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1、学习资料收集于网络，仅供参考学习资料第六章实数知识网络：考点一、实数的概念及分类1、实数的分类2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有的数，如3+8 等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001等；（4）某些三角函数，如sin60o等（这类在初三会出现）判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如0,16是有理数，而不是无理数。3、有理数与无理数的区别（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成
2、是分母为1 的分数），而无理数则不能写成分数形式。考点二、平方根、算术平方根、立方根1、概念、定义（1）如果一个正数x 的平方等于a，即，那么这个正数x 叫做 a的算术平方根。（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。如果，那么 x 叫做 a 的平方根。（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。如果，那么 x 叫做 a 的立方根。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 11 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料2、运算名称（1）求一个正数a 的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。（2）
3、求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。3、运算符号（1）正数 a 的算术平方根，记作“a”。（2）a(a0)的平方根的符号表达为。（3）一个数 a 的立方根，用表示，其中a是被开方数，3 是根指数。4、运算公式4、开方规律小结（1）若 a0，则a的平方根是a，a的算术平方根a；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0 的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是0。（2）若a0，则a没有平方根和算术平方根；若a为任
4、意实数，则a的立方根是。（3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。考点三、实数的性质有理数的一些概念，如倒数、相反数、绝对值等，在实数范围内仍然不变。1、相反数（1）实数 a 的相反数是-a；实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零）（2）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果 a 与 b 互为相反数，则有 a+b=0，a=-b，反之亦成立。2、绝对值（1）要正确的理解绝对值的几何意义，它表示的是数轴上的点到数轴原点的距离，数轴分为正负两半，那么不管怎样总有两个数字相等的正负两个数到原点的距离相等。|a|
5、0。（2）若|a|=a，则a 0；若|a|=-a，则a 0，零的绝对值是它本身。（3）)0()0(aaaa3、倒数（1）如果 a与 b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。实数a 的倒数是1/a（a0）（2）倒数等于本身的数是1 和-1。零没有倒数。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 11 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料考点四、实数的三个非负性及性质1、在实数范围内，正数和零统称为非负数。2、非负数有三种形式（1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a|0；（2）任何一个实数a 的平方是非负数，即0；（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即()。3、非负
6、数具有以下性质（1）非负数有最小值零；（2）非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.考点五、实数大小的比较实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：（1）正数大于0，0 大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；（2）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；（3）两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法。（4）对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。常用有理数来估计无理数的大致范围，要想正确估算需记熟020 之间整数的平方和010 之间整数的立方考点六、实
7、数的运算（1）在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算（2）有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立（3）实数混合运算的运算顺序与有理数的运算顺序基本相同，先乘方、开方、再乘除，最后算加减。同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里。（4）在实数的运算中，当遇到无理数时，并且需要求结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。6.1 平方根同步练习（1）知识点：1.算术平方根：一般地，如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a 的算术平方根。A叫做被开方数。1平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根2平方根的性质：正数
8、有两个平方根，互为相反数 0的平方根是 0 负数没有平方根一、基础训练 19 的算术平方根是（）A-3 B3 C 3 D81 2下列计算不正确的是（）A4=2 B 2(9)81=9 C 30.064=0.4 D3216=-6 3下列说法中不正确的是（）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 11 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料 A9 的算术平方根是3 B16的平方根是 2 C27 的立方根是 3 D立方根等于-1 的实数是-1 4364的平方根是（）A 8 B4 C 2 D2 5-18的平方的立方根是（）A 4 B18 C-14 D14 61681的平方根是
9、_；9 的立方根是 _二、能力训练 7一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个数的算术平方根是（）Ax+1 Bx2+1 Cx+1 D21x 8若 2m-4 与 3m-1是同一个数的平方根，则m的值是（）A-3 B1 C-3 或 1 D-1 9已知 x，y 是实数，且34x+（y-3）2=0，则 xy 的值是（）A4 B-4 C94 D-94 10若一个偶数的立方根比2 大，算术平方根比4 小，则这个数是_三、综合训练 11利用平方根、立方根来解下列方程（1）（2x-1）2-169=0；（2）4（3x+1）2-1=0；（3）274x3-2=0；（4）12（x+3）3=4平方根第 2 课时要点感知
10、 1 一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的_或_,这就是说,如果 x2=a,那么 x 叫做 a 的_.预习练习1-1(2014梅州)4 的平方根是 _.1-236 的平方根是 _，-4 是_的一个平方根.要点感知2 求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，平方与开平方互为逆运算.正数有_个平方根,它们 _；0 的平方根是 _；负数 _.预习练习2-1 下列各数：0，(-2)2，-22，-(-5)中,没有平方根的是_.2-2下列各数是否有平方根？若有，求出它的平方根；若没有，请说明为什么？(1)(-3)2；(2)-42；(3)-（a2+1）.要点感知3正数a 的算术平方根可以用a表
11、示；正数a 的负的平方根可以用表示名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 11 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料_,正数 a 的平方根可以用表示_,读作“_”.预习练习3-1 计算：425=_，-425=_，425=_.知识点 1 平方根1.6 的平方根是()A.4 B.4 C.8 D.8 2.下面说法中不正确的是()A.6 是 36 的平方根B.-6 是 36 的平方根C.36 的平方根是 6 D.36 的平方根是6 3.下列说法正确的是()A.任何非负数都有两个平方根B.一个正数的平方根仍然是正数C.只有正数才有平方根D.负数没有平方根4.填表：a 2-2
12、37a294981 225 5.求下列各数的平方根：(1)100；(2)0.008 1；(3)2536.知识点 2 平方根与算术平方根的关系6.下列说法不正确的是()A.21 的平方根是21B.49的平方根是23C.0.01 的算术平方根是0.1 D.-5 是 25 的一个平方根7.若正方形的边长为a,面积为 S,则()A.S 的平方根是a B.a 是 S的算术平方根C.a=SD.S=a8.已知 25x2-144=0，且 x 是正数，求2513x的值.9.下列说法正确的是()A.因为 3 的平方等于9，所以 9 的平方根为3 B.因为-3 的平方等于9，所以 9 的平方根为-3 C.因为(-3
13、)2中有-3，所以(-3)2没有平方根D.因为-9 是负数，所以-9 没有平方根10.|-9|的平方根是()A.81 B.3 C.3 D.-3 11.计算：26=_,-27=_,25=_.12.若 8 是 m 的一个平方根，则m 的另一个平方根为_.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 11 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料13.(1)一个非负数的平方根是2a-1 和 a-5，这个非负数是多少？(2)已知 a-1 和 5-2a 是 m 的平方根，求a与 m 的值.挑战自我14.已知 2a-1 的平方根是 3,3a+b-1 的平方根是 4,求 a+2b 的平方根
14、.6.2 立方根要点感知1一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的_,即如果 x3=a,那么 _叫做 _的立方根.预习练习1-1-8 的立方根是()A.-2 B.2 C.2 D.-121-2-64 的立方根是 _,-13是_的立方根.要点感知2 求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方互为逆运算.正数的立方根是 _；负数的立方根是_；0 的立方根是 _.预习练习2-1下列说法正确的是()A.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B.一个数的立方根不是正数就是负数C.负数没有立方根D.一个不为零的数的立方根和这个数同号，0 的立方根是0 要点感知3一个数 a的立方
15、根可以用3a表示,读作“_”,其中 _是被开方数,_是根指数.预习练习3-1计算：327=_.知识点 1 立方根1.231的立方根是()A.-1 B.0 C.1 D.1 2.若一个数的立方根是-3,则该数为()A.-33B.-27 C.33D.27 3.下列判断：一个数的立方根有两个，它们互为相反数；若x3=(-2)3，则 x=-2；15 的立方根是315；任何有理数都有立方根，它不是正数就是负数.其中正确的有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个4.立方根等于本身的数为_.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 11 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料5.
16、364的平方根是 _.6.若 x-1 是 125 的立方根，则x-7 的立方根是 _.7.求下列各数的立方根：(1)0.216；(2)0；(3)-21027；(4)-5.8.求下列各式的值：(1)30.001；(2)3343125；(3)-319127.9.下列说法正确的是()A.一个数的立方根有两个，它们互为相反数B.一个数的立方根比这个数平方根小C.如果一个数有立方根，那么它一定有平方根D.3a与3a互为相反数10.计算337的正确结果是()A.7 B.-7 C.7 D.无意义11.正方体 A 的体积是正方体B 的体积的 27 倍，那么正方体A 的棱长是正方体B 的棱长的()A.2 倍B.
17、3 倍C.4 倍D.5 倍12.-27 的立方根与81的平方根之和是_.13.计算：-364=_，337164=_.14.已知 2x+1 的平方根是 5，则 5x+4 的立方根是 _.15.若8a与(b-27)2互为相反数，求3a-3b的立方根.挑战自我16.请先观察下列等式：3227=2327，33326=33326，34463=43463，(1)请再举两个类似的例子；(2)经过观察,写出满足上述各式规则的一般公式.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 11 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料6.3 实数第 1 课时实数要点感知1 无限 _小数叫做无理数,_和
18、_统称为实数.预习练习1-1 下列说法：有理数都是有限小数；有限小数都是有理数；无理数都是无限小数；无限小数都是无理数，正确的是()A.B.C.D.1-2实数-2，0.3，17，2，-中，无理数的个数是()A.2 B.3 C.4 D.5 要点感知2实数可以按照定义和正负性两个标准分类如下：正有理数零负有理数实数正无理数负无理数正整数正有理数正分数正无理数实数负整数负有理数负分数负无理数预习练习2-1 给出四个数-1，0，0.5，7，其中为无理数的是()A.-1 B.0 C.0.5 D.7要点感知3 _和数轴上的点是一一对应的，反过来，数轴上的每一个点必定表示一个 _.预习练习3-1 和数轴上的
19、点一一对应的是()A.整数B.有理数C.无理数D.实数3-2 如图，在数轴上点A 表示的数可能是(）A.1.5 B.-1.5 C.-2.6 D.2.6 知识点 1 实数的有关概念1.下列各数中是无理数的是()A.2B.-2 C.0 D.132.(2013安顺)下列各数中，3.141 59，-38，0.131 131 113，-，25，-17，无理数的个数有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4个3.写出一个比-2 大的负无理数 _.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 11 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料知识点 2 实数的分类4.下列说法正确的是()A.实
20、数包括有理数、无理数和零B.有理数包括正有理数和负有理数C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数D.无论是有理数还是无理数都是实数5.实数可分为正实数，零和 _.正实数又可分为_和_，负实数又可分为 _和_.6.把下列各数填在相应的表示集合的大括号内.-6，-23，-|-3|，227，-0.4，1.6，6，0，1.101 001 000 1整数：,，负分数：,，无理数：,.知识点 3 实数与数轴上的点一一对应7.下列结论正确的是()A.数轴上任一点都表示唯一的有理数B.数轴上任一点都表示唯一的无理数C.两个无理数之和一定是无理数D.数轴上任意两点之间还有无数个点8.若将三个数-3，7，17表
21、示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是_.9.如图,直径为1 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周(不滑动),圆上的一点由原点到达点 O,点 O所对应的数值是_.10.下列实数是无理数的是()A.-2 B.13C.4D.511.下列各数：2，0，9，0.23，227，0.303 003(相邻两个3 之间多一个0)，1-2中，无理数的个数为()A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个12.有下列说法：带根号的数是无理数；不带根号的数一定是有理数；负数没有立方根；-17是 17 的平方根.其中正确的有()A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-
22、第 9 页，共 11 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料13.若 a 为实数，则下列式子中一定是负数的是()A.-a2B.-(a+1)2 C.-2aD.-(a2+1)14.如图,在数轴上表示实数15的点可能是()A.点 P B.点 Q C.点 M D.点 N 15.16.下列说法中,正确的是()A.2，3，4都是无理数B.无理数包括正无理数、负无理数和零C.实数分为正实数和负实数两类D.绝对值最小的实数是0 17.18.有一个数值转换器,原理如下：当输入的x 为 64 时,输出的 y 是()A.8 B.8C.12D.1817.在下列各数中,选择合适的数填入相应的集合中.-15，39，2
23、，3.14，-327，0，-5.123 45，0.25，-32.有理数集合：,无理数集合：,正实数集合：,负实数集合：,18.有六个数：0.142 7，(-0.5)3，3.141 6，227，-2，0.102 002 000 2，若无理数的个数为x,整数的个数为y,非负数的个数为z,求 x+y+z 的值.挑战自我19.小明知道了2是无理数,那么在数轴上是否能找到距原点距离为2的点呢？小颖在数轴上用尺规作图的方法作出了在数轴上到原点距离等于2的点,如图.小颖作图说明了什么？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 11 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 11 页 -