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1、用赋值法求解函数关系依据函数 y=f(x)的限定条件和关系式求函数关系y=f(x)一、赋值代换例 1 已知 f(x)是定义在 R上的函数，且 f(x)不恒为零，对任意 x1，x2R，都有 f(x1x2)f(x1x2)=2f(x1)f(x2)求证：f(x)是偶函数分析：若有 f(x)=f(x)(xR)，则 f(x)为偶函数观察条件 f(x1x2)f(x1x2)=2f(x1)f(x2)令 x1=0，x2=x 则 f(x)f(x)=2f(0)f(x)*令 x2=0，则 f(x1)f(x1)=2f(x1)f(0)f(0)=0把 f(0)=0代入()有 f(x)=f(x)问题得证赋值代换应注意：(1)所
2、赋自变量 x 之特殊值必须在函数的定义域内；(2)应观察函数式的特点，确定赋什么值例 2 设 f(x)是(0，1)上的实函数，如果满足：1)对于任意x(0，1)，f(x)0；分析：x，y(0，1)，(1 x)，(1y)(0，1)由题设知f(y)0，f(1 y)0，故有 f(x)f(1y)f(y)f(1x)2f(y)f(1y)，观察此不等式，如令 x=1y(0，1)，则有：f2(x)2f(x)f(1x)f2(1 x)0 f(x)f(1 x)即 f(x)f(y)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 3 页 -反之，令 y=1x 则有 f(y)f(x)二、赋值递推例 3 已知
3、函数 f(x)是定义域为 R的函数，且满足 f(1)=0，f(ab)f(a b)=2f(a)f(b)a，bR，求证 f(x)是以 4 为周期的函数分析：要证 f(x)以 4 为周期，即要有 f(x 4)=f(x)，(x R)观察条件 f(a b)f(a b)=2f(a)f(b)及 f(1)=0 令 a=x，b=1则 f(x 1)f(x 1)=0 即 f(x 1)=f(x 1)以x3 代 x，再递推，f(x 4)=f(x 2)=f(x 1)1=f(x)=f(x)，问题得证赋值递推应注意：在赋值代换的基础上构成函数递推关系式，然后递椎即得当然，有时需要构成多个递推关系式例 4 函数 f(x)定义在
4、实数集上，并满足如下条件：对于任意xR，有 f(2 x)=f(2 x)且 f(7 x)=f(7 x)，若 f(0)=0，问f(x)=0在 100，100 上至少有几个根？分析：由条件 f(2 x)=f(2 x)，以 x2 代 x 得：f(x)=f(4x)(1)；再由条件 f(7 x)=f(7 x)递推 f(4 x)=f7(3x)=f7(3x)=f(x10)，则 f(x 10)=f(x)(2)，即 f(x)是以10 为周期的函数在(1)、(2)中令 x=0，有 f(4)=f(0)=0，f(10)=f(0)=0即 0，4，10 均为 f(x)=0的根；由周期性知 10k(10k10)，10k4(1
5、0k9)(k Z)都是 f(x)=0的根因此f(x)=0在 100，100 上至少有 41 个根三、赋值讨论(比较)例 5 已知 f：0，1 且 f(1)=a，x1、x20，1，x1x21 时，f(x1x2)f(x1)f(x2)，求 f(x)的最大值名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 3 页 -分析：对于求函数的最值，往往要讨论其单调性x1、x20，1，不妨设 x1x2，令 x2=x1h，h(0，1)，f(h)0，则 f(x2)=f(x1h)f(x1)f(h)f(x1)故 f(x)是0，1 上的不减函数，由f(x)f(1)知 f(x)的最大值为 a赋值讨论应注意：所赋
6、值需要有明确的大小关系，继而比较函数值的关系或确定函数值例6 函数 f(n)对于所有的自然数 n取自然数，并且(1)f(m n)f(m)f(n)，(2)当 m n 分析：由(1)令 m=n=1 时，f(1)=f2(1)，则 f(1)=1，(f(1)取自然数)当 kN时，f(2k)=f(2)f(2k-1)=f2(2)f(2k2)=fk(2)由(3)f(2k)=2k由(2)2k=f(2k)f(2k+1)f(2k+2)f(2k+1)=2k+1，即f(2k1)、f(2k2)f(2k+11)是区间(2k，2k+1)上的 2k1 个不同的自然数，而区间(2k，2k+1)上恰好有 2k1 个不同自然数，即2k1，2k2，2k+11因此 f(2k1)=2k1，f(2k2)=2k2，f(2k+11)=2k+11可见，赋值法是研究抽象函数的基本方法名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 3 页 -