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1、1 Copula的的的概概概念念念和和和性性性质质质2 copula的的的构构构造造造3 应应应用用用与与与拟拟拟合合合4 数数数据据据实实实例例例参参参考考考文文文献献献附附附录录录：R CODING2.1 Archimedean法法法2.2 复复复合合合函函函数数数法法法2.3 两两两种种种方方方法法法的的的区区区别别别和和和联联联系系系2.4 关关关联联联的的的测测测度度度2.5 随随随机机机模模模拟拟拟2.6 正正正态态态copula的的的补补补充充充 2 copula的构造 设定一簇copula的两种主要方法是： 1 Archimedean(阿基米德)法 2 复合函数法 风风风险险险
2、模模模型型型与与与非非非寿寿寿险险险精精精算算算学学学 1 Copula的的的概概概念念念和和和性性性质质质2 copula的的的构构构造造造3 应应应用用用与与与拟拟拟合合合4 数数数据据据实实实例例例参参参考考考文文文献献献附附附录录录：R CODING2.1 Archimedean法法法2.2 复复复合合合函函函数数数法法法2.3 两两两种种种方方方法法法的的的区区区别别别和和和联联联系系系2.4 关关关联联联的的的测测测度度度2.5 随随随机机机模模模拟拟拟2.6 正正正态态态copula的的的补补补充充充 2.1 Archimedean法 Archimedean法可以将一个多变量co
3、pula的研究转换为一个简 单的单变量copula.这里取p = 2. Theorem 5.11 设()是一个单调递减的凸函数，定义域是(0,1，值域 为0,)，并且满足(1) = 0，那么可得： C(u,v) = 1(u) + (v)u,v (0,1(12) 其中u,v (0,1，这样就得到一个Archimedean copula. Genest 和McKay(1986a,1986b)进一步证明了Archimedean copula的性质.其中，C为(群的)生成元，它唯一地决定一 个Archimedean copula，生成元的不同将产生一大类重要 的copula簇. 风风风险险险模模模型型
4、型与与与非非非寿寿寿险险险精精精算算算学学学 1 Copula的的的概概概念念念和和和性性性质质质2 copula的的的构构构造造造3 应应应用用用与与与拟拟拟合合合4 数数数据据据实实实例例例参参参考考考文文文献献献附附附录录录：R CODING2.1 Archimedean法法法2.2 复复复合合合函函函数数数法法法2.3 两两两种种种方方方法法法的的的区区区别别别和和和联联联系系系2.4 关关关联联联的的的测测测度度度2.5 随随随机机机模模模拟拟拟2.6 正正正态态态copula的的的补补补充充充 表1 Archimedean copula及其生成元 FamilyC(u,v)(t)(s
5、)= 1(s) IndependenceuvLn(t)esNot appli- cable Clayton(1978), Oakes(1981), Cook- Johnson(1981) (u+ v 1) 1 t 1(1 + s) 1 1 Gumbel(1960), Hougaard(1986) exp(Lnu) + (Lnv) 1 Ln(t)exps 1 1 Frank(1979) 1 Ln1+ (eu 1)(ev 1) e 1 Lne t1 e1 1Ln(1+ es+ es) t/) = Bi(t)和Ti的条件依赖性可得： Prob(T1 t1,Tp tp) = EB1(t1)Bp(tp)
6、 = p P i=1 1Si(ti) (18) 风风风险险险模模模型型型与与与非非非寿寿寿险险险精精精算算算学学学 1 Copula的的的概概概念念念和和和性性性质质质2 copula的的的构构构造造造3 应应应用用用与与与拟拟拟合合合4 数数数据据据实实实例例例参参参考考考文文文献献献附附附录录录：R CODING2.1 Archimedean法法法2.2 复复复合合合函函函数数数法法法2.3 两两两种种种方方方法法法的的的区区区别别别和和和联联联系系系2.4 关关关联联联的的的测测测度度度2.5 随随随机机机模模模拟拟拟2.6 正正正态态态copula的的的补补补充充充 这时， LnBi(
7、t) = Si(t) = 1 Fi(t)，Bi(t) = exp1Si(t).然而两个构造产生的结果有一些不一致： Prob(T t|) = 1 B (t)6= (1 F (t)(19) 这里我们更偏好用Marshall和Olkin(1988)用分布函数来构造 的copula，即方程(16)表达式，因为它对一切随机变量都适用， 然而对正的生存时间随机变量而言，柔性模型更直观一些，因此 基于生存函数的构造更可取一些. 最后值得补充的一点是：与Gamma和正平稳分布簇不 同，Frank copula是关于?1 2, 1 2 ?对称的，因此无论是用生存函数还 是用分布函数建模，结论是一样的. 风风风
8、险险险模模模型型型与与与非非非寿寿寿险险险精精精算算算学学学 1 Copula的的的概概概念念念和和和性性性质质质2 copula的的的构构构造造造3 应应应用用用与与与拟拟拟合合合4 数数数据据据实实实例例例参参参考考考文文文献献献附附附录录录：R CODING2.1 Archimedean法法法2.2 复复复合合合函函函数数数法法法2.3 两两两种种种方方方法法法的的的区区区别别别和和和联联联系系系2.4 关关关联联联的的的测测测度度度2.5 随随随机机机模模模拟拟拟2.6 正正正态态态copula的的的补补补充充充 2.4 关联的测度 由copula的定义式可知，联合分布函数可以表述为其
9、边缘分布 的函数形式(copula)，鉴于此，Genest和Rivest(1993)提出，可以 通过对联合分布函数的设定来分别研究copula和边际分布，而独 立只是copula应用的一个特例. Schweizer和Wolff (1981)用copula来解释两个变量之间的相关关 系.他们构造了随机变量的单调递增函数，利用copula的性质知单 调递增变换不改变copula，那么两个变量联动的方式就 被copula捕获了，而不用管尺度参数如何变.他们还证明，两个标 准的非参数相关性的度量也可以用copula的形式唯一表示.这两个 度量，一个是Spearman相关系数，可以表述为： (X1,X2
10、) = 12EF1(x1) 1 2F2(x2) 1 2 = 12 Z Z C(u,v) uvdudv (20) 风风风险险险模模模型型型与与与非非非寿寿寿险险险精精精算算算学学学 1 Copula的的的概概概念念念和和和性性性质质质2 copula的的的构构构造造造3 应应应用用用与与与拟拟拟合合合4 数数数据据据实实实例例例参参参考考考文文文献献献附附附录录录：R CODING2.1 Archimedean法法法2.2 复复复合合合函函函数数数法法法2.3 两两两种种种方方方法法法的的的区区区别别别和和和联联联系系系2.4 关关关联联联的的的测测测度度度2.5 随随随机机机模模模拟拟拟2.6
11、 正正正态态态copula的的的补补补充充充 另外一个是Kendall 相关系数，可以表述为： (X1,X2) = 4 Z Z C(u,v)dC(u,v) 1(21) 由此我们可以计算出相关性度量，见下表： 风风风险险险模模模型型型与与与非非非寿寿寿险险险精精精算算算学学学 1 Copula的的的概概概念念念和和和性性性质质质2 copula的的的构构构造造造3 应应应用用用与与与拟拟拟合合合4 数数数据据据实实实例例例参参参考考考文文文献献献附附附录录录：R CODING2.1 Archimedean法法法2.2 复复复合合合函函函数数数法法法2.3 两两两种种种方方方法法法的的的区区区别别
12、别和和和联联联系系系2.4 关关关联联联的的的测测测度度度2.5 随随随机机机模模模拟拟拟2.6 正正正态态态copula的的的补补补充充充 表2 Archimedean copula及其对相关性的度量 FamilyC(u,v)Kendall Spearman Independenceuv Clayton(1978), Oakes(1981), Cook- Johnson(1981) (u+ v 1) 1 +2 Complicated form Gumbel(1960), Hougaard(1986) exp(Lnu)+ (Lnv) 1 1 1Noclosed form Frank(1979)
13、 1 Ln h 1 + (eu1)(ev1) e1 i 1 4 D1() 1 1 12 D2() D1() 风风风险险险模模模型型型与与与非非非寿寿寿险险险精精精算算算学学学 1 Copula的的的概概概念念念和和和性性性质质质2 copula的的的构构构造造造3 应应应用用用与与与拟拟拟合合合4 数数数据据据实实实例例例参参参考考考文文文献献献附附附录录录：R CODING2.1 Archimedean法法法2.2 复复复合合合函函函数数数法法法2.3 两两两种种种方方方法法法的的的区区区别别别和和和联联联系系系2.4 关关关联联联的的的测测测度度度2.5 随随随机机机模模模拟拟拟2.6 正
14、正正态态态copula的的的补补补充充充 Definition 5.12 其中，由Frank copula导出的相关性的度量主要通过Debye函数来 实现，此函数定义为： Dk(x) = k xk Z x 0 tk et 1dt k = 1,2(22) Dk(x) = Dk(x) + kx k + 1 (23) 给出这些相关性的度量，我们可以与copula对应起来.我们可以 用真实数据集中的依赖性来拟合或者说选择copula. 风风风险险险模模模型型型与与与非非非寿寿寿险险险精精精算算算学学学 1 Copula的的的概概概念念念和和和性性性质质质2 copula的的的构构构造造造3 应应应用用
15、用与与与拟拟拟合合合4 数数数据据据实实实例例例参参参考考考文文文献献献附附附录录录：R CODING2.1 Archimedean法法法2.2 复复复合合合函函函数数数法法法2.3 两两两种种种方方方法法法的的的区区区别别别和和和联联联系系系2.4 关关关联联联的的的测测测度度度2.5 随随随机机机模模模拟拟拟2.6 正正正态态态copula的的的补补补充充充 2.5 随机模拟 精算中常常会遇到一些非线性函数，比方说，随机变量的净现 值.随机模拟方法在汇总随机输出的分布特征及计算复合模型方 面有重要应用.从copula出发，利用随机模拟我们可以轻易模拟出 多变量分布的输出. 两个主要的模拟方
16、法： Archimedean法 复合函数法 风风风险险险模模模型型型与与与非非非寿寿寿险险险精精精算算算学学学 1 Copula的的的概概概念念念和和和性性性质质质2 copula的的的构构构造造造3 应应应用用用与与与拟拟拟合合合4 数数数据据据实实实例例例参参参考考考文文文献献献附附附录录录：R CODING2.1 Archimedean法法法2.2 复复复合合合函函函数数数法法法2.3 两两两种种种方方方法法法的的的区区区别别别和和和联联联系系系2.4 关关关联联联的的的测测测度度度2.5 随随随机机机模模模拟拟拟2.6 正正正态态态copula的的的补补补充充充 我们的目标是构造一个算
17、法来产生满足给定分布的随机变量， 由此，我们就可以利用公式 C (u1, ,up) = 1 p X i=1 (ui) # (24) 得到copula. 风风风险险险模模模型型型与与与非非非寿寿寿险险险精精精算算算学学学 1 Copula的的的概概概念念念和和和性性性质质质2 copula的的的构构构造造造3 应应应用用用与与与拟拟拟合合合4 数数数据据据实实实例例例参参参考考考文文文献献献附附附录录录：R CODING2.1 Archimedean法法法2.2 复复复合合合函函函数数数法法法2.3 两两两种种种方方方法法法的的的区区区别别别和和和联联联系系系2.4 关关关联联联的的的测测测度度
18、度2.5 随随随机机机模模模拟拟拟2.6 正正正态态态copula的的的补补补充充充 Genest(1987)采用条件分布和全概率公式的方式迭代模拟出联 合分布.Lee(1993)改进了这种模拟方法.为了简化，我们假定联合 概率密度都存在，则可以表述为： f (x1,x2,xp) = 1(p) p X i=1 Fi(xi) p Y j=1 (1)Fj(xj)F (1) j (xj) (25) 风风风险险险模模模型型型与与与非非非寿寿寿险险险精精精算算算学学学 1 Copula的的的概概概念念念和和和性性性质质质2 copula的的的构构构造造造3 应应应用用用与与与拟拟拟合合合4 数数数据据据
19、实实实例例例参参参考考考文文文献献献附附附录录录：R CODING2.1 Archimedean法法法2.2 复复复合合合函函函数数数法法法2.3 两两两种种种方方方法法法的的的区区区别别别和和和联联联系系系2.4 关关关联联联的的的测测测度度度2.5 随随随机机机模模模拟拟拟2.6 正正正态态态copula的的的补补补充充充 那么条件密度公式可以表述为： f(xp/x1,xp1) = (1)Fp(xp)F(1)(xp) 1(p1) p P i=1 Fi(xi) 1(p1) p1 P i=1 Fi(xi) (26) F(xp/x1,x2, ,xp1) = 1(p1) p P i=1 Fi(xi
20、) 1(p1) p1 P i=1 Fi(xi) = 1(p1)cp1+Fp(xp) 1(p1)(cp1) (27) 其中，cp= p P i=1 Fi(xi). 风风风险险险模模模型型型与与与非非非寿寿寿险险险精精精算算算学学学 1 Copula的的的概概概念念念和和和性性性质质质2 copula的的的构构构造造造3 应应应用用用与与与拟拟拟合合合4 数数数据据据实实实例例例参参参考考考文文文献献献附附附录录录：R CODING2.1 Archimedean法法法2.2 复复复合合合函函函数数数法法法2.3 两两两种种种方方方法法法的的的区区区别别别和和和联联联系系系2.4 关关关联联联的的的
21、测测测度度度2.5 随随随机机机模模模拟拟拟2.6 正正正态态态copula的的的补补补充充充 我们可以按照单位区间均匀分布的逆函数的方式来获取满足其 他分布的随机变量.这种方法在随机模拟中被广泛应用. Notation 5.13 算法2.1 由Archimedean copula来生成多元分布随机变量 1 Step 1. 生成满足单位区间上均匀分布的独立随机 数：Ui,i = 1,p. 2 Step 2. 取c0= 0,设置初始值X1= F1 1 (U1). 3 Step 3. 利用迭代法求解其余的X： Xk= Arg Xk Uk= F(Xk|x1, ,xk1) = 1(k1)ck1+ Fk
22、(xk) 1(k1)(ck1) (28) 风风风险险险模模模型型型与与与非非非寿寿寿险险险精精精算算算学学学 1 Copula的的的概概概念念念和和和性性性质质质2 copula的的的构构构造造造3 应应应用用用与与与拟拟拟合合合4 数数数据据据实实实例例例参参参考考考文文文献献献附附附录录录：R CODING2.1 Archimedean法法法2.2 复复复合合合函函函数数数法法法2.3 两两两种种种方方方法法法的的的区区区别别别和和和联联联系系系2.4 关关关联联联的的的测测测度度度2.5 随随随机机机模模模拟拟拟2.6 正正正态态态copula的的的补补补充充充 对于二元分布，这种算法也
23、可以简化为以下算 法(Genest,1987)： Notation 5.14 算法2.2 利用Frank copula来产生二元分布随机数 Step 1. 生成满足单位区间上均匀分布的独立随机变 量：Ui,i = 1,2. Step 2. 设置初始值 X1= F1 1 (U1)(29) Step 3. 求解 X2= ArgU2= eU1 1 + e eF2(X2) eF2(X2) 1 !1 (30) 风风风险险险模模模型型型与与与非非非寿寿寿险险险精精精算算算学学学 1 Copula的的的概概概念念念和和和性性性质质质2 copula的的的构构构造造造3 应应应用用用与与与拟拟拟合合合4 数数
24、数据据据实实实例例例参参参考考考文文文献献献附附附录录录：R CODING2.1 Archimedean法法法2.2 复复复合合合函函函数数数法法法2.3 两两两种种种方方方法法法的的的区区区别别别和和和联联联系系系2.4 关关关联联联的的的测测测度度度2.5 随随随机机机模模模拟拟拟2.6 正正正态态态copula的的的补补补充充充 因为算法2.1要求迭代法求解，这对大量数据模拟而言计算量 非常大，因此，Marshall和Olkin(1988)提出了适合模拟复合结构 的copula的算法： Notation 5.15 算法2.3 由复合copula来生成多元分布随机数 Step 1. 生成一
25、个具有Laplace变换的隐随机变量. Step 2. 独立生成满足单位区间上均匀分布的独立随机 数：Ui,i = 1,p. Step 3. 计算 Xk= F1 k ?1LnU k ?,k = 1, ,p (31) 其优点在于计算方便直接，缺点在于引入了新的变量.在我们 要求生成的随机数维数很低时尤其低效. 风风风险险险模模模型型型与与与非非非寿寿寿险险险精精精算算算学学学 1 Copula的的的概概概念念念和和和性性性质质质2 copula的的的构构构造造造3 应应应用用用与与与拟拟拟合合合4 数数数据据据实实实例例例参参参考考考文文文献献献附附附录录录：R CODING2.1 Archim
26、edean法法法2.2 复复复合合合函函函数数数法法法2.3 两两两种种种方方方法法法的的的区区区别别别和和和联联联系系系2.4 关关关联联联的的的测测测度度度2.5 随随随机机机模模模拟拟拟2.6 正正正态态态copula的的的补补补充充充 2.6 正态copula的补充 只有正态copula具有任意阶相关矩阵，而且容易应用成熟的 模拟技术. copula最开始是用来研究累积分布函数的，同样适用于概率 母函数和特征函数. 尽管每个相关结构都隐含着一个copula，这个隐含 的copula可能没有显式表达式，事实上，一些很重要的经济 现象可以用相关模型来刻画而不是显式copula. 风风风险险
27、险模模模型型型与与与非非非寿寿寿险险险精精精算算算学学学 1 Copula的的的概概概念念念和和和性性性质质质2 copula的的的构构构造造造3 应应应用用用与与与拟拟拟合合合4 数数数据据据实实实例例例参参参考考考文文文献献献附附附录录录：R CODING2.1 Archimedean法法法2.2 复复复合合合函函函数数数法法法2.3 两两两种种种方方方法法法的的的区区区别别别和和和联联联系系系2.4 关关关联联联的的的测测测度度度2.5 随随随机机机模模模拟拟拟2.6 正正正态态态copula的的的补补补充充充 对于多元正态的相关矩阵，可以表述为下式： X = B BT(32) 其中B是
28、一个下三角矩阵： B = b1100 b21b220 . . . . . . . . bp1bp2bpp (33) 其中， bij= ij j1 P s=1 bisbjs s 1 j1 P s=1 b2 js (34) 风风风险险险模模模型型型与与与非非非寿寿寿险险险精精精算算算学学学 1 Copula的的的概概概念念念和和和性性性质质质2 copula的的的构构构造造造3 应应应用用用与与与拟拟拟合合合4 数数数据据据实实实例例例参参参考考考文文文献献献附附附录录录：R CODING2.1 Archimedean法法法2.2 复复复合合合函函函数数数法法法2.3 两两两种种种方方方法法法的的
29、的区区区别别别和和和联联联系系系2.4 关关关联联联的的的测测测度度度2.5 随随随机机机模模模拟拟拟2.6 正正正态态态copula的的的补补补充充充 满足给定相关矩阵的多元正态分布的构造可以按照如下步骤实 现： Notation 5.16 1 Step1.由(34)式构造B矩阵(33). 2 Step2.产生p维的独立正态随机变量矩 阵，Y = (Y1,Y2, ,YP)T. 3 Step3.产生Z = B Y 就得到具有给定相关矩阵的多元正态分 布的模拟值. 风风风险险险模模模型型型与与与非非非寿寿寿险险险精精精算算算学学学 1 Copula的的的概概概念念念和和和性性性质质质2 copu
30、la的的的构构构造造造3 应应应用用用与与与拟拟拟合合合4 数数数据据据实实实例例例参参参考考考文文文献献献附附附录录录：R CODING2.1 Archimedean法法法2.2 复复复合合合函函函数数数法法法2.3 两两两种种种方方方法法法的的的区区区别别别和和和联联联系系系2.4 关关关联联联的的的测测测度度度2.5 随随随机机机模模模拟拟拟2.6 正正正态态态copula的的的补补补充充充 多元正态分布各边缘分布之间的相关性刻画如下： Kendall 相关系数： (Xi,Xj) = 2 arcsin(ij 2 )(35) Spearman秩相关系数： Rc(Xi,Xj) = 6 arc
31、sin ?ij 2 ? (36) 风风风险险险模模模型型型与与与非非非寿寿寿险险险精精精算算算学学学 1 Copula的的的概概概念念念和和和性性性质质质2 copula的的的构构构造造造3 应应应用用用与与与拟拟拟合合合4 数数数据据据实实实例例例参参参考考考文文文献献献附附附录录录：R CODING2.1 Archimedean法法法2.2 复复复合合合函函函数数数法法法2.3 两两两种种种方方方法法法的的的区区区别别别和和和联联联系系系2.4 关关关联联联的的的测测测度度度2.5 随随随机机机模模模拟拟拟2.6 正正正态态态copula的的的补补补充充充 有了这些定理形式给出的结论，在给
32、定边缘分布和相关性的度 量，我们就可以进行Monte Carlo模拟： Notation 5.17 1 Step1. 利用(35)或者(36)式计算多变量之间两两相关系数： ij= sin ? 2 (Xi,Xj) ? = sin ? 6 Rc(Xi,Xj) ? (37) 2 Step2. 产生p维的独立正态随机变量矩 阵，Y = (Y1,Y2, ,YP)T. 3 Step3. 产生Z = B Y 就得到具有给定相关矩阵的多元正态 分布的模拟值. 4 Step4. 计算ui= (Zi). 5 Step5. 计算Xi= F1 i (ui). 风风风险险险模模模型型型与与与非非非寿寿寿险险险精精精算
33、算算学学学 1 Copula的的的概概概念念念和和和性性性质质质2 copula的的的构构构造造造3 应应应用用用与与与拟拟拟合合合4 数数数据据据实实实例例例参参参考考考文文文献献献附附附录录录：R CODING2.1 Archimedean法法法2.2 复复复合合合函函函数数数法法法2.3 两两两种种种方方方法法法的的的区区区别别别和和和联联联系系系2.4 关关关联联联的的的测测测度度度2.5 随随随机机机模模模拟拟拟2.6 正正正态态态copula的的的补补补充充充 Figure 13: 二维正态copula风风风险险险模模模型型型与与与非非非寿寿寿险险险精精精算算算学学学 1 Copula的的的概概概念念念和和和性性性质质质2 copula的的的构构构造造造3 应应应用用用与与与拟拟拟合合合4 数数数据据据实实实例例例参参参考考考文文文献献献附附附录录录：R CODING2.1 Archimedean法法法2.2 复复复合合合函函函数数数法法法2.3 两两两种种种方方方法法法的的的区区区别别别和和和联联联系系系2.4 关关关联联联的的的测测测度度度2.5 随随随机机机模模模拟拟拟2.6 正正正态态态copula的的的补补补充充充 二维正态copula第一维密度风风风险险险模模模型型型与与与非非非寿寿寿险险险精精精算算算学学学