第一讲多项式理论.ppt

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1、现在学习的是第1页，共68页知识脉络图解重因式一元多项式概念最大公因式多项式的相等及运算带余除法综合除法余数定理多项式恒等及多项式函数的运算整除性因式分解方程的根不可约多项式因式分解唯一性定理数域多项式函数多元多项式概念多元多项式函数对称多项式对称多项式基本性质复数域上的因式分解实数域上的因式分解有理多项式不可约判定本原多项式求有理根实多项式根的性质代数学基本定理根与系数的关系现在学习的是第2页，共68页重点、难点解读 这部分内容对多项式理论作了较深入、系统、全面地论述，内容可分为一元多项式与多元多项式两大部分，以一元多项式理论为主。一元多项式可归纳为以下四个方面：（1）一般理论：包括一元多项

2、式的概念、运算、导数及基本性质。（2）整除理论：包括整除、最大公因式、互素的概念与性质。（3）因式分解理论：包括不可约多项式、因式分解、重因式、实系数与复系数多项式的因式分解、有理系数多项式不可约的判定等。现在学习的是第3页，共68页 （4）根的理论：包括多项式函数、多项式的根、代数基本定理、有理系数多项式的有理根求法、根与系数的关系等。一元多项式的内容十分丰富，重点是整除与因式分解的理论，最基本的结论是带余除法定理、最大公因式存在定理、因式分解唯一性定理。在学习的过程中，如能把握这两个重点和三大基本定理，就能够整体把握一元多项式的理论。对于多元多项式，则要理解 元多项式、对称多项式等有关概念

3、，掌握对称多项式表成初等对称多项式的多项式的方法。n现在学习的是第4页，共68页一、数域的判定 设P是至少含有两个数（或包含0与1）的数集，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍是P中的数，则称P为一个数域。1、数域的概念2、数域的有关结论 （1）所有的数域都包含有理数域，即有理数域是最小的数域。（2）在有理数域与实数域之间存在无穷多个数域；在实数域与复数域之间不存在其他的数域。例1、设P是一个数集，有非零数 ，且P关于减法、除法（除数不为零）封闭，证明P是一个数域。aP证 因为 ，所以aP0,1.aaaPPa 现在学习的是第5页，共68页有,a bP0,ababP即P对加法封闭。

4、,a bP若 中有一个为零，则,a b0.abP若 ，则0ab.1aabPb从而P对乘法封闭。综上所述，P关于加法、减法、乘法、除法都封闭，所以P是一个数域。例2、证明：实数域与复数域之间不存在其他的数域。证 设P是任意一个包含R且不同于R的数域，且P还包含至少一个复数 。0abi b 由于P是一个数域，所以.abiaiPb但,RP从而对任意实数 都有 ，,a babiP即P包含了全体复数。故P=C。现在学习的是第6页，共68页二、一元多项式的概念1、一元多项式的概念形式表达式 1110nnnnf xa xaxa xa称为数域P上文字 的一元多项式，其中x01,na aaP 是非负整数。当 时

5、，称多项式 的次数为n.n0na f x记为.f xn2、多项式的相等关系设 1110nnnng xb xbxb xb 1110nnnnf xa xaxa xa 0,1,2,iif xg xab in则现在学习的是第7页，共68页3、次数公式 （1）max,;fxg xfxg x （2）.fx g xfxg x 4、一元多项式环 所有系数在数域P中的一元多项式全体称为数域P上的一元多项式环，记为 ，称P为 的系数域。P x P x5、一元多项式环的有关结论 多项式的加、减、乘运算对 封闭，且多项式的加法、乘法均满足交换律与结合律，乘法对加法满足分配率，乘法还满足消去律。P x现在学习的是第8页

6、，共68页 例1、令 50494847504911fxxxxxxxxx求 的奇次项系数之和。f x 解 法1 由于515049111xxxxx 5150494847111xxxxxxx 两式相乘得 102211xxfx 由于 与 无奇次项，从而 不可能有奇次项，故其奇次项系数之和等于零。1021x21x f x 法2 因为 ，所以 是偶函数，于是 的奇次项系数全为零。故其奇次项系数之和等于零。f x f x fxf x现在学习的是第9页，共68页 例2、设 为一多项式，若 f x f xyf xfy则 或 0f x 1.f x 证 若 ，则证毕。若 ，由于 0f x 0f x 22fxf xx

7、f xf xfx所以 只能是零次多项式。f x令 ，又因为 0f xA 220000AfffA所以 ，此即 1.f x 1A现在学习的是第10页，共68页三、多项式的带余除法及整除1、带余除法 定理（带余除法）设 ,0,f xg xP xg x则存在唯一的多项式 使 ,q xr xP x f xq x g xr x其中 或 0r x .r xg x 2、整除的概念 设 ，如果存在多项式 使 ，则称 整除 。,f xg xP x ,h xP x f xh x g x f x g x3、整除的充分必要条件 如果 ，则 的充分必要条件是用 0g x g xf x g x除 所得的余式 f x 0.r

8、 x 现在学习的是第11页，共68页 注 多项式的整除性是 中元素间的一种关系，不是多项式的运算。整除概念与带余除法有密切的联系，我们不能用带余除法来定义整除，因为这样定义整除，将会遗漏零多项式整除零多项式的情形。P x4、整除的性质 （1）任一多项式 一定整除它自身，即 f x ;f xf x （2）0;f x （3）零次多项式能整除任一多项式；（4）零次多项式只能被零次多项式整除；（5）零多项式只能整除零多项式；（6）如果 ，则 ，其中 为非零常数，为常数；g xf x kg x lf xkl （7）如果 ，且 ，则 f x g x g x h x ;f x h x现在学习的是第12页，共

9、68页 （8）如果 ，又 为任意多项式，if x gx iux1,im 则 1122mmfxuc gxuc gxuc gx （9）如果 ，且 ，则 f x g x g xf x ,f xcg x其中 为任意常数。c （10）多项式 有相同的因式与倍式；f xcf x与 （11）两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变。5、综合除法 设以 除 g xxa 1110,nnnnfxa xaxa xa所得的商 ，及余式 则 1110nnq xbxb xb 0,r xc比较 两端同次幂的系数得 f xq x g xr x1211011000,nnnnnba baabbaab caab现在学习的是第

10、13页，共68页 6、判定整除的方法 为证明一个多项式 整除一个多项式 ，如果其系数已具体给出时，通常采用带余除法和待定系数法。f x g x 如果 的系数未具体给出时，可采用以下方法：f x 现设出 的全部复根，并假设 无重根，即 g x g x 12kg xa xxx其中 互异。12,k 再证 12,kxxx01,2,ifik则有从而 1,2,ixf xik 12kxxxfx .g xfx这是因为两两互素，故现在学习的是第14页，共68页 例1、将多项式 43261271f xxxxx按 的 方幂展开。1x 解 法1 应用综合除法，即对于 次多项式 ，用 逐次除所得的商，得 n f x1x

11、 43121314f xxxx 法2 应用泰勒公式，由泰勒公式 42341111111112!3!4!ffff xffxxxx得 411114,13,0,2,1.2!3!4!fffff 从而 43121314f xxxx现在学习的是第15页，共68页 例2、若 ，问是否必有？若不成立，举出反例。若成立，请说明理由。1nxf x1nnxf x 解 成立。法1 因为 ，所以 ，即1nxf x 10nf 10.f从而 ，故存在 ，使得 1xf x g x 1.f xxg x于是 ，此即 1nnnf xxg x1.nnxf x 法2 有 个不同的复根，设为1nx n12,n 则有 ，于是11,2,ni

12、in 1101,2,nnifffin这表明 都是 的根，故12,n 1.nnxf xnf x现在学习的是第16页，共68页 例3、证明 （是三个任意的正整数）。2331321mnpxxxxx,m n p 分析 用带余除法及待定系数法不易证明时，可以考虑采用因式定理来证明，即 的充分必要条件是 xaf x 0.f a 证 可求得 的根为21xx121313,22ii 所以 ，又由2121xxxx 3211101,2iiiii 知 ，从而31i3331.mnpiii设 33132,mnpf xxxx则有331322101,2mnpiiiiiifi 现在学习的是第17页，共68页故由因式定理知 且

13、，又因为 1xf x 2xf x1x2x且 互素，从而 12xxfx即 21.xxf x 注 本例证明中，是指在复数域C上，而命题本身可理解为在一般数域P上讨论整除问题。这是因为整除的概念是在带余除法基础上定义的，而带余除法所得的商及余式不随系数域的扩大而改变，因此，上述多项式在P上与在C上整除是一致的。12xxfx四、最大公因式的计算与证明 1、最大公因式的概念 设 ，如果 满足 且 ，则称 为 与 的一个公因式；又如果 与 的任一公因式都能整除 ，则称 为 与 的一个最大公因式。,f xg xP x d xP x d xf x d x g x f x g x g x f x f x g x

14、 d x d x d x现在学习的是第18页，共68页 2、最大公因式的性质 （1）中任意两个多项式 与 一定有最大公因式。两个零多项式的最大公因式是零多项式，它是唯一确定的。两个不全为零的多项式的最大公因式总是非零多项式，它们之间只有常数因子的差别；最高次项系数为1的最大公因式是唯一确定的。P x f x g x （2）设 如果有 ,0,f xg xP xg x f xq x g xr x则 与 的最大公因式一定是 与 的最大公因式，而 与 的最大公因式也一定是 与 的最大公因式。特别地，有 。（这也是用辗转相除法求最大公因式的根据）f x g x f x g x g x g x r x r

15、 x ,f xg xg xr x现在学习的是第19页，共68页 （3）设 ，如果 是 与 的最大公因式，则必有 ，使 ,f xg xP x d xP x f x g x ,u xv xP x .d xu x f xv x g x （4）最大公因式不因数域P的扩大而改变。2、求最大公因式的方法 （1）辗转相除法；（2）因式分解法 如果求得 与 的典型分解式 f x g x 1212skkksf xapx pxpx 1212slllsg xbpx pxpx其中 是首项系数为1的不可约多项式，为常数，为非零整数，令 ，则 ipx,a b,iik lmin,iiink l 1212,snnnsf xg

16、 xpx pxpx现在学习的是第20页，共68页 例1、证明：若 ，则0adbc ,fxg xafxbg xcfxdg x 证 令 ,d xfxg x 11,fxafxbg xgxcfxdg x由于 ,d xfxd x g x所以 11,.d xfxd x gx若 11,.xfxx gx由于 111f xdfxbgxadbc 111g xcfxagxadbc所以 ,xf xx g x从而 .x d x故 11,d xfxgx由于 的首项系数为1，故 d x ,fxg xafxbg xcfxdg x现在学习的是第21页，共68页 例2、设 不全为0，求证：,f xg x,nnnf gfg（为正整

17、数）n 证 法1 令 ，即证 ,d xfxg x,.nnndxfg因为 ,d xfxd x g x所以 11,f xd x fxg xd x gx且11,1f g于是 11,.nnnnnnfxdx fxgxdx gx此即 ,.nnnndxfxdx gx再由式有11,1.nnfg从而存在 ，使得 ,u xv x 111nnu x fxv x gx两边乘 得 ndx nnnu x fxv x gxdx ,nnxfxx gx由上式知 .nx dx故 ,.nnndxfxgx现在学习的是第22页，共68页法2 令 ，则 ,d xfxg x 11,f xd x fxg xd x gx且11,1f g 11

18、,1.nnfxgx从而故有 11,nnnnnnfxgxdx fxdx gx 11,.nnnndxfxgxdx 五、互素多项式的判定与证明 1、互素多项式的概念 如果 的最大公因式为非零常数，或 ,f xg xP x ,1f xg x，则称 与 互素。f x g x 注 零多项式与任一多项式都不互素。若多项式 互素，并不要求其中任意两个多项式都互素。12,3mfxfxfxm 现在学习的是第23页，共68页 2、互素多项式的性质 （1）设 ，则 与 互素的充分必要条件是，存在 ，使 ,f xg xP x f x g x ,u xv xP x 1.u x f xv x g x （2）如果 ，且 ，则

19、 ,1f xg x fx g x h x .f x h x （3）如果 ，且 ，则 ,1f xg x ,fx h xg x h x .f x g x h x （4）如果 ，则 ,1,1f xg xf xh x ,1.f xg x h x 3、判定互素多项式的方法 主要利用互素的充分必要条件，即 ,11.f xg xu x f xv x g x 现在学习的是第24页，共68页 例1、设 都是 中的非零多项式，且 ,f xg x P x 1,mg xsx gx这里 ，又若1m 1,1s xgx且 。证明：不存在 ，且 s xf x 1,fxr xP x 0,r xr xs x 使 111mmf x

20、r xfxg xsxsx gx 11fxr x gxfx s x 证 用反证法。若存在 使式成立，则用 乘式两端，得 1,fxr x g x因为 ，由式有 1,s xf xs xfx s x 1.s x r x gx但 ，所以 ，这与 1,1s xgx s x r x r xs x 矛盾。现在学习的是第25页，共68页 证 必要性 设 ，则 f x g x ,g xf x h x 例2、设 与 是数域P上两个一元多项式，为给定的正整数。求证：的充分必要条件是 f x g x f x g x .kkfx gxk其中 ，两边 次方得 h xP xk ,kkkgxfx hx故 .kkfx gx充分性

21、 设 .kkfx gx（1）若 ，则 0f xg x .f x g x （2）若 不全为零，则令 ,f xg x ,d xfxg x有 11,fxd x fxg xd x gx，且 11,1fxgx于是 11,kkkkkkfxdx fxgxdx gx现在学习的是第26页，共68页 11,kkkkkkfxdx fxgxdx gx由于 .kkfx gx所以存在 ，使得 h xP x ,kkgxfx h x将上式代入得 11kkkkdx gxdx fx h x两边消去 ，得 kdx 11,kkgxfx h x由上式得 ，但 ，故 11,1fxgx 11kfx gx 111.kfx gx这样继续下去有

22、 ，由于 11fx gx 11,1,fxgx所以 ，其中 为非零常数。1fxcc故 1,fxd x fxcd x从而 也是 与 f x g x f x的一个最大公因式。则有 .f x g x现在学习的是第27页，共68页 六、不可约多项式的判定与证明 1、不可约多项式的概念 如果数域P上次数大于零的多项式 不能表示成数域P上两个次数比它低的多项式的乘积，则称 是数域P上的不可约多项式。P x P x 注 零多项式与零次多项式既不能说是可约的，也不能说是不可约的。多项式的可约性与多项式所在的数域密切相关。互素多项式指的是 上的两个多项式之间的一种关系，而不可约多项式是某个多项式本身的一种特性，这

23、是完全不同的两个概念，但在讨论问题时，互素多项式与不可约多项式的性质又是互相利用的，要学会灵活运用。P x现在学习的是第28页，共68页 2、不可约多项式的性质 （1）如果 是数域P上的不可约多项式，则 也是P上的不可约多项式，其中 是P中的非零数。P x cP xc （2）如果 是数域P上的不可约多项式，则对P上的任一多项式 ，必有 或 P x f x ,1p xf x .p xf x （3）如果 是数域P上的不可约多项式，P x ,f xg x是P上的任意两个多项式，若 ，则必有 p xf xg x .p x g x p xf x或 （4）如果不可约多项式 整除 P x 12,sfx fx

24、fx其中 ，则 至少可以整除这些多项式中的某一个。2s P x3、不同数域上的不可约多项式 在复数域上，不可约多项式只能是一次式；在实数域上，不可约多项式只能是一次式或判别式小于零的二次式；在有理数域上，存在任意次的不可约多项式。现在学习的是第29页，共68页4、有理系数多项式的有关结论 （1）爱森斯坦判别法 设 1110nnnnf xa xaxa xa是一个整系数多项式，如果存在素数 ，使p 2010,1,2,1;2;3inp a inp ap a则 在有理数域上不可约。f x （2）有理系数多项式 在有理数域上不可约的充分必要条件是，对任意有理数 和 ，多项式 f x0a b g xf a

25、xb在有理数域上不可约。5、判断有理系数多项式不可约的方法 （1）爱森斯坦判别法；（2）用反证法；（3）讨论有理根。判定2次和3次有理多项式不可约时，只需证明它没有有理根。但当次数大于3时，结论不再成立。如 没有有理根，但它在有理数域上是可约的。221f xx现在学习的是第30页，共68页 例1、证明：有理系数多项式 在有理数域上不可约的充分必要条件是，对任意有理数 和 ，多项式 f x0a b g xf axb在有理数域上不可约。证 必要性 已知 不可约，假设 在有理数域上可约，即 f x g x 12g xf axbgx gx其中 是有理系数多项式，且次数小于 的 12,gxgx g x有

26、理系数多项式，次数不变，且有次数，在上式中用 代 ，所得各多项式仍为11xabx 1211bbf xgxgxaaaa这说明 在有理数域上可约，矛盾。故 在有理数域上不可约。f x g x现在学习的是第31页，共68页 12f xfx fx其中 是有理数域上次数小于 的多项式，由此可得 12,fxfx f x 12g xf axbfaxb faxb f x这与 不可约矛盾。故 在有理数域上不可约。g x 例2、设 ，其中 121nf xxxx12,n 是两两不同的整数。证明：在有理数域 f x上不可约。证 假设 在有理数域上可约，则 可以分解为两个次数较低的整系数多项式之积，即 f x f x

27、f xg x h x 充分性 已知 不可约。假设 可约，设 g xf axb f x现在学习的是第32页，共68页 ,g xh x其中 是整系数多项式，且 ,.g xnh xn由题设可得 1,2,iiifghin此时有 或1,1iigh 1,1,1,2,iighin 即总有01,2,iighin可见多项式 有 个互异的根。但 g xh xn g xh xn这与多项式在任一数域中的根的个数不超过多项式的次数相矛盾，所以 在有理数域上不可约。f x 121nf xxxx现在学习的是第33页，共68页 例3、设 是素数，为整数，而 且 ，证明：没有有理根。pa 1pfxaxpx21pa f x证 令

28、 ，则1xy 1111pg yfya yp y1111pppppayaC yaCyapyp11ppayp ayayyap1110ppppb ybyb yb其中110,1,1.ppba bapbap bap1210,;ppp bbb b.pp b因为 ，即 ，则 。且由 pp bp aaps21pa，得 21.ap t将 代入整理得aps21p tpsp pts矛盾。故.pp b现在学习的是第34页，共68页20.p b否则 ，即 ，利用20p b21pap21pa，得 ，矛盾。2pp 由艾森斯坦因判别法知 在Q上不可约，由于 f x g y g y与 在Q上有相同的可约性，故 在有理数 f x

29、域上不可约。七、重因式的判定与证明1、因式分解唯一性定理 （1）令f(x)是F x的一个次数大于零的多项式，并且 ,2121xqxqxqxpxpxpxfsr即，如果不计零次因式的差异，多项式f(x)分解成不可约因式乘积的分解式是唯一的.其中),2,1,2,1()(sjrixqxpji与ic为F上不可约多项式，是F 的不为零的数，则 ，且适当调整的位置可使sr()(1,2,).iiipxc q xir现在学习的是第35页，共68页 （2）数域 F上任一次数大于零的多项式 都有唯一的典型分解式 f x 1212trrrsf xapx pxpx其中 为 的首项系数，是数域F上首项系数为1的不可约多项

30、式且两两互异，而 都是正整数。a f x 12,spxpxpx12,tr rr （3）如果已知 和 的典型分解式，则 和 的最大公因式就是那些同时在 和 的典型分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，方幂的指数等于它在 f x g x f x g x f x g x f x g x 和 中所带的方幂指数中较小的一个。2、重因式的概念 设 是数域P上的不可约多项式，为非负整数，如果 且 ，则称 是 的 重因式。,f xP xp xk 1kpxf x kpxf xk f x p x现在学习的是第36页，共68页3、重因式的有关结论 （1）如果不可约多项式 是 的 重因式，则它是 的 重因式。p x

31、f x1k k fx1k （2）如果不可约多项式 是 的 重因式，则它是 的因式，但不是 的因式。p x f x1k k 1,kfxfxfx kfx （3）不可约多项式 是 的重因式的充分必要条件是，是 与 的公因式，即 p x f x p x f x fx ,p xf xfx （4）多项式 没有重因式的充分必要条件是 与 互素。即 f x f x fx ,1f xfx现在学习的是第37页，共68页4、判断多项式有无重因式的方法 第一步 由 求 ，利用辗转相除法求出 f x fx ,;f xfxd x f x ,;f xfxd x 第二步 如果 ，则 无重因式；如果 1d x f x 1d x

32、，则 的每一个不可约因式都是 的重因式。如果要求出 的所有互异不可约因式，先计算 d x f x f x ,f xg xf xfx则比 次数低且较简单的 的所有不可约因式即是 的所有互异不可约因式。f x g x f x 第三步 为确定 的不可约因式 的重数 只需累次（次）用带余除法以 除 及其商式，直至不能整除，便知重数 了。f x ipxiririr ipx f x现在学习的是第38页，共68页 例1、设复系数非零多项式 没有重因式，证明：f x ,1f xfxf x 证 因为 无重因式，所以 f x ,1.fxf x任取 与 的公因式 ，则 f xfx f x x xf xfx且 xf

33、x于是 xf xfxf x即 .xfx即 是 与 的公因式，从而 。故 x f x fx 1x ,1f xfxf x现在学习的是第39页，共68页 例2、证明：数域P上一个 次多项式 能被它的导数整除的充分必要条件是0n f x nf xa xb其中,.a bP 证 充分性 因为 1,nnf xa xbfna xb所以 .fxf x 必要性 法1 利用典型分解式，设 的典型分解式为 f x 1112srrrsf xapx pxpx其中 是P上首项系数为1的不可约多项式，是 的首项系数，是正整数且 1,2,ipxisa f x1,2,ir is12srrrn则 1211112srrrsfxpx

34、pxpx g x此处 不能被任何 整除。1,2,ipxis g x现在学习的是第40页，共68页 因为 ，所以 fxf x 12.sg xpx pxpx可见 可能的因式为非零常数及 g x 1,2,ipxis但故 0.g xc 设 ，则有 1,2,iipxm is 1 12 2s smrm rm rf xn 11221111ssm rmrmrfxn 即得121,snmmmn从而121.smmm这只有 ，且 ，于是11,1ms1rn 1.nf xap 设 ，则有 1pxxb.nf xa xb 法2 待定系数法 设 1110,0nnnninf xa xaxa xaaP a则 12111nnnnfx

35、na xnaxa 1,2,ipx g xis 1112srrrsf xapx pxpx 1211112srrrsfxpx pxpx g x现在学习的是第41页，共68页由 及 知，存在多项式 fxf x 1f xfx cxd使 f xfxcxd比较系数可得 ，此时1cn 111f xfxxdfxxndfxxbnnn其中 ，于是 ，即为1bdn 1,nf xfxfxna首项系数为1的 次多项式，故1n 11,nnfxxbf xnaxbf xfxfxna现在学习的是第42页，共68页 f x所以 的不可约因式只能是 及它的非零常数倍。xb由于 包括了 的全部不可约因式，,f xf xfx f x考

36、虑到 的次数是 ，所以 具有形式 f xn f x nf xa xb,a bP（）八、多项式函数与多项式的根1、多项式函数的概念 数域P上的两个多项式相等的充分必要条件是在它们所定义的数域上的多项式函数相等。设 若 由多项式 确定P中唯一的数 与之对应，则称 为P上的一个多项式函数。1110,nnnnf xa xaxa xaP x,aP f x f a f x现在学习的是第43页，共68页 注 在讨论多项式时，无论采用形式观点，还是函数观点是统一的。采用形式观点对统一处理多项式比较方便；采用函数观点对研究多项式的根和方程理论比较直观。2、多项式的根 设 ，如果 ，则称 为 的一个根。如果 是

37、的 重因式，则称 是 的 重根。,f xP x aP 0f a a f x f xxa f xkka 注 多项式的根是用函数观点来定义的。根据多项式根的定义，数域P上的每一个数都是零多项式的根，而零次多项式没有根。3、多项式函数的性质 （1）余数定理 设 ，用一次多项式 去除 所得的余式是一个常数，并等于函数值 ,f xP x aPxa f x.f a现在学习的是第44页，共68页 注 余数定理表明可以采用综合除法确定多项式 在 时的值 或验证 是 的单根或重根，这比直接将 代入 计算要方便得多。f xxa f a f x f xaa （2）因式定理 设 的充分必要条件是 ,f xP x aP

38、xaf x 0.f a （3）中 次多项式在数域P的根不可能多于个（重根按重数计算）。P x0n 4、代数基本定理 （1）定理 每个次数 的复系数多项式在复数域中至少有一个根。1 （4）设 ，且 次数都不超过 。如果对于 个不同的数 有 ,f xg xP x .f xg xn1n121,na aa ,iif ag a1,2,1in则 ,f xg x现在学习的是第45页，共68页5、根与系数的关系 设 是一元 次多项式12,n n 1110nnnnf xa xaxa xa（）0na 的 个根，则根与多项式的系数之间有关系n112;nnnaa 212131;nnnnaa 312312421;nnn

39、nnaa 11121231;nnnnaa 0121.nnnaa （2）次复系数多项式在复数域内恰有 个复根（重根按重数计算）。nn现在学习的是第46页，共68页6、实系数多项式的根 如果 是实系数多项式 的一个非实复数根，则它的共轭数 也是 的根，并且 与 有同一重数。由此可知，奇数次实系数多项式必有实根。f x f x7、有理系数多项式的根 设 是一个整系数 1110nnnnf xa xaxa xa多项式，而 是它的一个有理根，其中 互素，则rs,r s必有 。特别地，如果 的首项系数 则 的有理根都是整数，而且是 的因子。1,na 0,ns ar a f x f x0a 注 当有理系数多项

40、式 在有理数域上不可约，且 时，没有有理根。这里 是必须的，如 有有理根，但 且 不可约。f x 1f x f x 1f x 1f x 32f xx f x现在学习的是第47页，共68页 “有理系数多项式 没有有理根，则 在有理数域上不可约。”这一命题当 时是成立的，但当 时，命题不再成立，如 没有有理根，但它在有理数域上可约。f x f x023f 221f xx 4f x8、关于单位根 （1）若 是方程 的解，即满足 ，则称 为一个 次单位根。k10nx 1nkkn （2）由于 与它的微商 互素，所以 无重根，故对任意自然数 ，恰有 个不同的 次单位根 1nx 1nnx1nx nnn0,1

41、,1.kkn （3）利用复数的开方易知，个 次单位根为nn22cossin0,1,1kkkiknnn现在学习的是第48页，共68页 例1、当正整数 取何值时，有重因式。n 11nnf xxx 解 ，由重因式判定定理知，有重因式的充分必要条件是 与 不互素，即 与 有公共根 ，于是 111nnfxn xnx f x f x f x fx fx 110nnf 1110nnfnn即1111,1,nnnn从而1111111nnnn 可得111,11,nn这表明 与 都是 次单11n位根。令 ，则abi11.abi 由 得11222211.abab所以 。于是 ，即 是3次单位 13,22ab 1322

42、i 根，故31.n现在学习的是第49页，共68页 例2、设 432631f xxxaxbx 43232544g xxaxxbx其中 是整数，试求出使 有公共有理根的全部 ，并求出相应的有理根。,a b,a b ,f xg x 解 令 43244832016.h xg xxaxxbx由于 与 具有相同的根，从而可求 与 的公共有理根 h x g x f x h x f x可能的有理根为：11 11,.23 6 h x可能的有理根为：111,2,4,8,16,.24 因此，它们可能的公共有理根的范围是11,.2 现在学习的是第50页，共68页 （1）当 时，得 10,10fh88209abab 解

43、得15112.5512ab 由于 不是整数，所以1不是 与,a b f x g x的公共有理根。（2）当 时，得10,10fh28209abab 解得3128.2528ab 由于 不是整数，所以-1也不是 与,a b f x g x的公共有理根。现在学习的是第51页，共68页 （3）当 时，得110,022fh241015abab解得356.1112ab由于 不是整数，所以 也不是 与,a b f x g x的公共有理根。12 （4）当 时，得110,022fh211015abab 解得52ab 故仅有 是 与 f x g x的公共有理根。12此时，5,2.ab 现在学习的是第52页，共68页

44、 例3、试求以 为根的有理系数的不可约多项式。23 解 设 ，且以 为根，则 f xQ x2323,23,23也一定是 的根，这时令 f x 4223232323101f xxxxxxx下证 在 上不可约。f x Q x f x由于 如果有有理根，必为 ，但 都不是 的根。这就是说 不可能分解为一个一次式与三次式之积。f x f x f x11 f x 其次，如果 在 上分解为两个二次式之积，则必可在 上分解为两个二次式之积，即 f x Q x Z x 4222101f xxxxaxbxcxd 其中 ，比较两边系数得,a b c dZ现在学习的是第53页，共68页01001acbdacadbc

45、bd 由式知 或 。1bd1bd 当 时，由式得 ，再由式得1bdac 212.c 即 ，但 是整数，矛盾。212c c 当 时，得 ，所以 也不可能。1bd 28c 28c 因此 不可能分解为两个二次式之积。42101xx综上所述，在 不可约，即为所求。Q x 42101f xxx现在学习的是第54页，共68页 例4、设R是实数域，2121,ifxfxR x 12,f xfxifx并且 12,1.fxfxd x证明：与 有相同的解集。f x d x 证 因为 ，故设 12,d xfxfx 11,fxd x h x 22,fxd x hx 12,1h xhx于是 ，这表明 的根一定是都是 的根

46、。f x d x 12f xd xh xihx 反之，任取 的一个根 ，即 ，则有 f x0 x00f x0102000d xh xihxf x若 不是 的根，则由上式有0 x d x10200,h xhx此即 0102,xxh xxxhx这与 矛盾。12,1h xhx故 也是 的根，综上两步即证结论。0 x d x现在学习的是第55页，共68页 九、重要数域上多项式的因式分解1、复数域上多项式的因式分解 （1）复系数 次多项式在复数域上都可以唯一分解成一次因式的乘积。换句话说，复数域上任一次数大于1的多项式都是可约的。1n （2）复数域上 次多项式 具有典型分解式1n f x 1212srr

47、rnsf xaxxx其中 是 的首项系数，是不同的复数，na f x12,s 12,sr rr是正整数且12.srrrn2、实数域上多项式的因式分解 （1）实系数 次多项式在实数域上都可以唯一分解成一次因式与二次不可约因式的乘积。换句话说，实系数多项式在实数域上不可约的充分必要条件是1n 1f x或 2f xaxbxc且240.bac现在学习的是第56页，共68页 （2）实数域上 次多项式 具有典型分解式1n f x 1122111tskkllnsttf xaxxxp xqxp xq其中 是 的首项系数，是不同的实数，na f x12,s 121,stl ll kk 是互异的实数对，且满足11

48、22.stllkkn,1,2,iip q it240iipq1,2,it都是正整数，且满足3、有理数域上多项式的因式分解 （1）如果一个非零的整系数多项式 的各项系数互素，则称 是一个本原多项式。f x f x f x （2）设 是任一有理系数多项式，则存在有理数 及本原多项式 使r h x f xrh x且这种表法除了相差一个正负号是唯一的。现在学习的是第57页，共68页 （3）高斯引理 两个本原多项式的乘积还是本原多项式。（4）如果一个非零整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，则它一定能够分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积。（5）设 是整系数多项式，为本原多项式，如

49、果 ，其中 是有理系数多项式，则 一定是整系数多项式。f x g x f xg x h x h x h x （6）在有理数域上存在任意次数的不可约多项式。例1、设 是整系数多项式，若 为奇数且 中至少有一个是奇数或 和 都不能被3除尽，则多项式 无有理根。101nnnf xa xa xa0,na a 1,1ff 0,na a 1,1ff f x 证 若 有有理根 ，其中 与 互素，则 f xstst现在学习的是第58页，共68页 sf xxxtxs g xt因为s与t 互素，是本原多项式。因此 是整系数多项式。g xtxs 设 是任意整数，则 是整数，取 fts0,1,1,则有 11,nffa

50、ststs都是整数。又0,t a因为 与 都 0ana是奇数，从而s与t也都为奇数。这样 都是偶数。,ts ts从而 和 是偶数，与假设矛盾。1f1f 若 都不能被3除尽，则 也不能被3除尽。0,na a,s t于是 至少有一个能被3除尽。,st st由前面的证明知 1f和 至少有一个能被3除尽，这也与假设矛盾。1f 因此，在两种情况下，都没有有理根。f x现在学习的是第59页，共68页 例2、设 是一个整系数多项式。证明如果存在一个偶数 及一个奇数 ，使 与 都是奇数，则 没有整数根。f xab f a f b f x 101nnnf xa xa xa 证 设 ，其中 是整数，ia00,0.