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1、精品文档精品文档二次函数一知识梳理1、定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2 的方程叫做一元二次方。一元二次方程的标准式：ax2+bx+c=0（a0）其中：ax2叫做二次项，bx 叫做一次项，c 叫做常数项a 是二次项系数，b 是一次项系数2、一元二次方程根的判别式（二次项系数不为0）：“”读作德尔塔，在一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）中=b2-4ac=b2-4ac0 方程有两个不相等的实数根，即：x1,x2=b2-4ac=0 方程有两个相等的实数根，即：x1=x2=b2-4ac0 方程没有实数根。注：“”是双向推导，也就是说上面的规律反过来也成立，如：告诉我们方程没有实数根，我
2、们便可以得出03、一元二次方程根与系数的关系（二次项系数不为0;0），韦达定理。ax2+bx+c=0（a0）中，设两根为x1,x2,那么有：因为：ax2+bx+c=0（a0）化二次项系数为1 可得，所以：韦达定理也描述为：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。注意：（1）在一元二次方程应用题中，如果解出来得到的是两个根，那么我们要根据实际情况判断是否应舍去一个跟。5、一元二次方程的求根公式：注：任何一元二次方程都能用求根公式来求根，虽然使用起来较为复杂，但非常有效。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 9 页 -精品文档精品文档一、求二次函数的三种形式：1
3、.一般式：y=ax2+bx+c，（已知三个点）顶点坐标（2ba，244acba）2.顶点式：y=a（xh）2+k，（已知顶点坐标对称轴）顶点坐标（h，k）3.交点式：y=a(x-x1)(x-x2)，（有交点的情况）与 x 轴的两个交点坐标x1，x2对称轴为221xxh二、a b c作用分析a的大小决定了开口的宽窄，a越大，开口越小，a越小，开口越大，a，b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0 时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当 a，b同号时，对称轴 x=2ba0，即对称轴在y 轴右侧，（左同右异y 轴为 0）c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，c=0 时，抛物线经过原点，c0 时
4、，与 y 轴交于正半轴；c0)y=ax2+bx+c(a0,开口向上a0,开口向下在对称轴的左侧,y随着 x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着 x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着 x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着 x的增大而减小.abacab44,22abacab44,22abx2直线abx2直线abacyabx44,22最小值为时当abacyabx44,22最大值为时当xy0 xy0名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 9 页 -精品文档精品文档考点 2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种
5、情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0 时自变量x 的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0 的根.例 2已知二次函数y=-x2+3x+m的部分图象如图1 所示，则关于x 的一元二次方程-x2+3x+m=0 的解为 _.考点 3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个相等的实数根；当二次函数y
6、=ax2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0 没有实数根.反之亦然.例 3在平面直角坐标系中，抛物线21yx与x轴的交点的个数是（）A.3 B.2 C.1 D.0 专项练习 3 1.抛物线 y=kx2-7x-7 的图象和 x 轴有交点，则k 的取值范围是 _.2.已知二次函数22yxxm的部分图象如图2 所示，则关于x的一元二次方程220 xxm的解为3.已知函数2yaxbxc的图象如图3 所示，那么关于x的方程220axbxc的根的情况是（）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根 D.有两个同号不等实数根4.二次函数2(0)yaxbxc a的
7、图象如图4 所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20axbxc的两个根（2）写出不等式20axbxc的解集yxO13图 2 yxO324图 1 图 4 xy3322114112O图 3 xy03名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 9 页 -精品文档精品文档（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围（4）若方程2axbxck有两个不相等的实数根，求k的取值范围专题二、探究几何图形中的二次函数关系【例 11】在梯形ABCD中，ADBC，6ABDCAD，60ABC，点EF，分别在线段ADDC，上（点E与点AD，不重合），且120BEF，设AEx，DFy（1）求y
8、与x的函数表达式；（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？课堂检测1、二次函数342xxy的图像可以由二次函数2xy的图像平移而得到，下列平移正确的是（）A先向左平移2 个单位，再向上平移1 个单位B先向左平移2 个单位，再向下平移 1 个单位;C先向右平移2 个单位，再向上平移1 个单位D先向右平移2 个单位，再向下平移 1 个单位2、在平面直角坐标系中，如果抛物线y2x2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）Ay 2(x2)2+2 By2(x+2)22 Cy2(x2)22 Dy2(x+2)2+2 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精
9、心整理-第 5 页，共 9 页 -精品文档精品文档O x y 1-1 A 3、二次函数21(4)52yx的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）A向上、直线x=4、（4，5）B向上、直线x=-4、（-4，5）C向上、直线x=4、（4，-5）D向下、直线x=-4、（-4，5）4、二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（）A、a0 B、abc0 C、cba0 D、acb4205、函数2yaxbyaxbxc和在同一直角坐标系内的图象大致是（）6、二次函数2(0)yaxbxc a的图象如图4 所示，则下列说法不正确的是（）A240bacB0aC0cD02ba7、如图是二次函数yax
10、2bxc 图象的一部分，图象过点A（3，0），对称轴为 x 1 给出四个结论：b24ac；2ab=0；abc=0；5ab其中正确结论是（）ABCD8、已知关于x 的函数同时满足下列三个条件：函数的图象不经过第二象限；当2x时，对应的函数值0y；当2x时，函数值y 随 x 的增大而增大你认为符合要求的函数的解析式可以是：（写出一个即可）9、如右图，抛物线nxxy52经过点)0,1(A，与 y 轴交于点B.（1）求抛物线的解析式；（2）P是 y 轴正半轴上一点，且PAB是等腰三角形，试求点P的坐标.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 9 页 -精品文档精品文档专题五。形积
11、问题形积专题1.(中考变式）如图，抛物线cbxxy2与 x 轴交与 A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D。交 Y轴于 C 求该抛物线的解析式与ABC 的面积。2.(08 湛江)如图所示，已知抛物线21yx与x轴交于 A、B 两点，与y轴交于点 C求 A、B、C 三点的坐标过A 作 APCB 交抛物线于点P，求四边形ACBP 的面积三课堂检测1已知函数y=ax2+bx+c，当 x=3 时，函数的最大值为4，当 x=0 时，y=14，则函数关系式_.2请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与 y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式.3函数42xy的图象与y轴的交点坐标是_.4抛物线
12、y=(x 1)2 7 的对称轴是直线.5二次函数y=2x2-x-3 的开口方向 _，对称轴 _，顶点坐标 _.6.已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)与 x 轴的两个交点的坐标是(5，0)，(-2，0)，则方程名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 9 页 -精品文档精品文档ax2+bx+c=0(a0)的解是 _.7.用配方法把二次函数y=2x2+2x-5 化成 y=a(x-h)2+k 的形式为 _.8.抛物线 y=(m-4)x2-2mx-m-6 的顶点在 x 轴上，则 m=_.9.若函数 y=a(x-h)2+k 的图象经过原点，最小值为8，且形状与抛物线y=-2x2-
13、2x+3 相同，则此函数关系式 _.快乐作业1抛物线y=-2(x-1)2-3 与 y 轴的交点纵坐标为（）（A）-3（B）-4（C）-5（）-1 2将抛物线y=3x2向右平移两个单位，再向下平移4 个单位，所得抛物线是（）(A)(B)y=3(x+2)2+4(B)y=3(x-2)2+4(C)y=3(x-2)2-4(D)y=3(x+2)2-43.抛物线 y=21x2，y=-3x2，y=x2的图象开口最大的是（）(A)y=21x2(B)y=-3x2(C)y=x2(D)无法确定4.二次函数y=x2-8x+c 的最小值是0，那么 c 的值等于（）(A)4(B)8(C)-4(D)16 5 已知抛物线2yaxbxc经过（-1，0），（0，-3），（2，-3）三点.求这条抛物线的表达式；写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 9 页 -精品文档精品文档6.如图，OAB 是边长为 2 的等边三角形，过点A 的直线。轴交于点与Exmxy33（1）求点 E 的坐标；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 9 页 -