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1、第五讲傅里叶变换及应用第1页，此课件共28页哦 1ixFefx dx（）1 22ixf xFed（）F如果如果 满足上面的条件，我们可以定义傅立叶逆变满足上面的条件，我们可以定义傅立叶逆变换为换为:()f x如果函数如果函数 在在 上绝对可积，它的傅立叶变上绝对可积，它的傅立叶变换定义如下：换定义如下：(,)一一.傅立叶变换傅立叶变换反演公式反演公式第2页，此课件共28页哦注注1 1：在有些参考文献中在有些参考文献中,因子被分解成因子被分解成 ,并且分别含在上述两个式子（并且分别含在上述两个式子（1 1）和（）和（2 2）中）中.而在式而在式(1)(1)中的函数中的函数 写成写成 ，从而在式，
2、从而在式(2)(2)中函数中函数 写成写成 .这些本质上同定义这些本质上同定义（1 1）（）（2 2）没有差别）没有差别.121122j xejxej xej xe第3页，此课件共28页哦注2：在三维无界空间中在三维无界空间中,若若 是绝对可积函是绝对可积函数数,则可定义三重傅里叶变换则可定义三重傅里叶变换 ()(,)(,)3xyzjxyzxyzFf x y z edxdydz （）()31(,)(,)4(2)xyzjxyzxyzxyzf x y zFeddd （）(,)f x y z当然，我们也可以定义傅立叶逆变换当然，我们也可以定义傅立叶逆变换第4页，此课件共28页哦傅立叶变换的性质傅立叶
3、变换的性质:1）线性性质线性性质 设 f,g 是绝对可积函数，是任 意复常数，则 ,()()FfgF fF g nnF fi F fF fiF f（），（）2）微分性质微分性质 设 f,绝对可积函数，则 f dF xfiF fd3）乘多项式乘多项式 设 f,x f 绝对可积，则 第5页，此课件共28页哦4）相似性质相似性质 设 f(x)绝对可积，则 10()()()(),.|F f axF faaa 6）卷积性质卷积性质 设f,g 是绝对可积函数，令 fg xfxt g t dt FfgFf F g 则则5）延迟性质延迟性质 设 f(x)绝对可积，则 ()(),.iyF f xyeF fyR
4、第6页，此课件共28页哦7 7）积分性质）积分性质1()(),FfdF fi （）8 8）频移性质）频移性质00()(),ixF f x eF （）第7页，此课件共28页哦 2200,uuxR ttxu xxxR 例例1 1 用傅里叶变换法解热传导方程定解问题：解：作关于 x 的傅立叶变换,ixu x tUtu x t edx x 方程可变为 20,|tdUtUtdtUt 设二二.傅里叶变换的应用傅里叶变换的应用第8页，此课件共28页哦 2,tUte 可解得 由于221412 xttFeet 22412 xttFeet 即 22441122 ,xxttUtFeFFett 则第9页，此课件共28
5、页哦从而方程的解 241(,)2stu x txs edst 1,(,)u x tFUt 2 141*2xtFFet 2 41*2xtet 2 141()2xtFFFet 第10页，此课件共28页哦 22(,),0,0uufx txR ttxu xx例例 用积分变换法解方程：解：作关于 的傅立叶变换。设xdxetxutUtxuxi,x 方程变为 20,|tdUtUtFtdtUt ,f x tFt 22()0,(,).tttUteFed 用常数变易法可解得 22412 xttFeet 而 224401212 (),(,).()xtxttUtFetFFedt 则第11页，此课件共28页哦 1,(,
6、)u x tFUt 2214401212 ()(,)()xtxttFFetFFedt 第12页，此课件共28页哦2141*2xtFFet 214012()(,)*()xttFFf xedt 2 41*2xtet 24012()(,)*()xttf xedt 2()412xtedt 24012()()(,)xttfdedt 第13页，此课件共28页哦傅立叶变换是一种把分析运算化为代数运傅立叶变换是一种把分析运算化为代数运算的有效方法算的有效方法,但但1.1.傅立叶变换要求原象函数在傅立叶变换要求原象函数在R R上绝对可上绝对可积积.大部分函数不能作傅立叶变换。大部分函数不能作傅立叶变换。2.2.
7、傅立叶变换要求函数在整个数轴上有定傅立叶变换要求函数在整个数轴上有定义义,研究混合问题时失效。研究混合问题时失效。注：注：第14页，此课件共28页哦 傅里叶变换法求解问题的步骤傅里叶变换法求解问题的步骤对方程的两边做对方程的两边做 傅里叶变换将偏微分方程变为傅里叶变换将偏微分方程变为常微分方程常微分方程对定解条件做相应的积分变换，导出新方程对应对定解条件做相应的积分变换，导出新方程对应的定解条件的定解条件求常微分方程及定解条件的解求常微分方程及定解条件的解对解的变换式取相应的逆变换，得到原定解问题的对解的变换式取相应的逆变换，得到原定解问题的解解第15页，此课件共28页哦数学物理方程数学物理方
8、程+定解条件定解条件解解常微分方程常微分方程+定解条件定解条件解解积分变换逆变换第16页，此课件共28页哦xxtxuxxutxxuatu),()0,(),()0,(0,22222),(d)0,(d),()0,(0),(d),(d2222tUUttUattU解：取变换符氏taBtaAtUsincos),(,0)()UA()(,)()cossinUta ta ta()Baj)(eF)f(xj)(d0F)f(x例例2 2 用傅里叶变换求解波动方程的初值问题：用傅里叶变换求解波动方程的初值问题：,u x tUt()(),x()().x 第17页，此课件共28页哦()(,)()cossinUta ta
9、ta j2)(2)(jjjjtatatataeeaeetatatataeeaeejjjjj)(j)(21)()(21d)(d)(21)()(21),(00atxatxaatxatxtxud)(21)()(21atxatxaatxatxj)(eF)f(xj)(d0F)f(x第18页，此课件共28页哦例例3 3 用用傅里叶变换求解波动方程的初值问题傅里叶变换求解波动方程的初值问题200(,)(,0)|()|()ttxxtt tua uf x txtuxux 解解：作关于作关于 x x 的傅立叶变换。设的傅立叶变换。设,u x tUt()(),x()().x,f x tFt第19页，此课件共28页哦
10、于是原方程变为于是原方程变为2222,d UtaUtFtdt 满足初始条件满足初始条件0,|,tUt 0,|tdUtdt 第20页，此课件共28页哦 222200,|,|ttd UtaUtFtdtUtdUtdt 齐次方程的解齐次方程的解12(,)cossinUtCa tCa t设非齐次方程的解为设非齐次方程的解为12(,)()cos()sinUtC ta tC ta t第21页，此课件共28页哦1212(,)()-sin()sin()cos()cosUtC t aa tC t aa tC ta tC ta t令令12()cos()sin0C ta tC ta t12(,)()()sin()co
11、sUtC taa tC t aa t12222212(,)()sin()cos()cos()sinUtC t aa tC t aa tC t aa tC t aa t 则则第22页，此课件共28页哦代入方程代入方程122222122212()sin()cos()cos()sin()cos()sin)(,)C t aa tC t aa tC t aa tC t aa taC ta tC ta tFt 得得12(,)()sin()cosFtC ta tC ta ta12()cos()sin0C ta tC ta t第23页，此课件共28页哦12(,)()sin(,)()=cosFtC ta taF
12、tC ta ta 积分上述两式积分上述两式12(,)()sin(,)()=cosFtC ta tdtaFtC ta tdta第24页，此课件共28页哦得到非齐次方程的通解为得到非齐次方程的通解为0(,)cossin1(,)sin()tUtCa tDa tFatda 由初始条件由初始条件0sin(,)()cos()1(,)sin()ta tUta taFatda 第25页，此课件共28页哦 取傅立叶逆变换，得取傅立叶逆变换，得 12xatxat的傅立叶变换的傅立叶变换1()cos()()2iatiata tee其中其中sina t1,()20,atatxatgx其它是是而而j)(eF)f(x第26页，此课件共28页哦()0()1211,22x a tx attx atx a txatxats dsdf sdsaa所以所以 取傅立叶逆变换，得取傅立叶逆变换，得(,)Ut()01,211()()tata tu x txatxatgxfgx daaj)(d0F)f(x第27页，此课件共28页哦作业：用傅里叶变换求解无界弦的振动作业：用傅里叶变换求解无界弦的振动问题问题P128 P128 例例5 5第28页，此课件共28页哦