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1、1 解决三角函数各类问题凑角法例求tan 204sin 20的值解析原式sin 202sin 40sin202sin(6020)cos20cos20sin 202(sin 60 cos20cos60 sin 20)3cos20评注三角求值主要借助消除三个方面的差异解答，即消除函数名称差异，或者式子结构的差异，或者角度之间的差异降幂法一 些 涉 及 高 次 三 角 式 的 求 值 问 题，往 往 借 助 已 知 及22sincos1，或 降 幂 公 式221cos21cos2sin,cos22等借助降幂策略解答例若2coscos1，求26sinsin的值解析由2coscos1，得15cos2，1
2、5cos2（舍去）由2coscos1，又可得22cos1cossin，则263sinsincoscos，又 由2c o sc o s1，得2c o s1c o s，故322c o sc o sc o s(1c o s)c o s(2c o s)2 c o sc o s3 c o，代值可得263 55sinsin2评注若求出cos的值后直接简单代入，则运算量将大得多，而主动降幂后就截然不同了涉及非单角形式的三角函数问题，有时也需要考虑降幂进而化为一个角的三角函数形式解答，遇到“高次”问题就特别注意联想“降幂法”解答配对法根据一些三角式的特征，适当进行配对，有时可以实现问题的顺利解答例已知(0,)
3、2x，且222coscos 2cos 31xxx，求x的值解 析设222coscos 2cos 3mxxx，令222s i ns i n2s i n3nxxx，则3mn，cos2cos4cos6mnxxx，其中，2cos62cos 31xx，cos2cos4cos(3)cos(3)2cos cos3xxxxxxxx，2cos3(coscos3)1mnxxx，又名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 4 页 -2 coscos3cos(2)cos(2)2coscos2xxxxxxxx，故4cos cos2 cos31mnxxx，故可解得1cos cos2 cos3(22)0
4、(1)4xxxmm 则c o s0 x，或c o s 20 x，或c o s 30 x，又(0,)2x，则6x或4x评注三角函数中的正弦函数与余弦函数是一对互余函数，有很多对称的结论，如22sincos1等，因此在解决一些三角求值，求证等问题时，可以构造对偶式，实施配对策略，尝试进行巧妙解答换元法很多给值求值问题都是给的单角的某一三角函数值，但有时会出现给出复合角的三角函数值求值的问题，此时，利用换元法可以将问题转化为熟悉的已知单角的三角函数值求值问题例求sin75cos453cos15（）（）-（）的值解析令15，则原式sin(60)cos(30)3cos(sincos60cossin60)
5、(coscos30sinsin30)3cos0评注知复合角的三角函数值求值，因此备考时要特别注意此点，解答此类问题的换元法或整体思想也都十分重要对本题，若直接将三部分借助两角和的正弦公式与余弦公式展开，则要繁杂得多方程法有时可以根据已知构造所求量的方程解答例若33cossin1xx，试求sin x的值解析令cossinxxt，则21cossin(1)2xxt，2,2t由已知，有2221(cossin)(cossincossin)(1)12txxxxxxt，即3232(1)(2)0tttt，得1t，或2t（舍去）即cossin1xx，又22sincos1xx，整理可得2sinsin0 xx，解得
6、sin0 x或sin1x评注将已知转化为关于sin x的方程是解题的关键方程的思想方法是解答诸多三角函数问题的基本大法，如求三角函数的解析式等问题一般地，若题目中有n个需要确定的未知数，则只要构造n个方程解答即可讨论法涉及含有参数或正负情形的三角问题，往往需要借助讨论法进行解答名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 4 页 -3 例已知ABC!中，54sin,cos135AB，求cosC解析由5sin13A，得12cos13A当12cos13A时，因为,A B是ABC!的内角，需要满足0AB，有0AB，而 余 弦函数在 区间(0,)是减函 数，得coscos()cosAB
7、B，但124coscos135AB，故此情形不合题意可以验证12cos13A符合题意，故33coscos()sinsincoscos65CABABAB评注分类讨论是将问题化整为零，进而化难为易的重要思想方法，一般含有绝对值的三角函数问题，涉及未确定象限的角的问题等，都要首先考虑“讨论”！平方法分析已知和所求，有时借助“取平方”的方法可以实现顺利解题例已知sinsinsin0，coscoscos0，求cos()的值解 析有sinsinsin，coscoscos，两 式 两 边 平 方 后 对 应 相 加，可 得2222(sinsin2sinsin)(coscos2coscos)22(sin)(c
8、os)1，即1cos()2评注学习数学要掌握一些基本的操作技能，而“取”就是其中的重要一种，除了“取平方”外，常见的还有“取对数”，“取倒数”等操作，需要注意体会本题就是借助平方关系实现整体消元后解答的猜想法有时根据已知数据的特征进行必要的猜想，能更好的解决求值问题例已知13sincos2，且为第二象限角，则sin解析由sin0,cos0及222213sincos1,()()122，可得1sin2评注实际上，将13sincos2与22sincos1联立所得二元二次方程组只有两组解，即13sin,cos22或13cos,sin22，依题意只可取前者学习数学，要培养对数据的敏感性，能根据数据特征进
9、行积极联想，进而适当猜想，能有效提高解题速度，而且猜想是一种重要的推理形式，并不是“胡猜乱想”，要紧扣已知和所求进行名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 4 页 -4 图象法有时候，借助图象才能更好的解决对应的三角函数问题例已知函数()sin1(1)f xAxA的图象与直线yA在x轴右侧的与x轴距离最近的相邻三个交点的横坐标成等比数列，求实数A的值解析如右图，设三个交点的坐标为(,)B b A，(,)C c A，(,)D d A，由三角函数图象的对称性，则有22bc，3232cd，有bc，3dc，又222()(3)34cb dcccc，解 得34c 故 函 数 图 象
10、经 过3(,)4A，代 入 可 得22A评注数和形是数学的两大支柱，三角函数的很多问题都有图形背景，在解决问题时，要充分借助图形进行直观分析，往往能更快捷的实现问题的解答，注意培养做草图的能力比例法借助比例的性质，有时可以实现快速解答三角函数问题例求证2(cossin)cossin1sincos1sin1cos解析若cos0（或sin0），因为sin1(cos1),或，故sin1，或cos1，验证可知等式成立若cos0，则 由2cos(1 sin)(1 sin)，2sin(1 cos)(1 cos)及 比 例 性 质acacbdbd，可得cos1 sin1sincos1sincos1sincossin1cos1sincos1cossin1sincos，代入等式左边可知所证成立评注本题有多种证法，而借助比例的性质的方法显得尤为简捷涉及分式的三角函数问题，可以考虑 借 助 比 例 法 解 答 如关 于 半 角 的 正 切 公式sin1costan21cossin，按 照 比 例 性质，立得1cossintan21cossinOxDCByAy2x名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 4 页 -