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1、1 特征值与特征向量考研复习一、特征值和特征向量1、有关定义：(1)定义 1：设 A为 n阶矩阵，是一个数，如果存在非零的n 维向量，使得：A，则称是矩阵 A的一个特征值，非零向量为矩阵 A的属于（或对应于）特征值的特征向量。(2)定义 2：称矩阵AI称为 A的特征矩阵，它的行列式AI称为 A的特征多项式，AI0 称为 A的特征方程，其根为矩阵A的特征值。2、特征值、特征向量的求法：设 A是 n阶矩阵，则0是 A 的特征值，是 A的属于0的特征向量的充分必要条件是0是AI00 的根，是齐次线性方程组0)(0XAI的非零解。3、特征值、特征向量的基本性质(1)如果是 A的属于特征值0的特征向量，
2、则一定是非零向量，且对于任意非零常数 k，k也是 A的属于特征值0的特征向量。(2)如 果21,是 A 的 属于 特征 值0的 特 征 向 量,则 当02211kk时，2211kk也是 A的属于特征值0的特征向量。(3)n 阶矩阵 A与它的转置矩阵TA 有相同的特征值。(4)121122()nnntr Aaaa(5)An21(6)设是 A的特征值，且是 A属于的特征向量，则(a)kc是kcA的特征值，kkcAc；(b)若 A可逆，则,0且1是1A的特征值，1A1。上述结果在某种意义上可以说：()fA的特征值是()f，其中是 A的特征值。(7)设m,21为 n 阶矩阵A 的不同特征值。m,21分
3、别是属于名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 19 页 -2 m,21的特征向量，则m,21线性无关。4、典型例题例 1(四/93)设 2 是可逆矩阵 A的一个特征值，则1231A有一特征值为()。A、34B、43C、21D、41解：1212133()34AA，选 B练习：1、(一/98)设是 n阶矩阵 A的一个特征值，则EA2*)(必有特征值。解：因为*1AA A，所以*A 的特征值为1A，从而221A是EA2*)(的一个特征值。2、(三/08)设三阶矩阵 A的特征值分别为1,2,2，则14AE。解：14AE的三个特征值为3,1,1，所以143AE3、(四/96)设有
4、四阶方阵 A满足：02AE，EAAT2，0A。求*A 的一个特征值。解：由02AE知：2是 A的一个特征值由EAAT2，0A知：4A所以*A 的一个特征值为42 22例 2(一/95)设 A是 n阶矩阵，满足EAAT，0A，求EA。解：法一：由EAAT，0A知：1A而TTAEAAAAEAAE，所以0AE法二：设是 A的任意一个特征值，是对应的特征向量，则A由EAAT得TA AE，TTTA ATTAA2TT211，即 A的特征值是 1 或 1，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 19 页 -3 而0A，所以 A的特征值至少有一个是1，因此0AE同类型：(四/90)设方阵
5、 A 满足EAAT，试证明 A 的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于 1。例3(一、二/08)设 A 为 二 阶 矩 阵，12,是 二 个 线 性 无 关 的 列 向 量，12120,2AA，则 A的非零特征值为。解：由于121212(2)22AAA，所以 A的一个非零特征值为1。例 4(三/02)设 A为 n阶实对称矩阵，P 是可逆矩阵。已知是 A的属于特征值的特征向量，则TAPP1属于特征值的特征向量是()。A、1PB、TPC、PD、TP1解：11TTTPAPP A P11TTA PPA，因此1TP，得TP选 B 例 5(四/08)设三阶矩阵 A的特征值互不相同，且|0A，则()r A。
6、解：由|0A知：A至少有一个特征值为0 又 A的特征值互不相同，所以A只有一个特征值为0。因此()2r A例 6(一、二、三/05)设21,是矩阵 A的二个不同特征值，对应的特征向量分别为21,，则)(,211A线性无关的充要条件是()。A、01B、02C、01D、02解：)(,211A线性无关的充要条件是11212()0 xx A只有零解11212112122()0()0 xx Axxx由21,线性无关得：112220,0 xxx只有零解的充要条件是02选 B例 7(三/90)设 A为 n阶矩阵，21,是 A的二个不同特征值，21,XX分别是属于名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-
7、第 3 页，共 19 页 -4 21,的特征向量，试证明21XX不是 A的特征向量。证明：若21XX是 A的特征向量，则存在一个数，使得：1212()()A XXXX又12121122()A XXAXAXXX所以12()XX1122XX即1122()()0XX，又21,XX线性无关，所以120,0与21,是 A的二个不同特征值矛盾，所以21XX不是 A的特征向量。例 8(三/04)设 n阶矩阵111bbbbAbb，(1)求 A的特征值和特征向量；(2)求可逆阵 P，使得APP1为对角矩阵。解：(1)111bbbbEAbb1(1)1(1)11(1)1nbbbnbbnbb1(1)010001nbb
8、bbb1(1)1(1)nbnb所以1,(1),1(1)bnnb个1)若0b，则 n个特征值均为 1，此时0EA，所以1(1,0,0),(0,0,1)TTn是n个线性无关的特征向量2)若0b，则当1b时，bbbbbbEAbbb000000bbb所以11(1,0,1),(0,1,1)TTn是1n个线性无关的特征向量名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 19 页 -5 当1(1)nb时，(1)(1)(1)nbbbbnbbEAbbnb111111111nnn00111nnnnn101011111 n1001010100110000得(1,1,1)Tn是它的一个基础解系。(2)当
9、0b时，100010001P，且1(1,1,1)PAPdiag当0b时，1001010100111111P，且1(1,1,1(1)PAPdiagbbnb例 9(三、四/98)设TnTnbbaa),(,),(11都是非零 n维向量，且满足条件0T。记TA。求：(1)2A；(2)A的特征值和特征向量。解：(1)20TTA(2)设是 A的任意一个特征值，是对应的特征向量，则A所以22A20，又0，所以0，即 A的n 个特征值均为 0。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 19 页 -6 由于,都是非零向量，所以不妨设110,0ab。当0时1 11212122212nnTnnn
10、na ba ba ba ba ba bEAa ba ba b1 1121000000naba ba b12000000nbbb所以基础解系为：12111(/,1,0,0),(0,0,/,1)TTnnbbbb。从而0对应的所有特征向量为：1111nncc，其中11,ncc不全为零。例 10(四/03)设21112111Aa可逆，11b是*A 的一个特征向量，是对应的特征值，求,ba的值。解：由是*A 的属于的一个特征向量，且A可逆知：0，且*A即1A A，从而AA代入得：3|4(1)22|1|bAabA babA得：2,1,1ab或2,2,4ab。练习：(一、三/99)设矩阵acbcaA0135
11、1，且1A。又设 A 的伴随矩阵*A 有特征值0，属于0的特征向量为T)1,1,1(，求0,cba的值。解：由0AA得：000(1)1(53)1(1)1acbca，解得：01,3,bac又13Aa，所以2ac。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 19 页 -7 例 11(一/92)设三阶矩阵 A 的特征值为 1,2,3，对应的特征向量分别为：931,421,111321，又113(1)将用321,线性表示；(2)求nA(n为自然数)。解：(1)解112233xxx则111112311493A111101200262111101200022得：12322(2)12311
12、22332222AAAA1122322nnnnA1123223nn(也可以用相似矩阵先求nA，再求nA做，但是比较麻烦)例 12(二、三、四/08)设 A为三阶矩阵，12,是 A的分别属于1,1的特征向量，向量3满足323A，(1)证明123,线性无关；(2)令123(,)P，求1P AP。解：(1)设1122330 xxx(1)所以1122330 x Ax Ax A代入得：1123233()0 xxxx(2)(1)(2)得：113220 xx由于12,是 A的分别属于1,1的特征向量，所以12,线性无关，因此130,0 xx，再代入(1)式得：220 x，因20，所以20 x从而123,线性
13、无关(2)123(,)APAAA1223(,)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 19 页 -8 123100(,)011001100011001P所以1P AP100011001。例设 A是一个 n 阶正交矩阵，证明：（1）如果 A有特征值，则 A的特征值只能是 1 或 1；（2）如果1A，则1是 A的一个特征值；（3）如果1A，且n是奇数，则 1 是 A 的一个特征值。证明：(1)设是矩阵 A 的一个特征值，是对应的特征向量，则A。从而2()TTTTAAA A(*)由于 A是正交矩阵，所以TA AE。从而由(*)式得：2TT。因为0，所以0T。因此21，即1。(2
14、)TEAA AA()TEAAEA所以0EA，即1是 A的一个特征值。(3)()TTEAA AAEAA(1)nEAEA由此得0EA。例设,A B分别是,m n nm阶矩阵，如果是矩阵 AB 的属于非零特征值的一个特征向量，证明B是 BA的属于特征值的一个特征向量。证明：因为是矩阵 AB 的属于特征值的一个特征向量，所以AB。两边乘 B 得：()()BA BB(*)如果0B，则0AB与0，0矛盾。所以0B。因此由(*)式知：B是 BA的属于特征值的一个特征向量。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 19 页 -9 例设1(,)Tnaa，其中1,naa不全为零，求TA的特征值
15、和特征向量。解：因为1,naa不全为零，所以不妨设10a。设是矩阵 A的任意一个特征值，是对应的特征向量，则A。注意到221nTiiTAaA，易得：210niia或。又因为()TTTTAA，所以 A是对称矩阵。从而 A一定可以对角化。因此A的秩等于对应对角矩阵的秩。而()1r A，所以 A只有一个非零特征值：21niia，其余的1n个均为 0。当0时，2112121222212nnnnnaa aa aa aaa aEAa aa aa121212nnnaaaaaaaaa12000000naaa所以基础解系为：12111(/,1,0),(/,1)TTnnaaaa从而对应的所有特征向量为111111
16、,nnnkkkk其中不全零。当21niia时，2211211221222122121nininininnniniaaa aa aa aaaa aEAa aa aaa名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 19 页 -10 22112112221112211100nininniiiinnniiiiaaa aa aaaaaaaaa22112112111001nininaaa aa aaaaa2110001001naaaa2111001000naaaa所以 基础 解系 为：2111,Tnnaaaa。从而 对应 的所 有 特 征向 量为(0)nnnkk。二、矩阵的相似1、相似的定
17、义：设 A、B为 n 阶矩阵，如果存在 n 阶可逆矩阵 P，使得BAPP1成立，则称矩阵 A与 B相似，记作BA。2、相似的性质(1)若二个矩阵相似，则它们具有相同的特征值；(2)若二个矩阵相似，则它们具有相同的行列式；(3)若二个矩阵相似，则它们具有相同的迹(4)若二个矩阵相似，则它们具有相同的秩(5)若n阶矩阵,A B相似，即BAPP1。则kAkB(k 为任意非负整数，当A可逆时，k 还可以为任意负整数)且kkBPAP1。3、可对角化的定义及条件(1)定义：若方阵 A可以和某个对角矩阵相似，则称矩阵A可对角化。(2)可对角化的条件：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页
18、，共 19 页 -11(a)n 阶矩阵 A相似于对角阵的充分必要条件是A有 n 个线性无关的特征向量。(b)若 n 阶矩阵 A有 n 个相异的特征值n,21，则矩阵 A一定可对角化。4、实对称矩阵的对角化(1)实对称矩阵的特征值都是实数；(2)实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的；(3)设 A为 n 阶实对称矩阵，则存在n 阶正交矩阵 Q，使AQQ1为对角阵；(4)史密特正交化方法。5、典型例题例 1(三/00)若四阶矩阵,A B相似，A的特征值为51,41,31,21，则EB1。解：因为,A B相似，A的特征值为51,41,31,21，所以1B的特征值为2,3,4,5从而1BE的特征
19、值为1,2,3,4，故124BE例 2(三/99)设 A与 B为 n阶矩阵，且 A与 B 相似，则()。A、BEAEB、A与 B 有相同的特征值与特征向量C、A与 B 都相似于一个对角矩阵D、对任意常数 t，AtE与BtE相似解：D例 3(四/03)设001010100B，已知 A与 B 相似，则)()2(EArEAr()。A、2 B、3 C、4 D、5 解：由 A与 B 相似得：AkEBkE，而相似矩阵的秩相等，所以)()2(EArEAr(2)()314r BEr BE例 4(三/92)设11322002xA与yB00020001相似，(1)求yx,；(2)求可逆阵P，使得BAPP1。名师资
20、料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 19 页 -12 解：(1)1是 A的特征值，所以0EA，得0 x又()()tr Atr B，所以2y(2)略例 5(四/95)设TTT)2,1,2(,)1,2,2(,)2,2,1(321，且三阶矩阵A满足)3,2,1(iiAii，试求 A。解：因为 A有三个不同的特征值，所以A可以对角化，且122221212P，使得1(1,2,3)PAPdiag，下略例 6(四/99)设3241223kkA，问当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得APP1为对角矩阵？并求出P 和相应的对角矩阵。解：2(1)(1)0EA，所以1,1,1由于 A可对角化，所
21、以()1rEA而42221100422000EAkkkk，所以0k。其余略。例 7(四/00)设5334111yxA，已知A有三个线性无关的特征向量，2 是A的二重特征值。试求可逆矩阵P，使得APP1为对角形矩阵。解：由 A有三个线性无关的特征向量，2 是 A的二重特征值知：2 有二个线性无关的特征向量，所以(2)1rEA11122333EAxy11102000 xxy所以2,2xyx。下略。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 19 页 -13 练习：(三、四/94)设0011100yxA有三个线性无关的特征向量，求yx,应满足的条件。解：01101111010EA
22、xyxy21001(1)(1)0101xxy所以1,1,1当1时，101101000101000EAxyxy由于1是二重根，且 A有三个线性无关的特征向量，所以()1rEA因此0 xy当1时，101101202101000EAxyyx，此时()2rEA，符合要求。故yx,应满足的条件是：0 xy。例 8(一、二/04)设矩阵51341321aA特征值有一个二重根，求a 的值，并讨论 A是否可以对角化。解：2(2)(8183)EAa因为有重根，所以(1)2是281830a的解，得：2a特征值为2,2,6名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 19 页 -14 当2时，12
23、3123123EA123000000得基础解系为1(2,1,0)T，2(3,0,1)T当6时，523123121EA123011000101011000得基础解系：3(1,1,1)T因为有三个线性无关的特征向量，所以此时矩阵能对角化。(2)228183(4)a，得：23a。当2时，2312312313EA123010000得基础解系为1(3,0,1)T当4时，2332310311EA103013000得基础解系为2(3,3,1)T因为只有二个线性无关的特征向量，所以矩阵不能对角化。例 9(一/03)设矩阵PAPBBA*1,100101010,322232223，求EB2的特征值和特征向量。解：
24、A的特征值与对应的特征向量分别为：1,1,7和123(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)TTT所以*A 特征值与对应的特征向量分别为：7,7,1和123(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)TTT而*A 与 B 相似，所以二者的特征值相同。所以EB2的特征值为9,9,3名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 19 页 -15 由于11*11*1()()B PPA PPPAP，所以1P是 B 的特征向量。(注意到1*BPA P和A知：B的特征向量可选1P)，由此得：EB2的特征值为9,9,3对应的特征向量分别为：111123(1,1,0),(1,1,1)
25、,(0,1,1)TTTPPP例 10(四/05)设 A为三阶矩阵，321,是线性无关的三维列向量，且满足3211A，3222A，32332A(1)求矩阵 B，使得BA),(),(321321；(2)求矩阵 A的特征值；(3)求可逆阵 P，使得APP1为对角阵。解：(1)1231232323(,)(,2,23)A123100(,)122113所以100122113B。(2)记123(,)C，则1CACB，因此求 A的特征值转化为求 B 的特征值。B 的特征值和对应的特征向量分别为：1,1,4和123(1,1,0),(2,0,1),(0,1,1)TTT记120101011D，则1(1,1,4)DB
26、Ddiag所以111(1,1,4)DCACDDBDdiag，故PCD例 11(一/01)已知三阶矩阵 A 与三维列向量 X，使得向量组XAAXX2,线性无关，且满足XAAXXA2323。(1)记),(2XAAXXP，求 B 使得1PBPA；(2)EA。解：(1)2(,)APA X AX A X2322(,)(,32)AX A X A XAX A XAXA X名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 19 页 -16 2000(,)103012XA XA X000103012P故1000103012APP，即000103012B。(2)1()AEP BE P1PBEPBE1
27、001134011。例 12(三/96)设矩阵210010000010010yA。(1)已知 A的一个特征值为 3，试求 y；(2)求矩阵 P，使得)()(APAPT为对角矩阵。解：(1)由30EA得：2y。(2)由于 A是对称矩阵，所以2A 也对称。可以求出正交矩阵 P，使得1P AP是对角矩阵，则 P 即为所求。具体的计算略。例 13(一/95)设三阶实对称矩阵A的特征值为1,1321，对应于1的特征向量为T)1,1,0(1，求 A。解：设123(,)TXx xx是 A的属于231的特征向量，则 X 与1正交。所以230 xx，得基础解系为23(1,0,0),(0,1,1)TT。记0101
28、102211022Q(正交矩阵，一般可以通过史密特正交化的方法得到)，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 19 页 -17 则1(1,1,1)QAQdiag所以1(1,1,1)(1,1,1)TAQdiagQQdiagQ。练习：1、(三/97)设三阶实对称矩阵A的特征值是3,2,1；矩阵 A的属于特征值1、2 的特征向量分别为TT)1,2,1(,)1,1,1(21。(1)求 A的属于特征值 3的特征向量；(2)求矩阵 A。解：设3123(,)Tx xx是 A的属于 3 的特征向量，则3与12,正交。故123123020 xxxxxx，下略。2、(四/04)设三阶实对称
29、矩阵A的秩为 2，621是 A 的二重特征值，若TTT)3,2,1(,)1,1,2(,)0,1,1(321都是 A 的属于特征值 6 的特征向量，(1)求 A的另一特征值和对应的特征向量；(2)求矩阵 A。解：因为 A的秩为 2，所以0A，因此至少有一个特征值为0，故另一特征值为 0。其余同上，略。例 14(三、四/07)设三阶对称矩阵A三个特征值分别为1,2,2，1(1,1,1)T是 A的属于 1的特征向量，记534BAAE，(1)验证1是 B 的特征向量，并求 B 的特征值及特征向量；(2)求 B。解：(1)由 A三个特征值分别为1,2,2得：B的特征值为2,1,1(比较完整的写法是：设是
30、 A的特征值，则5341是 B 的特征值，所以 B的特征值为2,1,1)53531111114(14 11)2BAA设123(,)Tx xx是 B 的对应特征值 1的特征向量，且 B 是对称矩阵，所以与1正交，即1230 xxx，由此解得：23(1,1,0),(1,0,1)TT名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 19 页 -18(2)记111110101P，211，则1P BP由此得：011101110B。例 15(一/02)设,A B为同阶矩阵，(1)如果,A B相似，试证它们的特征多项式相同；(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立；(3)当,A B均
31、为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立。解：(1)因为,A B相似，所以存在 P，使得1P APB因此11()EBEPAPPEA PEA。(2)反例：1010,0111AB它们有相同的特征值，但是它们不相似。(3)若,A B均为实对称矩阵，且它们的特征多项式相同，则,A B与同一对角矩阵相似，即存在,C D，使得1CAC，1DBD因此11CACDBD，得11DCACDB取1PCD，则1P APB，所以,A B相似。例16(三、四/06)设 三 阶 实 对 称 矩 阵 A 的 各 行 元 素 之 和 均 为3，12(1,2,1),(0,1,1)TT是0AX的二个解，(1)求 A的特征值和特征向量
32、；(2)求正交矩阵Q和对角矩阵，使得TQ AQ；(3)求 A及632AE。解：记3(1,1,1)T，则由 A的各行元素之和均为3 得：333A，所以 3 是 A的特征值，3是其对应的特征向量。又由于123,相互正交，所以12,是 A的另外二个特征值对应的特征向量，记i对应的特征向量是i(1,2i)，由于0iA(1,2i)，所以120。记123(,)Q(标准正交化后)，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 19 页 -19 则1(0,0,3)QAQdiag。余下略。例设 A是n阶可逆矩阵，证明：如果A可以对角化，则1*,AA都可对角化。证明：若 A可以对角化，则存在可逆
33、阵P，使得112(,)nPAPdiag。又因为 A可逆，所以0i。从而111112()(1/,1/,1/)nPA PPAPdiag即1A 可对角化。注意到*1|AA A，所以*11112|(|/,|/,|/)nPA PA PA PdiagAAA即*A 也可对角化。例设,A B分别是,m n阶矩阵，它们分别有,m n个不同的特征值。设()f是矩阵 A的特征多项式，且()f B可逆，证明对任意的 mn阶矩阵C，都有0ACGB可对角化。证明：设12,m是矩阵 A 的 m个不同特征值，12,n是矩阵 B 的 n 个不同特征值，则由|0EACEGEB|EAEB得矩阵G的特征值为1212,mn。由于j是矩阵 B 的特征值，所以()jf矩阵()f B的特征值。又由于()f B可逆，所以()0jf。从而12,n不是矩阵 A的特征值。因此矩阵G有 mn个不同的特征值。由此得矩阵G可对角化。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 19 页 -