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1、-二次函数一、基础知识1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，那么 y 叫做x的二次函数.2.二次函数的表示方法：数表法、图像法、表达式.3.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：2axy（)0a；kaxy2；()0a2hxay()0a顶点式)；khxay2；（)0acbxaxy2.它们的图像都是对称轴平行于（或重合）y 轴的抛物线.4.各种形式的二次函数的图像性质如下表：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0 x（y 轴）（0,0）kaxy20 x（y 轴）(0,k)2hxayhx(h,0)khxay2hx(h,k)cbxaxy2
2、abx2(abacab4422，)1.抛物线cbxaxy2中的系数cba,（1）a决定开口方向：几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.当0a时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当0a时，抛物线开口向下，顶点为其最高点.（2）b 和a共同决定抛物线对称轴的位置：当0b时，对称轴为 y 轴；当a、b 同号时，对称轴在 y轴左侧；当a、b 异号时，对称轴在 y 轴右侧.（3）c决定抛物线与 y 轴交点位置：当0c时，抛物线经过原点；当0c时,相交于 y 轴的正半轴；当0c时,则相交于 y轴的负半轴.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精
3、心整理-第 1 页，共 10 页 -2.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线cbxaxy2的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx.其中abackabh4422，.（3）运用抛物线的对称性：抛物线是轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线就是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.3用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：khxay2.已
4、知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）两点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.4.抛物线与x轴的交点设二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式来判定：（1）240bac抛物线与x轴有两个交点；（2）240bac抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上）；（3）240bac抛物线与x轴没有交点.5.二次函数的应用一、cbxaxy2的性质1已知二次函数772xkxy与 x 轴有交点，则k 的取值范围是。解：2二次函数cbxaxy2的
5、图象如图，则直线bcaxy的图象不经过第象限。理由：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 10 页 -3.二次函数cbxaxy2的图象如图，试判断a、b、c 和的符号。解：4.二次函数cbxaxy2的图象如图，下列结论（1）c0；（2）b0；（3）4a+2b+c0；（4）（a+c）20，其中正确的是：（）A1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个理由：5 二次函数cbxaxy2的图象如图，那么abc、2a+b、a+b+c、a-b+c 这四个代数式中，值为正数的有（）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个理由：6 已知直线baxy的图象经过第一、二、三象限，那么12bx
6、axy的图象为（）A B C D7已知函数4212xxy，当函数值y随 x 的增大而减小时，x 的取值范围是()Ax 1 Bx1 Cx2 D 2x4 8二次函数ya(xk)2k，当 k 取不同的实数值时，图象顶点所在的直线是()A yxBx 轴CyxDy 轴9已知二次函数y ax2bxc 的图象如右图所示，则()Aa0，c0，b24ac0 Ba0，c0，b24ac0 Ca0，c0，b24ac0 Da0，c0，b24ac0 10已知二次函数yax2bxc 的图象如下图所示，则()名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 10 页 -Ab0，c0，0 Bb0，c0，0 Cb0，
7、c0，0 Db0，c0，0 11二次函数ymx2 2mx(3m)的图象如下图所示，那么m 的取值范围是()Am0 Bm3 Cm0 D0m3 12在同一坐标系内，函数ykx2和 ykx2(k0)的图象大致如图()13函数xabybaxy221,(ab0)的图象在下列四个示意图中，可能正确的是()14图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是()A hmBknCknDh0，k0 15已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，有下列结论：abc0；abc2；21a；b1其中正确的结论是()名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 10 页 -ABCD16下列命题中，
8、正确的是()若 abc0，则 b24ac0；若 b2a3c，则一元二次方程ax2bxc0 有两个不相等的实数根；若 b24ac0，则二次函数yax2bxc 的图象与坐标轴的公共点的个数是2 或 3；若 bac，则一元二次方程ax2bxc0，有两个不相等的实数根ABCD二、cbxaxy2的最值1 心理学家发现，学生对概念的接受能力y 和提出概念所用的时间x（单位：分）之间大体满足函数关系式：436.21.02xxy（0 x30）。y 的值越大，表示接受能力越强。试根据关系式回答：（1）若提出概念用10 分钟，学生的接受能力是多少？（2）概念提出多少时间时？学生的接受能力达到最强？2 某地要建造一
9、个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过 OA的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示。图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系是4522xxy。请回答下列问题：（1）柱子 OA的高度是多少米？（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？3 体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线21212xxy的一部分，根据关系式回答：（1）该同学的出手最大高度是
10、多少？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 10 页 -（2）铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？（3）该同学的成绩是多少？4 如图，正方形EFGH的顶点在边长为a 的正方形ABCD 的边上，若AE=x，正方形EFGH 的面积为 y。（1）求出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）正方形 EFGH 有没有最大面积？若有，试确定E点位置；若没有，说明理由。三、函数解析式的求法（1）1 某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图：（1）根据如图直角坐标系求该抛物线的解析式；（2）若菜农身高为1.60 米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有几米？（精确到0.
11、01 米）2 根据下列条件求抛物线的解析式：（1）图象过点（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）；（2）图象的顶点坐标为（-1，-1），且与 y 轴交点的纵坐标为-3；（3）图象过点（1，-5），对称轴是直线x=1，且图象与x 轴的两个交点之间的距离为4。3 在一场足球赛中，一球员从球门正前方10 米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离为6 米时，球到达最高点，此时球高3 米，已知球门高为2.44 米，问能否射中球门？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 10 页 -4 已知二次函数的图象与x 轴交于 A（-2，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值是2。（1）求二
12、次函数的图象的解析式；（2）设次二次函数的顶点为P，求 ABP的面积。5 如图：（1）求该抛物线的解析式；（2）根据图象回答：当x 为何范围时，该函数值大于0。6 已知抛物线经过A（-3，0）、B（0，3）、C（2，0）三点。（1）求这条抛物线的解析式；（2）如果点 D（1，m）在这条抛物线上，求 m值和点 D关于这条抛物线对称轴的对称点E的坐标，并求出 tan ADE的值。四、函数解析式的求法（2）1 已知某绿色蔬菜生产基地收获的大蒜，从四月一日起开始上市的30 天内，大蒜每10 千克的批发价y（元）是上市时间x(天)的二次函数，有近几年的行情可知如下信息：x（天）5 15 25 y（元）1
13、5 10 15（1）求 y 与 x 的函数关系式；（2）大蒜每 10 千克的批发价为10.8 元时，问此时是在上市的多少天？2 如图，某建筑物从10m高的窗口 A用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，如 果 抛 物 线 的最高点 M离墙 1m，离地面340m，求水流落点B离墙的距离OB的长。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 10 页 -3 一男生推铅球，成绩为10 米，已知该男生的出手高度为35米，且当铅球运行的水平距离为4 米时达到最大高度，试求铅球运行的抛物线的解析式。4 某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8 米，两侧距地面3 米高处各有一个壁灯
14、，两壁灯之间的水平距离为6 米，试求厂门的高度。5 抛物线经过A、B、C三点，顶点为D，且与 x 轴的另一个交点为E。（1）求该抛物线的解析式；（2）求四边形ABDE 的面积；（3）求证：AOB BDE。6已知二次函数y ax2bxc(a0)的图象经过一次函数323xy的图象与x 轴、y 轴的交点，并也经过(1，1)点求这个二次函数解析式，并求x 为何值时，有最大(最小)值，这个值是什么?7已知抛物线y x2bxc 与 x 轴的两个交点分别为A(m，0)，B(n，0)，且4nm，31nm(1)求此抛物线的解析式；(2)设此抛物线与y 轴的交点为C，过 C 作一条平行x 轴的直线交抛物线于另一点
15、P，求 ACP 的面积名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 10 页 -8已知抛物线yax2bxc 经过点 A(1，0)，且经过直线yx3 与 x 轴的交点B 及与 y 轴的交点C(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标；(3)若点 M 在第四象限内的抛物线上，且OMBC，垂足为D，求点 M 的坐标9某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M(元)与时间 t(月)的关系可用一条线段上的点来表示(如图甲)，一件商品的成本Q(元)与时间 t(月)的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6 月份成本最高(如图乙)根据图象提供的信息解答下面问题：(1)一件商品在3 月份出售时的利润是多少元?(利润售价成本)(2)求出图(乙)中表示的一件商品的成本Q(元)与时间 t(月)之间的函数关系式；(3)你能求出3 月份至 7 月份一件商品的利润W(元)与时间 t(月)之间的函数关系式吗?若该公司能在一个月内售出此种商品30000 件，请你计算该公司在一个月内最少获利多少元?精品文档考试教学资料施工组织设计方案名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 10 页 -名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 10 页 -