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1、三年级数学举一反三重叠问题详解【探究必备】日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题，解答重叠问题常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。这个原理叫做包含与排除原理，也叫容斥原理。容斥原理包含以下两条基本计算公式：容斥原理一，如果被计数的对象，被分为A、B 两大类，则：被计数对象的总个数=A 类元素个数+B 类元素个数 同时属于 A 类和 B 类的元素个数。容斥原理二，
2、如果被计数的对象，被分为A、B、C 三大类，则：被计数对象的总个数=A 类元素+B 类元素个数+C 类元素个数 同时属于 A 类和B 类的元素个数 同时属于 A 类和 C 类的元素个数 同时属于 B 类和 C 类的元素个数+同时属于 A、B、C 三类的元素个数。运用容斥原理解答重叠问题应用题的关键是，画出示意图，认真分析已知条件，找出哪些是重复的，重复了几次？题目要求的又是哪一部分？借助示意图进行思考，找到正确的解答方法。【王牌题目】1、三（1）班有 48人，其中订少年报的有32 人，订数学报的有38 人，有 25 人两份报都订，那么：（1）只订少年报而没有订数学报的有多少人？（2）只订数学报
3、而没有订少年报的有多少人？（3）有多少人两种报都没订？【解析】：先画出订报情况示意图，如下图：用长方形的面积表示全班人数；字母A 所在的椭圆表示订少年报的人数32 人；字母 B 所在的椭圆表示订数学报的人数 38 人；字母 C 所在区域即两个椭圆的重叠部分表示同时订了两份报的人数名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 3 页 -三年级数学举一反三25 人；字母 D 所在的空白部分表示两种报都没有的订的人数。（1）用订少年报的总人数 A，减去重叠部分 C,剩下来的就是只订少年报而没有订数学报的人数：32-25=7（人）；（2）同理,(B-C)就是只订数学报而没有订少年报的人
4、数：38-25=13（人）；（3）先求出订报的总人数，即图中所有阴影部分表示的人数，再用班级总人数减去订报总人数，即是两种报都没订的人数D。这题有两种解法。解法一：在（1）、（2）两小题中已求出只订少年报的人数7 人、只订数学报的人数 13 人，即图中纯黑色阴影部分和纯红色阴影表示的人数，中间重叠部分为 25 人，所以订报总人数为：7+25+13=45（人）。所以，两种报都没有订的人数为：48-45=3（人）。解法二：不考虑重叠部分，订数学报和少年报的总人数为：32+38=70（人）。有 25 人两份报都订了，这些人既包含在 32 人之中，又包含在 38 人之中，我们在求和时，这25 人就加了
5、两遍，重复计算了一遍，要去掉多算的一遍。因此，订报总人数为：70-25=45（人）。两种报都没有订的人数就是：48-45=3（人）。2、一次老师给全班同学做两道智力趣题，结果全班10 人两题都对，8 人两题都错，第二道题有 15 人错，问第一道对而第二道错的同学有多少人？【解析】：解答这题要抓住题中的有效条件，避免受无效条件的干扰。因为第二道题有15 人错，全班只有 8 人两题都错，而两题都错的人第二道题肯定错了，所以两题都错的 8 个人包含在前面 15 人之中，从 15人里去掉这 8 个人还剩：15-8=7（人）。去掉两题都错的 8 人，剩下的 7人肯定只错了一道题，他们第二道题错了，第一道
6、题肯定是对的，所以第一道对而第二道错的同学有7 人。3、100 位旅游者中，70 人懂中文，52人懂英语，还有10人两种语言都不懂。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 3 页 -三年级数学举一反三（1）懂中文和英语的一共有多少人？（2）既懂英语又懂中文的有多少人？（3）只懂中文不懂英语的有多少人？（4）只懂英文不懂中文的有多少人？【解析】：（1）100 名旅游者中，有 10人两种语言都不懂，所以懂中文和英语的人一共有：100-10=90（人）。（2）70 人懂中文，52 人懂英语，不考虑重叠情况（即既懂英语又懂中文人数），懂两种语言的共有：70+52=122（人）。在第（1）小题已经求出懂两种语言的总人数为 90 人，所以被重复计算的既懂英语又懂中文的人数为：122-90=32（人）。（3）在第（2）小题已经求出既懂英语又懂中文的人数为32 人，而懂中文的总人数为 70 人，这 32 人是包含在这 70 人当中的。从懂中文的总人数中排除既懂英语又懂中文的人数，剩下的就是只懂中文不懂英语的人数：70-32=38（人）。（4）与第（3）小题同理，从懂英文的52 人中排除既懂英语又懂中文的32 人，剩下的就是只懂英文不懂中文的人数：52-32=20（人）。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 3 页 -