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1、第 1 页新定义问题1（大兴 18 期末 28）一般地，我们把半径为1 的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系xOy中，设单位圆的圆心与坐标原点O 重合，则单位圆与x轴的交点分别为（1，0），（-1,0），与y轴的交点分别为（0,1），（0，-1）.在平面直角坐标系xOy中，设锐角的顶点与坐标原点O 重合，的一边与x轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点P11(,)x y,且点 P 在第一象限.（1）1x=_ _(用含的式子表示)；1y=_ _(用含的式子表示)；（2）将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转90后与单位圆交于点22(,)Q xy.判断1y2与的数量关系,并证明；x12yy 的取值范围是
2、：_ _.28.（1）cos；.1分sin;.2分（2）12yx与的数量关系是：1y2x；.3分证明：过点P作 PFx轴于点 F，过点 Q 作 QEx 轴于点 E.90PFOQEO90POFOPFPOOQ90POFQOEQOEOPFPOOQ=1 QOE OPF5分.PFOE11(,)P xy,Q 22(,)xy12yxQ 在第二象限，P在第一象限1y0,2x01y=2x6分121+2yy.8分名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 17 页 -第 2 页2（东城 18 期末 28）对于平面直角坐标系xOy 中的点 M 和图形 G，若在图形 G 上存在一点N，使 M，N 两
3、点间的距离等于1，则称 M 为图形 G 的和睦点（1）当 O 的半径为 3 时，在点 P1（1,0），P2（3,），P3（72,0），P4（5,0）中，O的和睦点是 _；（2）若点 P（4,3）为 O 的和睦点，求 O 的半径 r 的取值范围；（3）点 A 在直线 y=1 上，将点 A 向上平移 4 个单位长度得到点B，以 AB 为边构造正方形 ABCD，且 C，D 两点都在 AB 右侧已知点 E（2,2），若线段 OE 上的所有点都是正方形 ABCD 的和睦点，直接写出点A 的横坐标Ax 的取值范围名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 17 页 -第 3 页3（昌平
4、18 期末 28）对于平面直角坐标系xOy 中的点 P，给出如下定义：记点P 到 x 轴的距离为1d，到 y 轴的距离为2d，若12dd，则称1d 为点 P 的最大距离；若12dd，则称为点 P 的最大距离.例如：点 P（3，4）到到 x 轴的距离为 4，到 y 轴的距离为 3，因为 3 4，所以点P 的最大距离为4.（1）点 A（2，5）的最大距离为；若点 B（a，2）的最大距离为5，则 a的值为；（2）若点 C 在直线2yx上，且点 C 的最大距离为5，求点 C 的坐标；（3）若 O 上存在点 M，使点 M 的最大距离为5，直接写出 O 的半径 r 的取值范围.28解：（1）51 分5 3
5、 分（2）点 C的最大距离为5，当5x时，5y，或者当5y时，5x.4 分2d名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 17 页 -第 4 页分别把5x，5y代入得：当5x时，7y，当5x时，3y，当5y时，7x，当5y时，3x，点C（5，3）或（3，5）.5 分（3）55 2r.7 分4（朝阳 18 期末 28）在平面直角坐标系xOy 中，点 A（0,6），点 B 在 x 轴的正半轴上.若点 P,Q 在线段 AB 上，且 PQ 为某个一边与 x 轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P,Q 的“X矩形”.下图为点 P,Q 的“X矩形”的示意图.（1）若点 B（4,0），点
6、 C 的横坐标为 2，则点 B,C 的“X矩形”的面积为.（2）点 M，N 的“X矩形”是正方形，当此正方形面积为4，且点 M 到 y 轴的距离为 3 时，写出点 B 的坐标，点 N 的坐标及经过点 N 的反比例函数的表达式；当此正方形的对角线长度为3，且半径为 r 的O 与它没有交点，直接写出r 的取值范围.备用图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 17 页 -第 5 页5（海淀 18 期末 27）对于 C 与C 上的一点 A，若平面内的点 P 满足：射线AP 与C 交于点 Q（点 Q 可以与点 P 重合），且12PAQA，则点 P 称为点 A 关于 C 的“生长点
7、”已知点 O 为坐标原点，O 的半径为 1，点 A（-1，0）（1）若点 P 是点 A 关于 O 的“生长点”，且点 P 在 x 轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标 _；（2）若点 B 是点 A 关于 O 的“生长点”，且满足1tan2BAO，求点 B 的纵坐标 t 的取值范围；（3）直线3yxb与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 N，若线段 MN 上存在点 A 关于 O的“生长点”，直接写出 b的取值范围是 _ 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 17 页 -第 6 页27解：（1）（2，0）(答案不唯一).1 分（2）如图，在 x轴上方作射线AM，与O 交于
8、 M，且使得1tan2OAM，并在 AM 上取点 N，使 AM=MN，并由对称性，将MN 关于 x 轴对称，得M N，则由题意，线段MN 和M N上的点是满足条件的点B.作 MHx 轴于 H，连接 MC，MHA=90，即 OAM+AMH=90.AC 是O 的直径，AMC=90，即 AMH+HMC=90.OAM=HMC.1tantan2HMCOAM.12MHHCHAMH.设 MHy，则2AHy，12CHy，522ACAHCHy，解得45y，即点 M 的纵坐标为45.又由2ANAM，A 为（-1，0），可得点 N 的纵坐标为85，故在线段 MN 上，点 B 的纵坐标 t 满足：4855t.3 分由
9、对称性，在线段M N上，点 B 的纵坐标 t 满足：8455t.4 分 点 B 的纵坐标 t 的取值范围是8455t或4855t.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 17 页 -第 7 页（3）431b或143b.7 分6（石景山 18期末 28）在平面直角坐标系xOy中，点 P的坐标为),(11yx，点Q的坐标为),(22yx，且21xx，21yy，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x 轴平行，则称该等腰三角形为点P，Q 的“相关等腰三角形”下图为点 P，Q 的“相关等腰三角形”的示意图（1）已知点 A 的坐标为)1,0(，点 B 的坐标为)0,3(
10、，则点 A，B 的“相关等腰三角形”的顶角为 _ ；（2）若点 C 的坐标为)3,0(，点 D 在直线34y上，且 C，D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD 的表达式；（3）O 的半径为2，点 N 在双曲线xy3上若在 O 上存在一点 M，使得点 M、N 的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N 的横坐标Nx的取值范围28.（本小题满分8 分）解：（1）1 20 o；2分（2）C,D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，底角为60，底边与x轴平行，直线 CD 与x轴成 60 角，与y轴成 30 角，通过解直角三角形可得D的坐标为)343(，或)343(，进一步得直线CD的表达式
11、为33xy或33xy.5分（3）31Nx或13Nx.8分7（西城 18 期末 28）在平面直角坐标系xOy中，A，B 两点的坐标分别为(2,2)A，(2,2)B 对于给定的线段 AB 及点 P，Q，给出如下定义：若点Q 关于 AB 所在直线的对称点Q落在ABP 的内部（不含边界），则称点Q 是点 P 关于线段 AB 的内称点（1）已知点(4,1)P在1(1,1)Q，2(1,1)Q两点中，是点 P 关于线段 AB 的内称点的是 _；若点 M 在直线1yx上，且点 M 是点 P 关于线段 AB 的内称点，求点M 的横坐标Mx的取值范围；（2）已知点(3,3)C，C 的半径为 r，点(4,0)D，若
12、点 E 是点 D 关于线段 AB 的内称点，且满足直线 DE 与C 相切，求半径 r 的取值范围名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 17 页 -第 8 页名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 17 页 -第 9 页8（丰台 18 期末 28）对于平面直角坐标系xOy 中的点 P 和C，给出如下定义：如果 C 的半径为 r，C 外一点 P 到C 的切线长小于或等于2r，那么点 P 叫做 C 的“离心点”.（1）当 O 的半径为 1 时，在点 P1（12，32），P2（0，2），P3（5，0）中，O 的“离心点”是；点 P（m，n）在直线3yx上，
13、且点 P 是O 的“离心点”，求点 P 横坐标 m的取值范围；（2）C 的圆心 C 在 y 轴上，半径为 2，直线121xy与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B.如果线段 AB 上的所有点都是 C 的“离心点”，请直接写出圆心 C 纵坐标的取值范围.28.解：（1）2P，3P；2 分设P（m,m3），则5322mm.3 分解得11m，22m.4 分故 1 m2.6 分（2）圆心 C纵坐标Cy的取值范围为：521Cy51或3Cy4.8 分9（怀柔 18 期末 28）在平面直角坐标系xOy 中，点 P 的横坐标为 x，纵坐标为 2x，满足这样条件的点称为“关系点”.（1）在点 A(1，2)、B(2
14、，1)、M(，1)、N(1，)中，是“关系点”的；（2）O 的半径为 1，若在 O 上存在“关系点”P，求点 P 坐标；（3）点 C 的坐标为(3，0)，若在 C 上有且只有一个“关系点”P，且“关系点”P 的横坐标满足-2x2.请直接写出 C 的半径 r 的取值范围名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 17 页 -第 10 页28.解：(1)A、M.2分(2)过点 P作 PGx 轴于点 G3分设 P（x，2x）OG2+PG2=OP2 4分x2+4x2=1 5x2=1 x2=x=P(，)或P(，)5分(3)r=或7分4117r名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理
15、-第 10 页，共 17 页 -第 11 页10（平谷 18期末 28）在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”（1）以 O 为圆心，半径为5 的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点”；（2）点 M,N 是一对“互换点”，点 M 的坐标为(m,n)，且(mn)，P 经过点 M,N点 M 的坐标为(4,0)，求圆心 P 所在直线的表达式；P 的半径为 5，求 mn 的取值范围28解：（1）答案不唯一，如：（4,3），（3,4）；2（2）连结 MN，OM=ON=4，Rt OMN
16、 是等腰直角三角形过 O 作 OA MN 于点 A，点 M,N 关于直线 OA 对称 3由圆的对称性可知，圆心P 在直线OA 上 4圆心 P所在直线的表达式为y=x 5当 MN 为 P直径时，由等腰直角三角形性质，可知m n=5 2；6 当点 M,N 重合时，即点M,N 横纵坐标相等，所以mn=0；7 mn 的取值范围是0mn5 2 8 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 17 页 -第 12 页11（密云 18 期末 28）已知在平面直角坐标系xOy中的点 P 和图形 G,给出如下的定义：若在图形 G 上存在一点Q,使得QP、之间的距离等于1，则称 P 为图形 G
17、 的关联点.（1）当O的半径为 1 时，点11(,0)2P,2(1,3)P,3(0,3)P中，O的关联点有 _.直线经过（0，1）点，且与y轴垂直，点 P在直线上.若 P是O的关联点，求点 P的横坐标 x的取值范围.（2）已知正方形 ABCD 的边长为 4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直.若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径r 的取值范围.备用图备用图28.（1）12PP、2分（2）如图，以 O 为圆心，2 为半径的圆与直线y=1 交于12,P P两点.线段12PP上的动点P（含端点）都是以 O 为圆心，1 为半径的圆的关联点.故此33x.6分名师资料总结-精品资料欢迎下载-
18、名师精心整理-第 12 页，共 17 页 -第 13 页（3）由已知，若P为图形 G 的关联点，图形G 必与以 P为圆心 1 为半径的圆有交点.正方形 ABCD边界上的点都是某圆的关联点该圆与以正方形边界上的各点为圆心1 为半径的圆都有交点故此，符合题意的半径最大的圆是以O 为圆心，3 为半径的圆；符合题意的半径最小的圆是以O 为圆心，2 21为半径的圆.综上所述，2213r.8分12（门头沟 18 期末 28）以点P为端点竖直向下的一条射线PN，以它为对称轴向左右对称摆动形成了射线1PN，2PN，我们规定：12N PN为点P的“摇摆角”，射线PN摇摆扫过的区域叫作点P的“摇摆区域”（含1PN
19、，2PN）.在平面直角坐标系xOy 中，点(2,3)P.（1）当点P的摇摆角为60时，请判断(0,0)O、(1,2)A、(2,1)B、(23,0)C属于点P的摇摆区域内的点是 _（填写字母即可）；（2）如果过点(1,0)D，点(5,0)E的线段完全在点P的摇摆区域内，那么点P的摇摆角至少为_ ；（3）W的圆心坐标为(,0)a，半径为，如果W上的所有点都在点P的摇摆角为60时的摇摆区域内，求a的取值范围备用图28（本小题满分8 分）解：（1）点 B，点 C；2 分（2）903 分（3）当W运动到摇摆角的内部，与PF左边的射线相切时如图28-1 点(2,3)P的摇摆角为6030KPF，3PF名师资
20、料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 17 页 -第 14 页在 RtPFK 中，tantan30KFKPFPF在可求得3KF30KPF，60PKF在 RtPFK中，sinsin60QWQKFKW，可求得233KW212332333OWOFKFKW当W运动到摇摆角的内部，与PF右边的射线相切时如图28-2 同理可求得1=2+33OW11232+333a 说明：若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。13（通州 18 期末 25）点P的“d值”定义如下：若点Q为圆上任意一点，线段PQ长度的最大值与最小值之差即为点P的“d值”，记为Pd.特别的，当点P，Q重
21、合时，线段PQ的长度为 0.当O的半径为 2 时：（1）若点0,21C，4,3D，则Cd_，Dd_；（2）若在直线22xy上存在点P，使得2Pd，求出点P的横坐标；（3）直线033bbxy与 x轴，y轴分别交于点A，B.若线段AB上存在点P，使得32Pd，请你直接写出b的取值范围.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 17 页 -第 15 页14（燕山 18期末 28）在平面直角坐标系xOy 中，过 C 上一点 P 作C 的切线 l当入射光线照射在点 P 处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l 的夹角和入射光线与切线l的夹角相等，点 P 称为反射点规定：光线不能“穿
22、过”C，即当入射光线在 C 外时，只在圆外进行反射；当入射光线在C 内时，只在圆内进行反射特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线。光线在C 外反射的示意图如图1 所示，其中 1=2（1）自 C 内一点出发的入射光线经C 第一次反射后的示意图如图2 所示，P1是第 1个反射点请在图2 中作出光线经 C 第二次反射后的反射光线和反射点P3；（2）当 O 的半径为 1 时，如图 3，第一象限内的一条入射光线平行于y轴，且自 O 的外部照射在圆上点P 处，此光线经 O 反射后，反射光线与x 轴平行，则反射光线与切线l 的夹角为 ；自点 M(0，1)出发的入射光线，在 O 内顺时针方向不断地反射若第
23、1 个反射点是 P1，第二个反射点是P2，以此类推，第 8个反射点是 P8恰好与点 M 重合，则第 1个反射点 P1的坐标为 _；（3）如图 4，点 M 的坐标为(0，2)，M 的半径为 1第一象限内自点O 出发的入射光名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 17 页 -第 16 页线经 M 反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P 的纵坐标的取值范围28（1）在图 2 中作出光线经C第二次反射后的反射光线和反射点P3；2 分（2）反射光线与切线l的夹角为 _；第 1 个反射点P1的坐标为 _；5 分（3）如图 2，直线OQ与M相切于点Q，点Q在第一象限，连接MQ，
24、过点Q作QHx轴于点H直线OQ与M相切于点Q，MQOQMQO=90MO=2，MQ=1，在 RtMQO中，sin MOQ=21MOMQMOQ=30OQ=OMcosMOQ=3QHx轴，QHO=90QOH=90MOQ=60，在 RtQOH中，QH=OQsin QOH=236 分如图 3，当反射光线PN与坐标轴平行时，连接MP并延长交x轴于点D，过点P作PEOD于点E，过点O作OFPD于点F直线l是M的切线，MDl 1+OPD=2+NPD=9 0 1=2，OPD=NPDPNx轴，NPD=PDO图 4 图图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 17 页 -第 17 页OPD=PDOOP=ODOFPD，MFO=9 0，PF=FD cosOMFMFMOMOMD，设PF=FD=x，而MO=2，MP=1，12212xx解得3334x0 x，3334xPEOD，PED=9 0=MODPEMOEPD=OMFcosEPD=cosOMFMOMFPDPEPDMOMFPE=122xx(1)xx=15338 7 分可知，当反射点P从中的位置开始，在M上沿逆时针方向运动，到与中的点Q重合之前，都满足反射光线与坐标轴无公共点，所以反射点P的纵坐标的取值范围是1533382Py 8 分名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 17 页 -