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1、随机过程 的发展随时间推进的 随机现象 的数学抽象。例如，某地第n 年的年降水量xn 由于受许多随机因素的影响,它本身具有随机性,因此 xn,n=1,2,便是一个 随机过程。类似地，森林中某种动物的头数，液体中受分子碰撞 而作 布朗运动 的粒子位置，百货公司 每天的顾客数，等等，都随时间变化而形成随机过程。严格说来，现实中大多数过程都具有程度不同的随机性。气体分子运动时，由于相互碰撞等原因而迅速改变自己 的位置与速度,其运动的过程是随机的。人们希望知道，运动的轨道有什么性质(是否连续、可微等等)？分子从一点出发能达到某区域的概率有多大？如果有两类分子同时运动，由于扩散而互相渗透，那么扩散是如何
2、进行的,要经过多久其混合才会变得均匀？又如,在一定时间内，放射性物质 中有多少原子会分裂或转化？电话交换台将收到多少次呼唤？机器会出现多少次故障？物价如何波动？这些实际问题的数学抽象为随机过程论提供了研究的课题。一些特殊的随机过程早已引起注意，例如1907 年前后，.马尔可夫 研究过一列有特定相依性的 随机变量，后人称之为 马尔可夫链（见 马尔可夫过程）；又如 1923 年 N.维纳给出了布朗运动 的数学定义（后人也称数学上的布朗运动 为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30 年代。1931 年，.柯尔莫哥洛夫 发表了 概率论 的解析方法
3、；三年后，.辛钦发表了 平稳过程 的相关理论。这两篇重要论文为马尔可夫过程 与平稳过程 奠定了理论基础。稍后，P.莱维 出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。1953 年，J.L.杜布 的名著随机过程论问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。1951 年伊藤清 建立了关于布朗运动的随机微分方程 的理论(见随机积分)，为研究 马尔可夫过程开辟了新的道路；近年来由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程；而流形 上的随机 微分方程 的理论，正方兴未艾。60 年代，法国学派基于 马尔可夫 过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论
4、，包括 截口 定理与过程的投影理论等，中国学者在 平稳过程、马尔可夫 过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。研究随机过程的方法是多样的，主要可分为两大类：一是概率方法，其中用到轨道性质、停时、随机微分方程等；另一是分析方法，工具是 测度论、微分方程、半群理论、函数论、希尔伯特空间 等。但许多重要结果往往是由两者并用而取得的。此外，组合方法、代数方法在某些特殊随机过程的研究中也起一定的作用。研究的主要课题有：多指标随机过程、流形 上的随机过程与随机微分方程以及它们与微分几何 的关系、无穷 质点马尔可夫过程、概率与位势、各种 特殊过程 的专题讨论等。随机过程论的强大生命力来源
5、于理论本身的内部，来源于其他数学分支如位势论、微分方程、力学、复变函数论 等与随机过程论的相互渗透和彼此促进，而更重要的是来源于生产活动、科学研究和工程技术中的大量实际问题所提出的要求。目前随机过程论已得到广泛的应用，特别是对统计物理、放射性问题、原子反应、天体物理、化学反应、生物中的 群体生长、遗传、传染病 问题、排队论、信息论、可靠性、经济数学 以及 自动控制、无线电技术 等的作用更为显著。随机过程的定义设(,F,p)为概率空间（见概率），T 为指标 t 的集合（通常视t 为时间）,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 5 页 -如果对每个tT,有定义在 上的实 随
6、机变量x(t)与之对应，就称随机变量 族 xx(t),t T为一随机过程（简称过程）。研究得最多的是T 为实数集 R(-，)的子集 的情形；如果T 为整数 n 的集,也称 xn为随机序列。如果 T 是 d 维欧几里得空间Rd（d 为大于 1 的正整数）的 子集，则称 x 为多指标随机过程。过程 x 实际上是两个变元(t,)(t T,)的函数，当t 固定时，它是一个随机变量；当固定时,它是 t 的函数,称此函数为随机过程（对应于）的轨道或样本函数。如不限于实值情况，可将随机变量与随机过程的概念作如下一般化:设(E,)为可测空间（即E 为任意非空集,为 E 的某些 子集 组成的 域）,称 x=(x
7、(),)为取值于 E 的随机元,如果对任一 B,:x()BF。特别,如果为 Rd 中全体 波莱尔集 所成的 域（称波莱尔 域）,则取值于 Rd 中的随机元即d 维随机向量。如果其中RT 为全体 实值函数?=(?(t),t T)的集,而为包含一切RT 中有限维柱集的最小域，则取值于 E 的随机元 x 即为上述的(实值)随机过程。如对每个tT，有取值于E 的随机元x(t)与之对应，则称x(t),t T为取值于E 的随机过程。以下如无特别声明，只讨论取值于(R 1,B1)的随机过程。有穷维 分布族 一维 分布函数 描述了随机变量取值的概率规律（见概率分布）,对随机过程x=x(t),t T起类似作用的
8、是它的全体有穷维分布函数：对任意n 个 tjT,i1，2,n,考虑的联合分布 函数，,全体 联合分布 称为 x 的有穷维 分布族,它显然满足下列相容性条件：对(1,2,，n)的任一排列(1,2,n)，；若 m0，0，0,使得对任意的t【,b】,t+t【,b】，有,则过程的轨道以概率1 在【,b】上 一致连续。设可分过程 x(t)，t【,b】随机连续，而且存在常数p0，q0，r0，0,使得对任意的t1 t2 t3 b，有则过程的轨道以概率1 无第二类断点。正态过程的轨道性质有更好的结果:对均值函数m(t)呏 0 的可分正态过程x(t),t【,b】，只要存在0,0，使得,x 的轨道就以概率1 连续
9、。停时这一概念的引进是随机过程论发展史中的一件大事,它带来了许多新的研究课题,而且扩大了理论的应用范围。早在1945 年，J.L.杜布关于 马尔可夫链 的文章中已经有了停时的思想。60 年代杜布、.登金（又译 邓肯）、R.M.布卢门塔尔 等应用停时于鞅及强马尔可夫过程的研究；70 年代，由于法国概率论 学派的工作而使停时的理论更加完善。直观上，停时是描述某种随机现象 发生的时刻，它是普通时间变量t 的随机化。例如,灯泡的寿命、一场球赛持续的时间都可看成是停时。又如，作随机运动的粒子首次到达某集A 的时刻,()=inft0,x(t,)A，且约定inf ，当 x 的轨道连续而且A 是一个闭集时，就
10、是一个停时，它是一个随机变量，而且对任何t 0，tx(u),ut。一般地，设在可测空间(,F)中已给 F 的一族单调、右连续、完备的子 域族,tR+,称定义在 上的非负 可测函数=()（可取+为值）为停时，如果对任意t 0，总有 t。这一定义的直观背景是：把理解为到t 为止的全部信息，一个可观测的随机现象 发生的时刻 是否不迟于t 这一信息应包含在之中。类似于，对停时 可以定义 域,其中为包含一切的最小域。F可理解为过程到 为止的全部信息。停时有许多好的性质,例如,若 1、2 是停时,则 1 2、1 2 也是停时，其中,;还有，这里表示包含、的最小域；进一步，若 n 是一列停时，则也是停时。更
11、细致地研究停时，需要对其进行分类，重要的类型有可料时、绝不可及时等。二阶过程均值和方差 都有限的实值或复值随机过程称为二阶过程。二阶过程理论的重要结果之一是它的 积分表 示。设 F 是可测空间(,A)上的有限 测度，如果对每一AA,有一复值随机变量 Z(A)与它对应,且满足：E|Z(A)|2 ；则称 ZZ(A)，AA为(，A)上的正交 随机测度。定义在 上、关于A 可测而且关于F 平方可积的函数全体记为L2（，A，F）。给了一个 正交 随机测度Z，一族函数,，就可以产生一个二阶过程,满足(1)它的二阶矩为。(2)反之，对给定的二阶过程，只要它的二阶矩有积分表 示(2)，就一定存在一个正交随机测
12、度 Z，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 5 页 -使过程本身有 积分表 示(1)。(1)和(2)分别称为过程x 和它的二阶矩的谱表示。对均方连续的实二阶过程 x(t),t 【,b)】,则有级数展开式其中n 是标准正交实随机变量序列,即；nm=0，n=m 时,nm=1)，n 是积分方程 的本征值，n 是相应的 本征函数(t,s)=Ex(t)x(s)。特殊随机过程类对过程的概率结构作各种假设,便得到各类特殊的随机过程。除上述正态过程、二阶过程外，重要的还有独立增量 过程、马尔可夫过程、平稳过程、鞅点过程和分支过程等。贯穿这些过程类的有两个最重要最基本的过程，布朗运动和
13、 泊松过程，它们的结构比较简单,便于研究而应用又很广泛。从它们出发,可以构造出许多其他过程。这两种过程的轨道性质不同,前者连续而后者则是上升的阶梯函数。广义过程正如从普通函数发展到广义函数一样，随机过程也可发展到广义过程。设D 为 R上全体无穷次可微且支集有界的实值函数 的集，定义在D 上的连续线性 泛函 称为广义函数、全体广义函数的集记为Dx。考虑 D上的 二元函数x(,),如果对固定的,x(,)Dx是广义函数,而对固定的,x(，)是随机变量,则称 x(,):D为定义在(,F,p)上的广义过程。它在1,2,n上的 联合分布 为全体这种联合分布构成了广义过程x 的有穷维分布族。前两阶矩分别称为均值泛函和相关 泛函根据有穷维分布族的性质，也可以定义特殊的广义过程类，象广义平稳 过程、广义正态过程等。例如，若对D 中任意有限个线性独立函数1,2,n，有限维分布都是正态分布，则称 xx(,)为广义正态过程。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 5 页 -