数学建模论文集第一期（2002 年 10 月）90 P6 上调 5%1210372 6675（5.5%）800 800 1000 0 1181 890 500 下调 5%1210372 6675（5.5%）800 800 1000 0 1181 890 500 P7 上调 5%1207697 4000（3.3%）800 800 1000 0 791 1280 500 下调 5%1199697-4000（3.3%）800 800 1000 0 1181 890 500 从上表比较可得，钢厂iS的钢管销价的变化对总费用及购运计划影响最大.用同样的方法
20、，保持其他条件不变，令各个钢厂钢管产量的上限上浮或下降10%，得出总费用和购运计划的变化情况：项目最小值变幅X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 S1上 调10%1195457-8240(0.69%)880 800 1000 0 1101 890 500 下调 10%1211937 8240(0.68%)720 800 1000 0 1261 890 500 S2上 调10%1200497-3200(0.27%)800 880 1000 0 1101 890 500 下调 10%1206897 3200(0.27%)800 720 1000 0 1261 890 500 S3上 调10%1
21、201197 2500(0.21%)800 800 1100 0 1081 890 500 下调 10%1206197 2500(0.21%)800 800 900 0 1281 890 500 S5上 调10%1203697 0 800 800 1000 0 791 1280 500 下调 10%1203697 0 800 800 1000 0 1181 890 500 S6上 调10%1203697 0 800 800 1000 0 1181 890 500 下调 10%1203697 0 800 800 1000 0 791 1280 500 S7上 调10%1203697 0 800
22、800 1000 0 1181 890 500 下调 10%1203697 0 800 800 1000 0 1181 890 500 同样由上表可得出，钢厂1S的钢管产量的上限的变化对总费用及购运计划的影响最大.3、如图二，要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络.管道运输最优时各个iA的存钢量为50,180,225,65,430,622,250,460,315,215,0,390,0,5.440,203,5.199,400,678,5.525,5.254,0,212019181716151413121110987654321aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
23、L对于212019,AAA这三个兼为火（汽）车中转站的点，我们把它们一分为二看待.以19A为例，一方面看成1219,At的货物由此经过，一方面看成19A，其钢管量为与之相连接的两段管道总长度的一半，并且钢管直接从它运到主管道.根据第一问的做法，先把iA的钢管量预置成L的数量值，这样沿主管道的运输费用就能降到最低，在此基础上对各钢厂的定货量及其分流方式进行调配.然后，使用第一问的方法列名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 9 页 -第一期（2002 年 10 月）韶关学院学生数学建模论文集 No.1 91 出线性规划如下：211,7117171,0,7,.,2,1.min
24、jjiiijiijiiijijixxixxtsxpxkf3712,7121,axaxiiii7154,7143,iiiiaxax7177,6,7165,)(iiiiiaxxax71169,7188,iiiiaxax711711,711010,iiiiaxax711213,711812,iiiiaxax711518,17,711314,)(iiiiiaxxax711919,711416,15,)(iiiiiaxaxx712121,712020,iiiiaxaxiiiisxx715903初次求解结果，50007x，因此我们加入约束条件5007x，再次求解：500,1260,1543,0,1000,
25、800,800,14503577654321xxxxxxxf最小费用475.1518014efm（万元），其中e 是当节点上的钢管量取自中的数值时，仿照问题一中的计算方法所得出的管道上的运输费用，475.67647e万元.五 模型的优缺点分析及其推广名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 9 页 -No.1 韶关学院学生数学建模论文集第一期（2002 年 10 月）92 我们建立的模型具有较强的可行性和可操作性，并且具有相当的实际意义.虽然我们未能对多个分支规划组逐个进行求解从而得出最优解，但我们对模型进行了适当的近似简化处理，减少了计算量和计算难度，最后得出可行解.我们
26、建立模型的方法和思想对其它类似题材也适用，在建筑运输方面适用性较强，并可以推广到社会生活中相关的多个领域中去.对于类似的问题，对模型的决策性因素加以具体对照分析即可.参考文献：1程里文，吴江，张玉林，运筹学模型与方法教程，清华大学出版社，北京，2000 2L.库珀，U.N 勃哈特，L.J 勒布朗（美），运筹学模型概论，上海科学技术出版社，上海，1987 3刘宝碇，赵瑞清，随机规划与模糊规划，清华大学出版社，北京，1998 4李世奇，杜慧琴，Maple 计算机代数系统应用及程序设计，重庆大学出版社，1999.（文章编辑：黄绮玲颜学友）接 83 页Dij S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7
27、A1 0 0 0 0 0 0 0 A2 160.3 205.3 220.3 250.3 245.3 255.3 265.3 A3 140.2 190.2 200.2 235.2 225.2 235.2 245.3 A4 98.6 171.6 181.6 216.6 206.6 216.6 226.6 A5 38 111 121 156 146 156 166 A6 20.5 95.5 105.5 140.5 130.5 140.5 150.5 A7 3.1 88.1 98.1 133.1 123.1 133.1 143.1 A8 21.2 71.2 86.2 116.2 111.2 121.2
28、 131.2 A9 64.2 114.2 48.2 84.2 79.2 84.2 99.2 A10 92 142 82 62 57 57 77 A11 96 146 86 51 33 51 66 A12 106 156 96 61 51 61 71 A13 121.2 171.2 111.2 76.2 71.2 26.2 38.2 A14 128 178 118 83 73 11 26 A15 142 192 132 97 87 28 2 A16 60 110 44 80 75 80 95 A17 95 145 85 50 32 47 65 A18 100 150 90 55 50 33 50 A19 105 155 95 60 50 36 55 A20 115 165 105 70 65 10 32 A21 125 175 115 80 75 0 26(表 2：从厂家 Si 运 1 单位钢管往 Aj 的最小路费)（图 2）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 9 页 -